王 立 李曉陽 姜同敏

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院,北京 100191)

基于退化量分布時序分析的產(chǎn)品壽命預(yù)測

王 立 李曉陽 姜同敏

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院,北京 100191)

針對現(xiàn)有性能退化預(yù)測方法采用單調(diào)回歸函數(shù)對產(chǎn)品退化隨機(jī)過程描述不夠合理的問題,從產(chǎn)品在各時刻退化量分布角度出發(fā),分析退化量分布參數(shù)估計的非平穩(wěn)時序類型,并對各參數(shù)估計分別采用相應(yīng)類型的非平穩(wěn)時序分析方法建模,進(jìn)而給出一種與實際退化隨機(jī)過程更為相符的基于退化量分布的產(chǎn)品壽命及可靠度預(yù)測方法.通過對某電子產(chǎn)品的退化試驗,采用所提出的壽命預(yù)測方法進(jìn)行了該電子產(chǎn)品壽命及可靠度預(yù)測.結(jié)果表明該方法相比傳統(tǒng)方法更符合實際.

性能退化;壽命預(yù)測;退化量分布;非平穩(wěn)時序分析

越來越多長壽命高可靠性產(chǎn)品出現(xiàn),使產(chǎn)品壽命與可靠性評估更加困難.基于產(chǎn)品性能退化信息預(yù)測產(chǎn)品壽命及可靠度成為一種有效途徑.

目前性能退化預(yù)測主要有兩種思路:①將性能退化量隨時間變化的隨機(jī)過程各樣本函數(shù)稱為退化軌跡,基于退化軌跡預(yù)測.②將性能退化量在不同時刻所服從分布的參數(shù)看作隨機(jī)變量,基于退化量分布進(jìn)行預(yù)測.

現(xiàn)有性能退化預(yù)測研究中,文獻(xiàn)[1]假設(shè)退化量為正態(tài)分布進(jìn)行可靠性預(yù)計;文獻(xiàn)[2]給出性能退化量分布參數(shù)的極大似然估計方法;文獻(xiàn)[3]采用退化軌跡函數(shù)預(yù)測產(chǎn)品性能退化;文獻(xiàn)[4]采用線性模型來描述退化量分布參數(shù)和退化軌跡.這些文獻(xiàn)均將產(chǎn)品退化軌跡或退化量分布參數(shù)假設(shè)為單調(diào)回歸函數(shù),進(jìn)行性能退化預(yù)測.然而,實際工程中由于受到環(huán)境等因素影響,性能退化量存在隨機(jī)性及周期性變化,且在這種變化下退化量分布參數(shù)往往具有非平穩(wěn)隨機(jī)性.現(xiàn)有方法對產(chǎn)品退化隨機(jī)過程描述不夠合理.

非平穩(wěn)時序包括方差平穩(wěn)時序和相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序等.非平穩(wěn)時序分析利用現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)和信息處理技術(shù),能充分挖掘非平穩(wěn)隨機(jī)時序的自相關(guān)性,刻畫時序隨機(jī)性波動規(guī)律,是一種適于描述退化隨機(jī)過程的方法.文獻(xiàn)[5]給出基于退化軌跡時序分析的性能退化產(chǎn)品壽命預(yù)測方法;文獻(xiàn)[6]給出基于退化量分布的性能退化預(yù)測時序分析法,但將退化量分布參數(shù)時序籠統(tǒng)視為方差平穩(wěn)隨機(jī)時序.由于退化量分布不同參數(shù)屬于不同非平穩(wěn)時序類型,將所有參數(shù)時序籠統(tǒng)視為方差平穩(wěn)隨機(jī)時序的假設(shè)過于簡單,與實際情況不完全相符.因此本文從退化量分布角度出發(fā),對各退化量分布參數(shù),分別采用相應(yīng)非平穩(wěn)時序分析方法,進(jìn)行性能退化產(chǎn)品壽命預(yù)測方法研究.

1 退化量分布數(shù)字特征分析

產(chǎn)品退化量分布反映了退化隨機(jī)過程一維分布,其基本數(shù)字特征為均值和方差.若各樣本退化軌跡為單調(diào)回歸函數(shù),退化隨機(jī)過程如圖 1.

可知,退化量分布均值和方差為單調(diào)回歸函數(shù).

然而工程中,由于產(chǎn)品受到各種環(huán)境因素影響,實際的退化隨機(jī)過程如圖 2.

圖 2 實際退化隨機(jī)過程

可知,當(dāng)各樣本退化軌跡為隨機(jī)時序時,退化量分布均值和方差也可能為隨機(jī)時序.當(dāng)隨機(jī)時序具有自相關(guān)性時,則時序取值不僅與當(dāng)前時刻有關(guān),且與其歷史時刻取值有關(guān).若仍采用單調(diào)回歸函數(shù)描述退化量分布均值和方差時序,則反映不出退化過程隨機(jī)波動的自相關(guān)性,從而影響退化預(yù)測結(jié)果.因此,應(yīng)對退化量分布均值和方差分別采用時序分析方法描述.

2 退化量分布參數(shù)估計

本文提出所研究的性能退化過程假設(shè):

假設(shè) 1 產(chǎn)品的性能退化過程總體趨勢具有單調(diào)性,即性能退化總體趨勢不可逆.

假設(shè) 2 退化過程中,所有產(chǎn)品采樣時刻相等.

假設(shè) 3 隨著時間的變化,退化量分布的類型不變,僅參數(shù)變化.

設(shè)共有 n個產(chǎn)品樣本,以 yt表示產(chǎn)品在 t時刻的性能退化量(或性能退化量的某種非線性變換),以 yti表示 yt的第 i個產(chǎn)品樣本.當(dāng) yt服從某位置-尺度分布時,任意時刻的位置參數(shù)與尺度參數(shù)即 yt的數(shù)字特征,分別記為 μt和,它們可確定 yt在 t時刻分布情況.例如:

1)當(dāng)性能退化量服從正態(tài)分布時,yt表示性能退化量,其分布參數(shù)為 μt和

2)當(dāng)性能退化量服從對數(shù)正態(tài)分布時,yt表示性能退化量的對數(shù),yt服從正態(tài)分布,其分布參數(shù)為 μt和

3)當(dāng)性能退化量服從形狀參數(shù)為 θt、尺度參數(shù)為 ηt的威布爾分布時,yt表示性能退化量的對數(shù),yt服從極值分布,其分布參數(shù)為 μt=lnηt和μt和的估計值可由 yt的樣本均值和樣本方差得到.由于和是按時間順序變化的隨機(jī)變量,因此是時間序列,并且是具有一定退化趨勢的非平穩(wěn)時間序列.

3 退化量分布參數(shù)估計平穩(wěn)性分析

不同類型的非平穩(wěn)時序建模方法迥異,因此在對退化量分布參數(shù)估計采用時序分析方法建模前,必須先進(jìn)行平穩(wěn)性分析,以確定退化量分布參數(shù)估計的非平穩(wěn)時序類型.

1)產(chǎn)品樣本退化軌跡時序非平穩(wěn)性分析.

實際工程中,通常認(rèn)為產(chǎn)品各樣本在 m時間段內(nèi)退化軌跡 yti(t=1,2,…,m)為相互獨立的方差平穩(wěn)時序.由時序分解原理,yti可分為確定性時序 dti和平穩(wěn)隨機(jī)時序 rti的疊加.

2)樣本均值時序非平穩(wěn)性分析.

3)樣本方差時序非平穩(wěn)性分析.s2

t時序表達(dá)式為

式(3)中第一項為確定性時序.

其中,g(t)為關(guān)于 t的非零函數(shù);bi為常數(shù).式(3)第二項可表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[7]對相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程定義:

定義 1 設(shè){xt,t∈ T}是隨機(jī)過程,如果

1){xt,t∈T}是二階矩過程;

2)對任意的 t,t+τ∈T,有

則{xt,t∈T}是相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程.

另外再根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的定理:

定理 1 設(shè) xt為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程,則)為平穩(wěn)隨機(jī)過程,其中D(xt)=σ2I2(t),σ為常數(shù).

由此,本文給出推論如下:

推論 1 任一非零確定性時序與平穩(wěn)時序之積為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序.

證明 設(shè) zt為任一平穩(wěn)時序,I(t)為任一關(guān)于 t的非零函數(shù),即非零確定性時序,則

由此可知 I(t)zt為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序. 證畢

因此,當(dāng) (dti-d-t)滿足式 (4)時 ,式 (3)第二項為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序.

式(3)第三項中,當(dāng) rti為正態(tài)過程時,(rtir-t)為平穩(wěn)時序且為正態(tài)過程.為常數(shù),并有

因此,本文僅考慮式(3)前兩項,將 s2t時序視為確定性時序與相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序之和.

4 退化量分布參數(shù)估計時序建模

產(chǎn)品退化量分布參數(shù)估計時序模型是根據(jù)產(chǎn)品樣本的退化軌跡時序模型推導(dǎo)而得,因此本文首先給出退化軌跡時序的建模方法.

1)產(chǎn)品樣本退化軌跡時序建模.

在產(chǎn)品性能退化過程中,產(chǎn)品除自身退化特性外,往往還受到環(huán)境及設(shè)備因素影響,包括周期性和隨機(jī)性影響,因此每個樣本退化量時序 yti的確定性部分 dti還可進(jìn)一步分解為單調(diào)趨勢項 fti和周期項 cti的疊加

fti可采用線性回歸函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為線性的單調(diào)非線性回歸函數(shù)描述為

其中,bi為待定系數(shù);f0i為 fti初值;g(t)為單調(diào)非線性函數(shù),當(dāng) g(t)=t時,式(7)為線性回歸函數(shù).

cti可采用適用于挖掘數(shù)據(jù)潛在周期性規(guī)律的潛周期模型描述,由于同一批受試產(chǎn)品樣本所受到的環(huán)境及設(shè)備影響相同,因此不同樣本的周期項 cti理論上也相同,則有

其中,q為角頻率個數(shù);λj為角頻率;aj為幅值.

rti可采用傳統(tǒng)平穩(wěn)時序分析方法中工程應(yīng)用廣泛、建模簡單且適于預(yù)測的自回歸模型描述為

其中,pi為自回歸模型階數(shù);ηji為自回歸系數(shù);εti為白噪聲.

2)樣本均值時序模型.

y-t具有與樣本退化軌跡時序相同表達(dá)形式:

即式(4)滿足,式(3)第二項為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序.

由式(11)可知,式(3)第一項為單調(diào)趨勢項,以 fst表示趨勢項,xt表示相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)項,有

由式(3)和式(11),fst模型為

其中,bs為待定系數(shù).

相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)項 xt的模型為

其中,fxt表示相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)項 xt的確定性部分,稱為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)趨勢項,是關(guān)于 t的非零函數(shù);rxt表示相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)項 xt的隨機(jī)性部分,稱為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)項,是平穩(wěn)時序;σr為 rxt的標(biāo)準(zhǔn)差;σxt為 xt的標(biāo)準(zhǔn)差.

由文獻(xiàn)[8]可知,σxt可由 xt的絕對值序列|xt|的均值模型得到,即

可知 E|xt|即 fxt,由式(3)和式(11),fxt可采用單調(diào)回歸函數(shù)模型描述為

其中,bx為待定系數(shù).rxt采用自回歸模型描述為

其中,px,ηxj,εxt為 rxt的自回歸 模型階數(shù) 、自回歸系數(shù)、白噪聲.

5 基于退化量分布的壽命預(yù)測

1)退化量分布參數(shù)估計時序預(yù)測.

根據(jù)時序模型最佳(最小均方誤差)預(yù)測原理,由式(10),y-t的向前 l步最佳預(yù)測值為

2)壽命預(yù)測.

通過給定某失效閾值 D,可得到 yt在任意時刻到達(dá) D的概率,即產(chǎn)品可靠度 Rt.由第 2節(jié)有:

①當(dāng)性能退化量服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布時,yt服從正態(tài)分布,若 yt隨 t單調(diào)上升,產(chǎn)品可靠度為

若 yt隨 t單調(diào)下降,產(chǎn)品可靠度為

②當(dāng)性能退化量服從威布爾分布時,yt服從極值分布,若 yt隨 t單調(diào)上升,產(chǎn)品可靠度為

若 yt隨 t單調(diào)下降,產(chǎn)品可靠度為

此時,產(chǎn)品壽命定義為產(chǎn)品性能穿越失效閾值的概率為 Rt時,所對應(yīng)的時間 t,而并非產(chǎn)品性能第一次穿越失效閾值的時間.

6 實 例

對同一批次 13個某電子產(chǎn)品進(jìn)行退化試驗,如圖 3.對產(chǎn)品施加額定電壓,以串聯(lián)電阻兩端電壓值作為觀測數(shù)據(jù).采樣間距為 1min.試驗共進(jìn)行了17000min.

圖 3 試驗設(shè)備示意圖

由于噪聲干擾對非平穩(wěn)時序分析影響很大,在對試驗觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理前,應(yīng)先對其進(jìn)行濾波處理,以去掉噪聲干擾的影響.

經(jīng)過濾波后的試驗觀測數(shù)據(jù)再經(jīng)初值化預(yù)處理后如圖 4.

圖 4 初值化后的試驗觀測數(shù)據(jù)

采用皮爾遜 χ2擬合優(yōu)度檢驗方法對各時刻對應(yīng)的預(yù)處理后數(shù)據(jù)分別進(jìn)行退化量分布假設(shè)檢驗.根據(jù)產(chǎn)品個數(shù),本文取 6個數(shù)據(jù)量值寬度相等的區(qū)間,以保證每個區(qū)間包含 2個以上產(chǎn)品樣本,則 χ2理論值為 7.815.若 χ2檢驗值小于理論值,則接受數(shù)據(jù)分布假設(shè).對該數(shù)據(jù)所有時刻退化量分布類型的 χ2檢驗平均值如表 1.

可知,威布爾分布檢驗不通過,取 χ2檢驗平均值最小的對數(shù)正態(tài)分布為退化量分布.

取經(jīng)過預(yù)處理后數(shù)據(jù)的對數(shù)作為退化數(shù)據(jù)進(jìn)行本方法的分析,如圖 5,黑色平滑曲線為采用冪函數(shù)對各產(chǎn)品樣本退化軌跡擬合的趨勢項.

表 1 退化量分布 χ2檢驗平均值

圖 5 退化軌跡時序及其趨勢項

對退化軌跡時序進(jìn)行趨勢項和周期項建模,減去這兩項,得到退化軌跡時序隨機(jī)項如圖 6.

圖 6 退化軌跡時序隨機(jī)項

對退化軌跡時序隨機(jī)項采用輪次檢驗法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗.本文將隨機(jī)項按時間分為 20等份,對各份的均方值進(jìn)行輪次計算,在 0.05顯著性水平下,若輪次數(shù)在 64至 125間時,則該數(shù)據(jù)平穩(wěn),各產(chǎn)品結(jié)果如表 2.

表 2 退化軌跡時序隨機(jī)項平穩(wěn)性檢驗

可知全部產(chǎn)品退化軌跡時序隨機(jī)項平穩(wěn).則該批產(chǎn)品退化軌跡為方差平穩(wěn)時序.對隨機(jī)項采用皮爾遜 χ2擬合優(yōu)度正態(tài)分布檢驗結(jié)果如表 3.

表 3 退化軌跡時序隨機(jī)項正態(tài)分布檢驗

可知全部產(chǎn)品退化軌跡時序隨機(jī)項符合正態(tài)分布,則式(3)第三項為平穩(wěn)時序.

分別對退化數(shù)據(jù)的樣本均值時序和樣本方差時序進(jìn)行建模.樣本均值時序的趨勢項模型為

樣本方差時序的趨勢項模型為

對減去趨勢項后的樣本方差殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗結(jié)果為 57,檢驗未通過,說明樣本方差時序并非方差平穩(wěn)時序.如圖 7.

如圖 8,樣本方差殘差數(shù)據(jù)絕對值的均值模型為

圖 7 樣本方差時序殘差數(shù)據(jù)

圖 8 樣本方差殘差數(shù)據(jù)絕對值及其均值

該殘差數(shù)據(jù)除以其絕對值均值后,再進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗結(jié)果為 105,檢驗通過,說明樣本方差可視為相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時序與確定性時序之和.如圖9.

采用第 5節(jié)方法,將退化量分布樣本均值及樣本方差時序預(yù)測至 30000min,如圖 10、圖 11.

根據(jù)該電子產(chǎn)品的實際失效情況的經(jīng)驗,取產(chǎn)品失效閾值為初始值的 93%,得到可靠度與壽命關(guān)系預(yù)測結(jié)果.如圖 12.

圖 9 樣本方差相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)項

圖 10 樣本均值時序及其預(yù)測

圖 11 樣本方差時序及其預(yù)測

圖 12 可靠度與壽命關(guān)系預(yù)測

可見,采用本文基于退化量分布非平穩(wěn)時序分析得到的可靠度與壽命關(guān)系曲線相比單調(diào)回歸函數(shù)分析方法能反映出退化隨機(jī)過程的波動性規(guī)律.該批電子產(chǎn)品中位壽命預(yù)測為 24580min.

7 結(jié) 論

本文的研究分析和實例應(yīng)用表明,對于實際工程中大多數(shù)產(chǎn)品,其各樣本退化軌跡為非平穩(wěn)隨機(jī)時序,則其退化量分布的數(shù)字特征往往也為非平穩(wěn)隨機(jī)時序.因而本文從退化量分布角度出發(fā),提出樣本均值和樣本方差時序的非平穩(wěn)時序分析方法,從而得到反映產(chǎn)品退化隨機(jī)過程波動性規(guī)律的產(chǎn)品可靠度與壽命關(guān)系預(yù)測.

實際上,這種可靠度隨壽命時間的波動性是由于產(chǎn)品可靠度被定義為產(chǎn)品在各時刻退化量穿越失效閾值的概率,在退化量分布數(shù)字特征隨時間并非單調(diào)性變化的實際情況下,產(chǎn)品可靠度也因此不隨時間單調(diào)下降,而是在單調(diào)下降的總體趨勢下,還具有一定波動性.這種波動性既包含與當(dāng)前時刻相關(guān)的周期性波動,也包含與歷史時刻相關(guān)的隨機(jī)性波動.

由于考慮了產(chǎn)品退化過程中由環(huán)境因素引起的周期性和隨機(jī)性波動,與現(xiàn)有僅考慮產(chǎn)品各樣本退化軌跡單調(diào)性退化趨勢的方法相比,本文方法描述的產(chǎn)品退化隨機(jī)過程與實際情況更相符.

需指出,本文假設(shè)產(chǎn)品的失效閾值為一固定值,然而實際工程中,產(chǎn)品不同樣本的失效閾值往往是隨機(jī)性的.由于產(chǎn)品的失效閾值對產(chǎn)品壽命預(yù)測結(jié)果影響很大,考慮隨機(jī)失效閾值的基于退化量分布產(chǎn)品壽命預(yù)測方法值得進(jìn)一步研究.

此外,對于某些產(chǎn)品由于制造費用昂貴,只能得到小樣本退化數(shù)據(jù)的情況,應(yīng)采用本文第 4節(jié)中產(chǎn)品樣本退化軌跡時序建模方法,即基于至少一個產(chǎn)品樣本的退化軌跡進(jìn)行產(chǎn)品退化過程描述和壽命預(yù)測.對于某些產(chǎn)品由于退化過程過緩,只能在一定時間內(nèi)能到短時退化數(shù)據(jù)的情況,可采用加速退化試驗的方法,通過提高產(chǎn)品所受的應(yīng)力水平,加快產(chǎn)品的退化失效過程,從而在較短時間內(nèi)即可得到更多退化信息.

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(編 輯 :婁 嘉)

Life prediction of product based on degradation amount distribution time series analysis

Wang Li Li Xiaoyang Jiang Tongmin

(School of Reliability and Systems Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

For the problem that traditional life prediction methods described product degradation stochastic process inadequately using monotonous regression function,the non-stationary time series types of different degradation amount distribution parameters estimation was analyzed based on product degradation amount distribution at each time.Different parameters estimation was modeled respectively usingnon-stationary time series analysis method.Hence,a realistic product life and reliability prediction method based on degradation amount distribution time series analysis was proposed.A degradation test of a certain electronic product was conducted,and product life and reliability were obtained by the suggested method.The results show that the suggested life prediction method is more reasonable than traditional life prediction method.

performance degradation;life prediction;degradation amount distribution;non-stationary time series analysis

TB 114.3

A

1001-5965(2011)04-0492-07

2010-08-10

國家安全重大基礎(chǔ)研究項目(61312803)

王 立(1983-),女,北京人,博士生,xiaolizi1983@hotmail.com.