苗寶軍， 梁慶利

(許昌學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南許昌 461000)

構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解是非線性科學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容。孤立波作為非線性科學(xué)中的一類重要的物理現(xiàn)象，長(zhǎng)期以來(lái)成為眾多專家學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，而尋找各種精巧求解方法和獲取新精確解及孤立波解則更成為非線性發(fā)展方程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。目前已有許多行之有效的方法可用于尋找顯式精確解和孤立波解[1-7]，如雙曲函數(shù)法、符號(hào)計(jì)算代數(shù)法、混合指數(shù)法、齊次平衡法、F-展開(kāi)法和擴(kuò)展的Riccati映射法等。最近，由文獻(xiàn)[8]創(chuàng)立了(G′/G)展開(kāi)法，并成功應(yīng)用于求解低維非線性發(fā)展方程的精確解。本文的主要工作是受益于文獻(xiàn)[8]創(chuàng)立的(G′/G)展開(kāi)法的啟發(fā)，把它推廣應(yīng)用到高維非線性發(fā)展方程的求解。

本文研究了一類廣義Nizhnik-Novikov-Veselov(簡(jiǎn)稱 NNV)方程組的精確解和孤立波解，即

其中，a、b為非零常數(shù);c、d為任意常數(shù)。(1)式模型受到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究[9-12]。

文獻(xiàn)[9]用F-展開(kāi)法獲得了該系統(tǒng)的雅可比橢圓函數(shù)表示的周期波解，且在極限情況下獲得了系統(tǒng)的一些類型的行波解;文獻(xiàn)[10]利用拓展的Riccati方程映射法與變量分離法，得到了(2+ 1)維廣義Nizhnik-Novikov-Veselov(GNNV)系統(tǒng)新的含有2個(gè)任意函數(shù)的相當(dāng)廣義的變量分離嚴(yán)格解，并簡(jiǎn)要討論了其演化行為;文獻(xiàn)[11]利用一種基于符號(hào)計(jì)算的代數(shù)方法，用F-展開(kāi)法求解(2+1)維NNV方程組，獲得了新的顯式行波解;文獻(xiàn)[12]通過(guò)運(yùn)用多線性分離變量法所得方程解中含有任意函數(shù)這一特點(diǎn)，引入了符合原方程條件的Jacobi橢圓函數(shù)和Weierstrass橢圓函數(shù)，構(gòu)造了(2+1)維廣義NNV方程的新雙周期解等。本文主要用擴(kuò)展的(G′/G)-展開(kāi)法，結(jié)合齊次平衡方法的思想原則，獲得了(1)式的3種形式的新精確行波通解和孤立波解。

1 擴(kuò)展(G′/G)-展開(kāi)法

根據(jù)文獻(xiàn)[8]提出的(G′/G)-展開(kāi)法對(duì)其推廣，使其適用于高維非線性方程的情形，得到擴(kuò)展后的(G′/G)-展開(kāi)法。給定含獨(dú)立變量x，y，z，…，t非線性偏微分方程為:

其中，P為u及其u關(guān)于x，y，z，…，t各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，且含高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)。擴(kuò)展(G′/G)-展開(kāi)法求解的步驟如下:

(1)對(duì)(2)式行波約化，令

其中，V為待定常數(shù)。

將(3)式代入(2)式，得到u(ξ)的常微分方程為:

(2)設(shè)(4)式的解可表示為(G′/G)的多項(xiàng)式:

其中，αN≠0，αN，…，α0為待定常數(shù)，正整數(shù)N由(4)式中具有支配地位的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)齊次平衡確定;G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程O(píng)DE，則有:

(3)將(5)式代入(4)式，并運(yùn)用(6)式合并(G′/G)的相同冪次項(xiàng)，方程的左端變成一個(gè)關(guān)于(G′/G)的一個(gè)多項(xiàng)式，令該多項(xiàng)式的(G′/G)各階冪次的系數(shù)為零，導(dǎo)出關(guān)于αN，…，α0，τi，V，λ，μ的非線性代數(shù)方程組。

(4)解上述代數(shù)方程組，將所得結(jié)果以及(6)式不同情況下的通解代入(5)式，可得(2)式多個(gè)精確行波解。

2 廣義NNV方程組的精確解和孤立波解

如果令:將(7)式代入(1)式，則有:

對(duì)(8)式中各等式關(guān)于ξ積分一次并令積分常數(shù)為零，進(jìn)行計(jì)算整理得到:

考慮(10)式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u″與最高次非線性項(xiàng)u2的齊次平衡，有N+2=2N，可確定(5)式中的N=2。因而可設(shè)(10)式的解為:

其中，α2≠0，α0，α1，α2為待定的常數(shù);G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程(6)式。于是有:

因此，為了求出系統(tǒng)的精確解和孤立波解，只需先求出方程的精確行波解和孤立波解，即

將(11)～(13)式代入(10)式，合并(G′/G)的同次冪項(xiàng)并置其系數(shù)為零，進(jìn)行計(jì)算整理可得到關(guān)于α0，α1，α2，λ，μ，k，l，V的非線性代數(shù)方程組為:

解以上非線性代數(shù)方程組得:

所以(10)式的解可表示為:

下面對(duì)λ2-4μ的取值分3種情形討論，求出(1)式的精確解和孤立波解。(1)當(dāng)λ2-4μ＞0時(shí)，有

且有:其中，c1、c2是任意常數(shù)。

將(15)式、(16)式代入(14)式，即可得到(1)式的2組精確通解(17)式和(18)式。(17)式中，ξ=kx+ly+[(λ2-4μ)(ak3+b l3)-ck-d l]t+ ξ0，(18)式中，ξ=k x+ly+[-(λ2-4μ)(ak3+ b l3)-ck-d l]t+ξ0。

?特別地，取c1=0，c2≠0，μ=0，λ＞0，通解(17)式和(18)式分別變?yōu)?1)式的2組孤立波解，其中一組弧立波解為:

其中，ξ=kx+ly+[λ2(ak3+bl3)-ck-d l]t+ξ0。另一組弧立波解為:

其中，ξ=kx+ly+[-λ2(ak3+b l3)-ckd l]t+ξ0。

(2)當(dāng)λ2-4μ＜0時(shí)，有

于是可得(1)式的2組三角函數(shù)通解(19)式和(20)式。(19)式中ξ=kx+ly+[(4μ-λ2)×(ak3+ bl3)-ck-d l]t+ξ0，(20)式中ξ=kx+ly+ [-(4μ-λ2)(ak3+bl3)-ck-d l]t+ξ0。

(3)當(dāng)λ2-4μ=0時(shí)，有

于是可得(1)式的有理函數(shù)通解為:

其中，ξ=kx+ly+[-ck-d l]t+ξ0。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要利用擴(kuò)展的(G′/G)-展開(kāi)法，結(jié)合齊次平衡方法中的思想原則對(duì)一類廣義非線性發(fā)展方程N(yùn)NV進(jìn)行求解，求出了該方程組新的精確通解和孤立波解，豐富了該方程組的解系。從求解過(guò)程易知:此方法不僅簡(jiǎn)單易操作可行，而且也可用來(lái)解決其它的高維非線性數(shù)學(xué)物理方程的精確解和孤立波解。

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