周國(guó)鋒 李曉星

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

基于半光程差的天線反射面型面精度檢測(cè)

周國(guó)鋒 李曉星

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

型面擬合最小量的選取是天線面板型面檢測(cè)中的關(guān)鍵技術(shù)之一.天線表面各點(diǎn)半光程差的均方根是衡量天線型面精度的指標(biāo).根據(jù)圓錐曲面的幾何定義及其光學(xué)性質(zhì)，提出了圓錐曲面天線面板半光程差的直接計(jì)算方法，給出了基于半光程差的非線性最小二乘曲面擬合算法.以旋轉(zhuǎn)拋物面天線面板為例，通過模擬和實(shí)際測(cè)量，對(duì)比分析了分別選取軸向誤差和半光程差作為最小量擬合計(jì)算結(jié)果.試驗(yàn)驗(yàn)證了選取半光程差作為最小量擬合的算法具有更高的數(shù)值計(jì)算精度及穩(wěn)定性.

半光程差;圓錐曲面擬合;非線性最小二乘;反射面型面檢測(cè)

反射面天線的面型多采用旋轉(zhuǎn)拋物面等具有良好光學(xué)性質(zhì)的圓錐曲面.而天線面板的型面精度直接影響天線的工作性能［1］.根據(jù)文獻(xiàn)［2］可知天線表面點(diǎn)的半光程差的均方根是衡量反射面天線精度的最佳指標(biāo).在實(shí)際應(yīng)用中，通常通過測(cè)量天線面板上離散點(diǎn)三維坐標(biāo)進(jìn)行圓錐曲面擬合以獲取被檢測(cè)天線的型面精度情況.天線反射面的型面精度檢測(cè)可以歸結(jié)為求取型面參數(shù)及變換參數(shù)的非線性最小二乘問題，其中關(guān)鍵問題是采用何種最小量作為曲面擬合精度評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，文獻(xiàn)［3］提出了一種改進(jìn)的拋物面天線變形誤差算法與評(píng)級(jí)方法，但該文章假設(shè)節(jié)點(diǎn)變形后的位置對(duì)擬合拋物面的法線和徑向方向余弦近似等于原設(shè)計(jì)拋物面上相應(yīng)位置的法線和徑向方向余弦.文獻(xiàn)［4］提出分塊劃分變形反射面，并采用Coons曲面擬合每個(gè)子域，利用周向三角擬合曲線與徑向多項(xiàng)式擬合曲線來(lái)確定曲面片邊界條件，再利用擬合曲面的法向誤差評(píng)判該天線面板精度，該方法能反映反射面局部大變形，但文章利用擬合的Coons曲面的法向來(lái)代替口徑面相位差.文獻(xiàn)［5］對(duì)比分析了分別選取軸向、徑向、法向、焦距等4種不同的最小量進(jìn)行曲面擬合的計(jì)算結(jié)果.以上文獻(xiàn)提出的方法和思路都能較好地評(píng)價(jià)型面的輪廓度，但都是利用其他量近似代替半光程差來(lái)衡量天線反射面精度.本文根據(jù)圓錐曲面的幾何定義及光學(xué)性質(zhì)，推導(dǎo)了圓錐曲面天線面板半光程差的直接計(jì)算方法，提出了基于半光程差的曲面擬合的非線性最小二乘擬合算法.最后以旋轉(zhuǎn)拋物天線面板為例，通過模擬和實(shí)際測(cè)量，對(duì)比分析了采用軸向誤差和半光程差作為最小量擬合的數(shù)值計(jì)算精度及穩(wěn)定性.

1 半光程差的直接計(jì)算方法

1.1 半光程差定義

20世紀(jì)70年代，Ruse等就提出反射面表面半光程差的均方根是衡量反射面精度的指標(biāo)，并在文獻(xiàn)［2］中給出了計(jì)算半光程差的公式:

其中，Δz為軸向偏差;Δn為法向偏差;r為口徑面半徑;f為焦距.后來(lái)國(guó)內(nèi)外的很多文獻(xiàn)也推導(dǎo)出半光程差的計(jì)算公式，這些計(jì)算方法大多是推導(dǎo)了半光程差與其他偏差量(如軸向偏差或法向誤差等)之間的計(jì)算關(guān)系.

圖1為以拋物面天線為例，從焦點(diǎn)F發(fā)出的波，經(jīng)過反射在前方形成一個(gè)等相位面，即對(duì)理論面上任意點(diǎn)A和P1有:

圖1 拋物面半光程差

其中，Lop為從焦點(diǎn)到該等相位面的光程.對(duì)實(shí)際反射面而言，由于表面存在誤差會(huì)引起天線口徑面上各點(diǎn)電磁場(chǎng)產(chǎn)生相位差，使天線的旁瓣電平增高，增益降低.如在圖1中，假設(shè)反射面在P點(diǎn)處凸出(凹的情況類似)，則從焦點(diǎn)F點(diǎn)射向P點(diǎn)到達(dá)等相位面上的電磁波所經(jīng)過的光程與Lop之間的差值就是所謂的光程差，記作2δ.半光程差δ就是光程差的一半，對(duì)拋物面而言，從圖1可得

1.2 圓錐曲面的半光程差

由于圓錐曲面良好的光學(xué)性能，在天線設(shè)計(jì)中經(jīng)常采用拋物面作為主面，采用橢球面和雙曲面作副面.根據(jù)圓錐曲線的軌跡定義:到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，可知，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線有(圖1):

又根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì):從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的波，經(jīng)過拋物線反射后，反射波都平行于拋物線的軸射出，可得到在凸出點(diǎn)P處有，代入式(4)和式(5)即可得到拋物面半光程差直接計(jì)算公式:

當(dāng)e＜1時(shí)軌跡是橢圓(圖2)，其光學(xué)性質(zhì)為焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上，即有，其中2a為橢圓的長(zhǎng)軸，容易得

圖2 橢球面半光程差

而當(dāng)e＞1時(shí)為雙曲線(圖3)，從雙曲線焦點(diǎn)發(fā)出的波，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到該雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上，且有:

圖3 雙曲面半光程差

可以得到雙曲面的半光程差計(jì)算公式為

其中，2a為雙曲線實(shí)軸長(zhǎng).

以上分析結(jié)合圓錐曲面的軌跡定義及光學(xué)特性，推導(dǎo)了拋物面等3種圓錐曲面的光程差的直接計(jì)算方法.

2 基于半光程差的擬合算法

2.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

在反射面精度檢測(cè)過程中，型面測(cè)量點(diǎn)的三維坐標(biāo)在測(cè)量坐標(biāo)系下，因此進(jìn)行曲面擬合時(shí)必須進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.現(xiàn)假設(shè)m個(gè)測(cè)量點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系下的測(cè)量坐標(biāo)為(Xp，Yp，Zp)，在對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)系下的理論坐標(biāo)為(xp，yp，zp)，則根據(jù)文獻(xiàn)［6］從測(cè)量點(diǎn)到理論點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中，x0，y0，z0為沿測(cè)量坐標(biāo)系的 x，y，z三軸的平移量，和繞測(cè)量坐標(biāo)系的x，y，z三軸的旋轉(zhuǎn)角α，β，γ并稱為坐標(biāo)變換六參數(shù)且有:

2.2 誤差方程

如圖2所示，設(shè)拋物線軸向?yàn)閦軸，繞其旋轉(zhuǎn)且焦距為f的二次拋物面理論方程為

其焦點(diǎn)理論坐標(biāo)為(0，0，f)，其準(zhǔn)線繞z軸旋轉(zhuǎn)成的平面為z=－f，按照半光程差平方和最小原則擬合拋物面，根據(jù)式(6)直接列出基于半光程差誤差方程為

同理根據(jù)式(7)可以得到繞z軸旋轉(zhuǎn)的橢球面光程差方程為

其中，2a為橢球長(zhǎng)軸長(zhǎng).

根據(jù)式(9)可得繞z軸旋轉(zhuǎn)的雙曲面半光程差方程為

2.3 曲面擬合

其中，2a為雙曲線實(shí)軸長(zhǎng).

如是曲面擬合問題轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題:

其中 x=(α，β，γ，x0，y0，z0，f)，f為焦距.采用Gauss-Newton法解決該非線性問題，主要迭代過程如下:

其中

得到解x*后，代入誤差方程即可計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)基于半光程差的面板型面精度:

文獻(xiàn)［5］分別以軸向偏差、徑向偏差、法向偏差、焦距等4種不同的最小量，對(duì)拋物面天線測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，其中以軸向偏差平方和最小的原則擬合拋物面誤差方程如下:

從計(jì)算結(jié)果可見采用4種不同最小量的擬合型面精度及轉(zhuǎn)換參數(shù)有一定的差別，同時(shí)文獻(xiàn)［7］研究結(jié)果表明以軸向偏差作為最小量的擬合算法對(duì)參數(shù)初值要求不嚴(yán)格，且計(jì)算速度快.故本文第3節(jié)將對(duì)比分析采用半光程差和軸向偏差作為最小量對(duì)某拋物面天線反射面進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證.

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 模擬試驗(yàn)

設(shè)有繞z軸旋轉(zhuǎn)拋物面方程為式(11)，設(shè)其焦距f=4800mm，在其型面上按90m間距均勻取m=441 個(gè)采樣點(diǎn)記為(xp，yp，zp)T，其中:

將(xp，yp，zp)T按給定參數(shù)變換后對(duì)上述的每個(gè)采樣點(diǎn)增加服從三維正態(tài)分布的擾動(dòng)σ=0.005mm，得到51組存在隨機(jī)誤差的旋轉(zhuǎn)拋物面的模擬采樣數(shù)據(jù)(Xp，Yp，Zp)T，p=1，2，…，51.按照第2節(jié)中介紹的方法計(jì)算型面精度，并將其中一組的計(jì)算結(jié)果列入表1，可以看出在擾動(dòng)為σ=0.005mm的情況下，采用兩種不同最小量的擬合旋轉(zhuǎn)參數(shù)的相對(duì)誤差在0.000 5°量級(jí)，平移參數(shù)的相互偏差在0.1μm量級(jí)，且有最終采用軸向誤差計(jì)算的均方差為5.4μm，而采用半光程差計(jì)算的均方差為5.2μm.即在σ=0.005mm誤差擾動(dòng)下，兩者計(jì)算精度差別很小.

表1 模擬計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.2 誤差分析

在反射面的實(shí)際檢測(cè)中，影響反射面精度的因素主要包括測(cè)量誤差和制造誤差［8］，兩種誤差最終都耦合到測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值上，假設(shè)單點(diǎn)坐標(biāo)的最終耦合誤差分別為Δx，Δy，Δz，根據(jù)多元誤差傳播計(jì)算公式，可以計(jì)算式(12)基于半光程差的單點(diǎn)處數(shù)值計(jì)算誤差為

同理可計(jì)算式(16)基于軸向偏差的單點(diǎn)計(jì)算誤差為

假設(shè)在Δx=Δy=Δz=σ的等精度條件下測(cè)量，其中σ為測(cè)量耦合誤差，如代入限制條件式(17)得且一般有 z?f，容易得到 Δδ1＜ σ ＜ Δδ2.故基于半光程差的算法有更好的數(shù)值穩(wěn)定性.

根據(jù)誤差方程式(12)和式(16)，采用2.3節(jié)介紹方法擬合上述51組模擬采樣點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如圖4所示，可見在σ=0.005mm的等精度測(cè)量模型下，采用半光程差計(jì)算的最終均方差值比采用軸向誤差的計(jì)算結(jié)果小0.2μm左右.圖5表示擾動(dòng)σ從0.005mm遞增到0.255mm下的采用兩種不同最小量的計(jì)算結(jié)果曲線，可見采用半光程差計(jì)算結(jié)果更接近隨機(jī)擾動(dòng)誤差.同時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)取σ=0.005mm時(shí)兩者擬合均方差相差0.19μm，當(dāng)σ取0.255 mm時(shí)兩者擬合均方差相差11.7μm.

模擬試驗(yàn)表明:采用半光程差作為最小量的擬合準(zhǔn)則具有更高的數(shù)值計(jì)算精度，在 σ=0.255mm誤差擾動(dòng)下，基于半光程差的算法具有更高的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性.

圖4 σ=0.005mm等精度模擬測(cè)量結(jié)果

圖5 變?chǔ)业染饶M測(cè)量結(jié)果

3.3 反射面測(cè)量

北京航空航天大學(xué)研制的某型號(hào)高精度緊縮場(chǎng)，靜區(qū)直徑為2.5m，最高工作頻率為40GHz.反射面為旋轉(zhuǎn)拋物面，采用蜂窩夾層結(jié)構(gòu)由多點(diǎn)柔性模加工而成［8］，反射面理論方程如式(11)，設(shè)計(jì)焦距 f=4 800 mm，單塊面板尺寸為2112mm×2048mm.采用Leica AT901-B激光跟蹤儀在反射面表面按90mm×90mm間距均勻采集n=5組測(cè)量點(diǎn).

對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)分別選取軸向偏差和半光程差按照2.3節(jié)所述方法進(jìn)行擬合處理，鑒于篇幅將其中3組數(shù)據(jù)的處理結(jié)果列于表2和表3.可以看出在實(shí)際的反射面精度檢測(cè)中，采用軸向偏差及半光程差兩者的擬合結(jié)果有一定差別，其中采用半光程差作為最小量擬合的型面擬合均方差值比前者小2μm，實(shí)際測(cè)量結(jié)果符合3.2節(jié)誤差分析的結(jié)論.

表2 基于軸向偏差反射面測(cè)量結(jié)果

表3 基于半光程差反射面測(cè)量結(jié)果

4 結(jié)論

本文根據(jù)圓錐曲面的軌跡定義及幾何光學(xué)特性，研究了基于半光程差的直接計(jì)算方法的反射面型面精度檢測(cè)方法，以旋轉(zhuǎn)拋物天線面板為例，通過數(shù)值模擬和實(shí)際測(cè)量，對(duì)比分析了采用半光程差作為最小量擬合的數(shù)值計(jì)算精度及穩(wěn)定性，得到如下結(jié)論:

1)根據(jù)圓錐曲面的幾何特征及光學(xué)特性，可以得到圓錐反射面的半光程差直接計(jì)算方法;

2)誤差分析及模擬試驗(yàn)表明，采用基于半光程差作為最小量進(jìn)行曲面擬合，在誤差較大的情況下具有更好的數(shù)值計(jì)算精度;

3)實(shí)際測(cè)量表明，基于半光程差的檢測(cè)方法能更真實(shí)地反映面板的實(shí)際精度，在高精度面板的實(shí)際生產(chǎn)檢測(cè)及整體拼裝調(diào)整量計(jì)算及精度預(yù)估中有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

致 謝 感謝課題組何國(guó)瑜教授在論文撰寫過程中給予作者的大力支持.

References)

［1］ Anderson L J，Groth L H.Reflector surface deviations in large parabolic antennas［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1963，11(2):148 －152

［2］ Ruze J.Antenna tolerance theory:a review ［J］.Proceeings of the IEEE，1966，54(4):633 －642

［3］王從思，段寶巖，仇原鷹，等.一種拋物面天線形狀誤差的合理評(píng)價(jià)方法［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28(1):14 －18 Wang Congsi，Duan Baoyan，Qiu Yuanying，et al.Improved evaluation for calculating shape errors of parabolic antennas ［J］.Journal of University of Shanghai for Science and Technology，2006，28(1):14 －18(in Chinese)

［4］王從思，段寶巖，仇原鷹.大型天線變形反射面的新擬合方法［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32(6):839 －843 Wang Congsi，Duan Baoyan，Qiu Yuanying.A novel method for fitting the distorted reflector of a large antenna ［J］.Journal of Xidian University，2006，32(6):839 －843(in Chinese)

［5］陳繼華，李廣云.離散點(diǎn)拋物面擬合的算法研究［J］.天線技術(shù)，2005，35(4):39 －43 Chen Jihua，Li Guangyun.Research on discrete points parabolic fitting algorithm［J］.Radio Engineering of China，2005，35(4):39－43(in Chinese)

［6］ Butler B P，F(xiàn)orbes A B，Harris PM.Algorithms for geometric tolerance assessment［R］.Technical Report DITC 228/94，1994

［7］張曦，胡春華，陳五一.二次曲面擬合與擬合參數(shù)不確定度分析［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32(9):1091 －1095 Zhang Xi，Hu Chunhua，Chen Wuyi.Quadratic surface fitting and uncertainty analysis of fitting parameters［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006，32(9):1091－1095(in Chinese)

［8］周賢賓，陳連峰，李東升.反射器夾層面板精密成形原理［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，30(4):296 －300 Zhou Xianbin，Chen Lianfeng，Li Dongsheng.Principle of precision forming for sandwich panel of Large antenna reflector［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2004，30(4):296 －300(in Chinese)

(編 輯:李 晶)

Base on semi-optical path difference of antenna reflector surface accuracy detection

Zhou Guofeng Li Xiaoxing

(School of Mechanical Engineering and Automation，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

The selection of minimum value of surface fitting is one of the key technologies refer to the antenna panel surface detection.The antenna surface root-mean-square of semi-optical path difference is an index of antenna surface accuracy.A direct calculation method of semi-optical path difference(OPD)was presented according to the geometric definition of conic surface and its optical properties.The nonlinear least squares curve fitting algorithm based on the semi-optical path difference was described.Employing a parabolic reflector panel as the sample，through simulation and actual measurements，the fitting results were contrastively analyzed while selected axial deviation and semi-optical path difference as minimum value respectively.The experiments verifying the fitting method based on semi-optical path difference is more precision and stability.

semi-optical path difference;conic surface fitting;nonlinear least squares;antenna surface detection

TN 820;TB 921

A

1001-5965(2011)06-0723-05

2010-07-08

北航D2025緊縮場(chǎng)研制項(xiàng)目

周國(guó)鋒(1982 －)，男，湖南瀏陽(yáng)人，博士生，adian@me.buaa.edu.cn.