趙成兵

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 230022)

那么Poisson方程Δu=f有一解u，即

結(jié)合引理5可知結(jié)論成立。

0 引 言

1 相關(guān)引理和定義

由文獻(xiàn)[1]有引理1～引理3。

引理1 設(shè)M是n維完備非緊的黎曼流形，如果它的徑向Ricci曲率不小于-(n-1)k/r2，那么?α，0≤α≤1，有[1]

其中，k＞0;m=(n-1)(1+1+4k)/2;Vp(r)為以p為圓心、r為半徑的測(cè)地球Bp(r)的體積。

定義1 曲率是漸近非負(fù)的，如果KM(x)≥-λ(r(x))，λ(?)是在[0，+∞)上非負(fù)非增的函數(shù)，并且

r(x)=dist(p，x)，并且p是M上的一個(gè)固定的點(diǎn)。

引理2 假設(shè)M是一個(gè)完備非緊的流形，有漸近非負(fù)的曲率，那么?r≥0，0≤α≤1，有[1]

其中，xi∈Bp(2r)Bp(r)，并且N是一個(gè)與r無(wú)關(guān)的正整數(shù)。

由于式(18)中的模型似然函數(shù)是通過(guò)局部測(cè)量和局部測(cè)量單元的估算計(jì)算的,因此，如果有多個(gè)傳感器測(cè)量可用,可以通過(guò)融合其他局部模型似然函數(shù)來(lái)更新.每個(gè)動(dòng)作模式的更新局部似然函數(shù)表示為累積似然函數(shù)，即

引理3 設(shè)M是一個(gè)完備非緊的黎曼流形，有漸近非負(fù)的曲率，那么存在一個(gè)正整數(shù)C D＜∞，使得?x∈M，?r≥0，則有:

設(shè)M是一個(gè)完備非緊的黎曼流形，給M上任意函數(shù)f≥0，定義

設(shè)M是一個(gè)完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，考慮Poisson方程Δu=f。

由文獻(xiàn)[2]有引理4、引理5。

引理4 設(shè)M是一個(gè)完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，如果M是非拋物的，對(duì)所有的x≠y，Green函數(shù)滿足

其中，σ是一個(gè)常數(shù)。

設(shè)f≥0是一個(gè)局部 H¨older連續(xù)函數(shù)，且k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個(gè)固定的點(diǎn)，假設(shè)∫∞0k(x，t)d t＜∞，Poisson方程Δu=f有一個(gè)解u，且適合u(o)=0與不等式:

其中，αi(n，σ)(i=1，2)和βi(n)(i=1，2，3)為常數(shù);r=r(x)表示從o點(diǎn)到x點(diǎn)的距離。

引理5 設(shè)M是一個(gè)完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個(gè)局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個(gè)固定的點(diǎn)，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，并且存在1＞δ＞0，h(t)≥0，0≤t＜∞，h(t)=o(t)，對(duì)所有的x和對(duì)所有的t≥δr(x)，當(dāng)t→∞，使得

那么Poisson方程Δu=f有一解u，即

其中，αi(n，σ)(i=1，2)和βi(n)(i=1，2，3)為常數(shù);|u(x)|=o(r(x))，r→∞。

2 定理及證明

定理1 設(shè)M是一個(gè)完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個(gè)局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個(gè)固定的點(diǎn)，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，令u是在引理4得到的Δu=f的解，那么

由引理3和引理4的證明[1，2]可得:

其中，αi、βj是引理4或引理5中的常數(shù);r= r(x，x0)。選擇ε=1/4，對(duì)(11)式兩邊除以r且r→0，則得定理1成立。

定理2 設(shè)M是一個(gè)完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個(gè)局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o為一個(gè)固定的點(diǎn)，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，令u為在引理4得到的Δu=f的解，對(duì)任意的p≥1和α≥2，那么

證明 對(duì)任意的x∈Bo(R)，有

利用文獻(xiàn)[6]的梯度估計(jì)有:

假設(shè)p＞1，令q=p/(p-1)，因此可得:

綜合(12)式可得結(jié)論成立。

定理3 設(shè)M是一個(gè)完備非緊的有漸近非負(fù)的曲率的黎曼流形，f≥0是一個(gè)局部H¨older連續(xù)函數(shù)，k(x，t)=kf(x，t)，k(t)=k(o，t)，o是一個(gè)固定的點(diǎn)，假設(shè)∫∞0 k(x，t)d t＜∞，令u是在引理4得到的Δu=f的解，那么

證明 由局部標(biāo)架公式

令φ是Bo(2R)上的光滑的緊的支撐函數(shù)，在(13)式兩邊乘以φ2并分部積分得:

選擇合適的φ可得:

結(jié)合引理5可知結(jié)論成立。

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