金憲哲 吳森堂

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)

基于隨機(jī)魯棒分析的輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置

金憲哲 吳森堂

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)

針對輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置在參數(shù)不確定性系統(tǒng)設(shè)計中的魯棒性問題,提出一種基于隨機(jī)魯棒分析的輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置優(yōu)化方法.該方法通過隨機(jī)魯棒分析準(zhǔn)確度量了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性,確立控制系統(tǒng)設(shè)計要求與待設(shè)計參數(shù)間的直接聯(lián)系,并運(yùn)用優(yōu)化技術(shù)實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性與性能間的折衷,最大化控制系統(tǒng)的魯棒性.通過在某高超聲速飛行器橫側(cè)向解耦控制系統(tǒng)設(shè)計上的應(yīng)用,驗證了該方法的有效性.

特征結(jié)構(gòu)配置;隨機(jī)魯棒分析;魯棒控制;反饋控制

特征結(jié)構(gòu)配置(EA,Eigenstructure Assignment)是一種通過極點配置,使閉環(huán)特征值及其相應(yīng)的特征向量滿足指定的設(shè)計要求,以獲得期望的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的現(xiàn)代控制設(shè)計方法,其廣泛應(yīng)用在飛行控制系統(tǒng)的靜態(tài)解耦設(shè)計上[1-3].由于實際系統(tǒng)中不是所有狀態(tài)都是可測的,當(dāng)采用輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置時,因系統(tǒng)信息的缺失,在設(shè)計過程中無法獲知未配置特征值的變化情況,設(shè)計結(jié)果可能導(dǎo)致系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.同時,外界干擾等因素引起的參數(shù)不確定性也會影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.另外,運(yùn)用 EA設(shè)計出的定常增益輸出反饋矩陣能否使系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)在整個不確定性參數(shù)變化范圍內(nèi)滿足設(shè)計要求,也是需要重點關(guān)注的問題,這在進(jìn)行解耦控制設(shè)計時尤為重要.目前,魯棒特征結(jié)構(gòu)配置已經(jīng)取得了許多研究成果[3-7],但在系統(tǒng)參數(shù)不確定性信息的利用、魯棒性優(yōu)化以及工程實用性等方面仍需要更進(jìn)一步的探討.

魯棒控制的重要元素之一是分析控制系統(tǒng)魯棒性的技術(shù),本文中引入隨機(jī)魯棒分析[8-9](SRA,Stochastic Robustness Analysis)對控制系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行度量.SRA是一種用于評估線性時不變系統(tǒng)魯棒性的數(shù)值方法,通過對閉環(huán)系統(tǒng)特征值以及性能的蒙特卡羅估計,獲得不確定性參數(shù)統(tǒng)計意義下的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定概率和性能不滿足概率,作為閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性度量和魯棒性能度量.使用不穩(wěn)定概率和性能不滿足概率量化系統(tǒng)魯棒性的一個優(yōu)點是:它能夠明確地指出系統(tǒng)可允許多大的參數(shù)不確定性而不失魯棒性.SRA中二項置信區(qū)間的應(yīng)用保證了魯棒性度量的精確性.

本文針對輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置在參數(shù)不確定性系統(tǒng)設(shè)計中的魯棒控制問題,提出一種基于SRA的特征結(jié)構(gòu)配置方法——SRA-EA.SRA-EA在設(shè)計過程中充分考慮了設(shè)計要求以及系統(tǒng)參數(shù)不確定性的信息,同時兼顧特征值及相應(yīng)特征向量的變化情況,最大化地實現(xiàn)了控制系統(tǒng)的魯棒性.

1 特征結(jié)構(gòu)配置

考慮線性時不變系統(tǒng):

式中,x∈Rn,u∈ Rm,y∈ Rr和 q∈Rl分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量、輸出向量和系統(tǒng)參數(shù)向量;A(q),B(q)和 C(q)分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣,它們是關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)向量 q的任意函數(shù).假設(shè) q有已知的或估計的概率密度函數(shù)f(q),統(tǒng)計地描述了系統(tǒng)的參數(shù)不確定性.

對某一確定的 q0,采用輸出反饋

進(jìn)行特征結(jié)構(gòu)配置,K∈Rm×r為增益輸出反饋矩陣,閉環(huán)特征值 λi(i=1,2,…,r)與相應(yīng)的特征向量 vi(i=1,2,…,r)有如下關(guān)系:

式中,I為單位矩陣.由于缺少足夠的系統(tǒng)信息,輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置一般無法將 vi精確配置到期望的特征向量,實際得到的特征向量只是一種最可能的結(jié)果,它是由(λiI-A(q0))-1·B(q0)的列所張成子空間上的投影.有關(guān)的計算在文獻(xiàn)[10]中有詳細(xì)描述.

為便于計算,通過線性變換 x=Tx～,其中

Q為使 rank(T)=n的任意矩陣,將原系統(tǒng)

變換為

原系統(tǒng)的特征值與變換后系統(tǒng)的特征值一致,而相應(yīng)的特征向量之間有如下關(guān)系:

由文獻(xiàn)[10],有

根據(jù)以上算法得到的 K,雖能夠精確配置閉環(huán)系統(tǒng)的 r個特征值,但缺少其余 n-r個特征值的信息而無法確定閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.這種情況在系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性,即 q按 f(q)指定的規(guī)律變化時,會變得更為復(fù)雜,因為 K只是在 q0的條件下得到的.此外,閉環(huán)系統(tǒng)特征向量也會因參數(shù)不確定性而偏離期望特征向量,閉環(huán)系統(tǒng)可能無法達(dá)到期望的性能.

2 SRA-EA

針對上述問題,本文在輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置過程中,運(yùn)用 SRA設(shè)計對控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能進(jìn)行分析,并在此基礎(chǔ)上對 K進(jìn)行尋優(yōu),最大化閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性.

2.1 待設(shè)計參數(shù)向量的選取

若確定了特征向量各元素的構(gòu)成形式,期望閉環(huán)特征值與 K之間存在著某種映射關(guān)系.這里將需要配置的閉環(huán)特征值 λi(i=1,2,…,r)作為待設(shè)計參數(shù)向量 h,h∈Rr,即

期望閉環(huán)特征值的可允許變化范圍構(gòu)成了 h的設(shè)計參數(shù)空間.

K可根據(jù) h和標(biāo)稱系統(tǒng)由上述算法得到.一般地,將 q變化范圍內(nèi)的 A(q)、B(q)和 C(q)的均值所構(gòu)成的系統(tǒng)設(shè)為標(biāo)稱系統(tǒng).

2.2 魯棒穩(wěn)定性度量

對于某一確定的 K,若輸出反饋配置的閉環(huán)特征值 λi(i=1,2,…,r)在整個參數(shù)不確定性變化范圍內(nèi)滿足設(shè)計要求,同時,未配置的特征值λi(i=r+1,r+2,…,n-r)均具有負(fù)實部,則認(rèn)為控制系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的.

由于每次關(guān)于穩(wěn)定性的蒙特卡羅估計只會產(chǎn)生兩種結(jié)果:穩(wěn)定或不穩(wěn)定,因此,每次的蒙特卡羅估計可用二項隨機(jī)變量 X1表示.若閉環(huán)系統(tǒng)在一次蒙特卡羅估計中是魯棒穩(wěn)定的,則令 X1=0;否則,X1=1.閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定概率估值可近似為[9]

式中,J為蒙特卡羅估計次數(shù).J越大,p1越接近真實的不穩(wěn)定概率.

2.3 魯棒性能度量

若將閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化成二項決策(binomial decision)的形式,就可用類似地的方法得到閉環(huán)系統(tǒng)的性能不滿足概率估值,以描述控制系統(tǒng)的魯棒性能.一般地,系統(tǒng)的性能很難僅用一個指標(biāo)描述其優(yōu)劣,常用的性能指標(biāo)有調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量以及特定應(yīng)用要求(如解耦設(shè)計中特征結(jié)構(gòu)所要滿足的條件)等.控制系統(tǒng)的魯棒性能由各項魯棒性能度量綜合描述.

本文采用確定的性能可接受邊界作為此項性能的判據(jù),若閉環(huán)系統(tǒng)的某項性能在可接受邊界內(nèi),則相應(yīng)的二項隨機(jī)變量 Xi=0(i≥2);否則,Xi=1.因此,閉環(huán)系統(tǒng)該項指標(biāo)的性能不滿足概率估值為

2.4 二項置信區(qū)間的應(yīng)用

由于 pi都是估計值,它接近真實不穩(wěn)定概率或性能不滿足概率 p-i的精度需要通過二項置信區(qū)間來保證.

由文獻(xiàn)[9]可知,關(guān)于不穩(wěn)定概率(或性能不滿足概率)P的置信水平為 1-α的置信區(qū)間為

文獻(xiàn)[9]還同時給出了在給定準(zhǔn)確性系數(shù) ε和置信系數(shù) α情況下所需最少的 J,從而解決了蒙特卡羅估計內(nèi)在的計算問題.

判斷待設(shè)計參數(shù)向量 h1所對應(yīng)的控制系統(tǒng)是否比 h2所對應(yīng)的控制系統(tǒng)更加魯棒,可通過計算它們的不穩(wěn)定概率或性能不滿足概率之差來確定.設(shè) P1為 h1所對應(yīng)不穩(wěn)定概率或性能不滿足概率,P2為 h2所對應(yīng)不穩(wěn)定概率或性能不滿足概率,并假設(shè) P1＞P2,則兩個概率之差 ΔP?P1-P2的置信區(qū)間可根據(jù) P1和 P2的獨(dú)立置信區(qū)間給出[8]:

ΔP的置信區(qū)間可由下式給出:

若 ΔP的置信區(qū)間包含了 0,說明兩個控制系統(tǒng)在各自的估計次數(shù)和置信系數(shù)情況下,魯棒性上沒有顯著差異,即認(rèn)為兩個控制系統(tǒng)具有相同的魯棒穩(wěn)定性或魯棒性能;否則,概率越小的控制系統(tǒng)其魯棒性越強(qiáng).

2.5 魯棒性優(yōu)化設(shè)計

魯棒特征結(jié)構(gòu)配置的目的是設(shè)計常值反饋矩陣,使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值及相應(yīng)特征向量中指定元素不會因系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響而超出設(shè)計要求,從而保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.

因此,魯棒特征結(jié)構(gòu)配置的問題可以描述為:在 h的設(shè)計參數(shù)空間內(nèi)尋找 h*,使得不穩(wěn)定概率以及各項性能不滿足概率最小.但是,魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計的一個不可避免的問題是,系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性與某些性能指標(biāo)之間存在著某種折衷,對于此類折衷問題,可應(yīng)用優(yōu)化技術(shù)實現(xiàn).

設(shè)優(yōu)化代價函數(shù)為

式中,M為關(guān)注的控制系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)的個數(shù);pi為各項設(shè)計指標(biāo)的不滿足概率;wi為 pi的加權(quán),通過調(diào)整 wi可實現(xiàn)穩(wěn)定性與各項性能指標(biāo)間的折衷.

判斷是否成功實現(xiàn)魯棒特征結(jié)構(gòu)配置設(shè)計,取決于待解決的實際問題.一般只要滿足下列條件之一即可:

1)pi最小;

2)在滿足可靠性要求的前提下,pi足夠小.

若獲得的 h*無法滿足設(shè)計要求,則可以根據(jù)pi的值修改相應(yīng)的設(shè)計指標(biāo),或改變 h的設(shè)計空間范圍,重新進(jìn)行設(shè)計.

3 設(shè)計算例

某高超聲速飛行器橫側(cè)向非線性狀態(tài)方程為

式中,β,φ,p,r,δa,δr分別為側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角 、滾轉(zhuǎn)角速度、偏航角速度、升降副翼偏角和方向舵偏角 ;T,Y,α,θ,q,m,V分別為推力、側(cè)力 、迎角 、俯仰角、俯仰角速度、質(zhì)量和飛行速度;Iz分別為滾轉(zhuǎn)力矩、偏航力矩以及飛行器各軸的轉(zhuǎn)動慣量;Gya為重力在氣流坐標(biāo)系 y軸上的投影;以上各參數(shù)遵循英美坐標(biāo)系定義.Tδa,kδa,Tδr,kδr分別為升降副翼和方向舵的時間常數(shù)和增益;δac,δrc分別為升降副翼偏轉(zhuǎn)指令和方向舵偏轉(zhuǎn)指令.

應(yīng)用 SRA-EA方法進(jìn)行橫側(cè)向飛行控制系統(tǒng)設(shè)計,要求在飛行高度H∈[18000,25000]m,V∈[1700,2400]m/s,質(zhì)量 m∈ [121000,180000]kg的飛行包線內(nèi)采用輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置實現(xiàn)飛行器荷蘭滾模態(tài)與滾轉(zhuǎn)模態(tài)之間的解耦.輸出反饋為 β,φ,p,r.

設(shè) H,V和 m按均勻分布進(jìn)行攝動,待設(shè)計參數(shù)向量 h=[λ1λ2λ3λ4]中各元素分別對應(yīng)閉環(huán)荷蘭滾模態(tài)(β,r)和滾轉(zhuǎn)模態(tài)(φ,p).h的設(shè)計參數(shù)空間為

各模態(tài)所對應(yīng)的期望特征向量為

式中,×表示特征向量中未指定的分量.

為實現(xiàn)模態(tài)間的解耦,在應(yīng)用 SRA-EA設(shè)計時的性能指標(biāo)要求:期望閉環(huán)特征向量中指定為1或 -1的分量在整個飛行包線內(nèi)變化量不超過5%,分量為 0的變化不超過 ±0.05.

置信水平取 1-α=0.95,準(zhǔn)確性系數(shù) ε=0.0001,可確定 J的最小值為 29955,增加額外的估計次數(shù)可進(jìn)一步提高估計精度,最終設(shè)定 J=30000.不穩(wěn)定概率以及性能不滿足概率的期望值均為 1.2×10-3.

不穩(wěn)定概率的加權(quán) w1=10,性能不滿足概率的加權(quán) wi=1(i≥2).

用遺傳算法對 h進(jìn)行尋優(yōu),最終得

高超聲速飛行器橫側(cè)向解耦控制系統(tǒng)在初始條件為 β=1°時的非線性隨機(jī)時間響應(yīng)曲線如圖1所示.

圖 1 初始條件為 β=1°時的非線性隨機(jī)響應(yīng)

初始條件為 φ=20°時的非線性隨機(jī)時間響應(yīng)曲線如圖 2所示.

圖 2 初始條件為 φ=20°時的非線性隨機(jī)響應(yīng)

仿真結(jié)果表明:所設(shè)計的控制系統(tǒng)能夠在給定的飛行包線內(nèi)實現(xiàn)荷蘭滾模態(tài)與滾轉(zhuǎn)模態(tài)間的解耦.

4 結(jié) 論

SRA-EA有效解決輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置在參數(shù)不確定性系統(tǒng)設(shè)計中存在的魯棒性問題.該方法充分利用了系統(tǒng)參數(shù)不確定性信息,設(shè)計結(jié)果對控制系統(tǒng)魯棒性的影響以及各設(shè)計指標(biāo)間的折衷直接體現(xiàn)在設(shè)計中,便于設(shè)計人員了解和改進(jìn)設(shè)計過程,有效避免產(chǎn)生過度保守的設(shè)計,具有較高的工程實用價值.

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(編 輯:劉登敏)

Output feedback eigen structure as signment based on stochastic robustness analysis

Jin Xianzhe Wu Sentang

(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

An approach for output feedback eigenstructure assignment(EA)of linear multi variable system with parameter uncertainty was presented based on stochastic robustness analysis(SRA),which was used to solve the problem of the eigen structure robustness.With SRA,the robustness measures of closed-loop control system could be achieved accurately.And the direct relationship between the control system design specifications and the design parameters was established.The optimization algorithm was employed to maximize the control system robustness through trading off bet ween the stability and the performances.At last,SRA-EA was applied to the decoupled design for lateral control system of the hypersonic vehicle.The numerical simulations demonstrated the effectiveness of the presented approach.

eigenstructure assignment;robustness;robust control;feedback control

TP 13

A

1001-5965(2011)04-0487-05

2010-10-19

十一五國防基礎(chǔ)科研資助項目(A 212006×××)

金憲哲 (1973-),男,黑龍江佳木斯人,博士生,jinxianzhe_first@sina.com.