潘娟娟 楊世國， 劉家保

(1.安徽大學數(shù)學科學學院，安徽合肥 230039;2.安徽新華學院數(shù)理部，安徽合肥 230038;3.合肥師范學院數(shù)學系，安徽合肥230061)

0 引 言

設(shè)K為n維歐氏空間En中的有界凸體，對En中的每個單位向量μ、凸體K的一對與μ垂直的支撐超平面之間的距離記為τ(K，μ)，令

稱ω(K)為凸體K的寬度[1]。

關(guān)于En中有界凸體寬度的研究是凸幾何學中一個非常重要的課題。

Sallee于1974年對En中n維單形 Δn的寬度提出了內(nèi)接已知超球面的所有單形中，正則單形具有最大的寬度[2]。

文獻[1]證明了Sallee這一猜想，建立了n維單形Δn的ω(Δn)與外接球半徑R之間成立的不等式，即

(1)式等號成立當且僅當 Δn為正則單形，其中

本文約定[m]表示實數(shù)m的最大整數(shù)部分。

文獻[3]得到比Sallee-A lexander定理更強的結(jié)果，即在n維單形Δn的寬度ω(Δn)與體積V之間成立不等式，即

(2)式等號成立當且僅當 Δn為正則單形，其中

本文研究了單形寬度的類似問題，得到不等式(3)、(4)，加強了不等式(1)、(2)。

1 主要結(jié)果

設(shè)n維歐氏空間En中n維單形Δn的頂點集S={A1，A2，…，An+1}，體積為V，各側(cè)面面積為Fi(i=1，2，…，n+1)，外接球半徑為R，棱長為ρij=|Ai Aj|(1≤i＜j≤n+1)，τ(Δn，μ)表示單形Δn在方向μ的寬度，對n維單形Δn，記

定理1 在n維單形Δn的寬度ω(Δn)與體積V之間有不等式，即

等號成立當且僅當Δn為正則單形。

定理2 在n維單形Δn的寬度ω(Δn)與外接球半徑R之間有不等式，即

等號成立當且僅當Δn為正則單形。

由于cscθ≥1，R/nr≥1，ξn≥1，因此不等式(3)加強了不等式(2)，不等式(4)加強了不等式(1)。

2 引理和定理的證明

2.1 引理及證明

為了證明定理1、定理2，本文引用以下幾個引理。

引理1 對En中n維單形Δn，有

等號成立當且僅當Δn為正則單形[4]。

引理2 對En中n維單形Δn，有

等號成立當且僅當Δn為正則單形[5]。

引理3 對En中n維單形Δn，有

等號成立當且僅當Δn為正則單形[6]。

由引理2、引理3可知不等式(8)成立。

引理4 對En中n維單形Δn，有

等號成立當且僅當Δn為正則單形。

引理5 設(shè)m個正數(shù)xi(i=1，2，…，m)的算術(shù)平均值為 Am(xi)，幾何平均值為Gm(xi)，X=max{xi}，x=min{xi}，則

當x1=x2=…=xm時等號成立[7，8]。

引理6 對En中n維單形Δn，有

等號成立當且僅當Δn為正則單形。

證明 應(yīng)用文獻[9]中不等式，即

變換形式即得:

對不等式(11)右端應(yīng)用引理5便得不等式(10)，易知不等式(10)中等號成立當且僅當Δn為正則單形。

引理7 對En中n維單形Δn，有

等號成立當且僅當Δn為正則單形。

證明 利用單形體積公式及冪平均不等式，有

整理便得不等式(12)，易知等號成立當且僅當Δn為正則單形。

引理8 對點集S的每一個非空真子集A，En中必存在一定向超平面H，使SA?H，且A中的各點到H的帶號距離都相等，若以v表示H的單位法向量，這個帶號距離的絕對值為τ(Δn，v)[3]。

令I(lǐng)={1，2，…，n+1}，θm表示I的一切m元子集所成的集合，即

其中，|σ|表示集合σ的元素個數(shù)。于是單形 Δn的頂點集S的每個子集Sσ可以和I的一個子集σ對應(yīng)，即

且當1≤|σ|≤n時，由引理8可知，存在定向超平面Hσ，使Sσ中一切點到Hσ的帶號距離都相等，這個帶號距離僅與Hσ有關(guān)。若以Vσ表示Hσ的單位法向量，當 Δn取定時，τ(Δn，Vσ)僅與σ有關(guān)，故可記:

在上述記號之下，由文獻[3]有引理9和引理10。

引理9 對En中n維單形Δn，有

2.2 定理1的證明

證明 對一切σ∈θm，計算 τ-2α的算術(shù)平均AM(τ-2

α)，由引理9有:

由引理8可知:

故

由(21)式與(18)式，可得:

將不等式(5)、(8)、(10)左端應(yīng)用算術(shù)-幾何不等式，便得:

將不等式(23)代入不等式(22)化簡便得不等式(3)，定理1得證。另將不等式(12)代入不等式(3)，化簡便得證定理2。

[1] A lexander R.The w idth and diam eter of a simplex[J]. Geometriae Dedicata，1977，(6):87-94.

[2] Guy R K.The geometry of metric and linear space[M]. New York:Springer-Velag，1975:233-244.

[3] 楊 路，張景中.度量方程應(yīng)用于 Sallee猜想[J].數(shù)學學報，1983，26(4):488-493.

[4] 沈文選.單形論導引[M].長沙:湖南師范大學出版社，2000:375-384.

[5] 冷崗松.En中Euler不等式的一個加強[J].數(shù)學的實踐與認識，1995，(2):94-96.

[6] 蘇化明.一個涉及單形體積棱長及側(cè)面面積的不等式[J].數(shù)學雜志，1993，13(4):453-455.

[7] 楊世國.涉及兩個n維單形的不等式[J].浙江大學學報:理學版，2006，33(3):247-249.

[8] 齊繼兵，楊世國.關(guān)于垂足單形體積不等式的推廣[J].合肥工業(yè)大學學報:自然科學版，2007，30(6):794-797.

[9] 張景中，楊 路.關(guān)于質(zhì)點組的一類幾何不等式[J].中國科學技術(shù)大學學報，1981，11(2):1-8.