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        海洋細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)參數(shù)激勵(lì)不穩(wěn)定區(qū)的確定方法

        2011-02-13 11:55:10徐萬(wàn)海吳應(yīng)湘鐘興福劉培林馮現(xiàn)洪
        振動(dòng)與沖擊 2011年9期
        關(guān)鍵詞:穩(wěn)定區(qū)傅里葉張力

        徐萬(wàn)海,吳應(yīng)湘,鐘興福,何 楊,劉培林,馮現(xiàn)洪

        (1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院,天津 300072;2.中國(guó)科學(xué)院 力學(xué)研究所,北京 100190;3.海洋工程股份有限公司,天津 300451)

        21世紀(jì)是海洋經(jīng)濟(jì)時(shí)代,隨著世界經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,能源短缺問(wèn)題日益突出,由于陸上及近海的石油資源日益枯竭,深海油氣開發(fā)已成為各國(guó)能源戰(zhàn)略的重點(diǎn)。根據(jù)不同的海洋環(huán)境及經(jīng)濟(jì)方面的考慮,會(huì)采取不同的平臺(tái)開采方案,如張力腿平臺(tái)(TLP),SPAR平臺(tái),半潛平臺(tái)等。不論海洋油氣開發(fā)采用何種平臺(tái)方案,張緊式細(xì)長(zhǎng)柔性結(jié)構(gòu)如立管、張力腿等都會(huì)在其中扮演重要的角色。立管是進(jìn)行深水油氣開采必不可少的設(shè)備,它連接海底礦藏與海面的作業(yè)平臺(tái),進(jìn)行鉆探、導(dǎo)液和泥漿等工作。張力腿一般為圓柱形結(jié)構(gòu),是連接張力腿平臺(tái)與海底錨固基礎(chǔ)的關(guān)鍵部件,提供平臺(tái)本體必要的結(jié)構(gòu)剛度。立管與張力腿結(jié)構(gòu)形式有很大的相似之處,最大的不同就是立管的軸向預(yù)張力比張力腿小,同時(shí)立管內(nèi)部有流體流動(dòng)[1],如果忽略內(nèi)流影響,兩種結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析方法是一致的。

        張力腿等細(xì)長(zhǎng)的海洋工程結(jié)構(gòu),主要受到兩種外部激勵(lì)形式的作用,一種是平臺(tái)縱蕩而產(chǎn)生的受迫振動(dòng),第二種是平臺(tái)垂蕩引起的參數(shù)振動(dòng)[2,3]。前人的研究工作主要集中在兩方面:一種是將張力腿簡(jiǎn)化為線性Euler-Bernoulli梁模型,同時(shí)考慮平臺(tái)縱蕩和垂蕩激勵(lì)作用[2,3];另一種是把張力腿看成非線性梁結(jié)構(gòu),為了簡(jiǎn)單起見,僅考慮平臺(tái)的垂蕩激勵(lì)[4,5]。上述的兩種簡(jiǎn)化方法,最終得到張力腿參數(shù)振動(dòng)的控制方程均為Mathieu方程。當(dāng)采用非線性梁模型,同時(shí)考慮平臺(tái)垂蕩與縱蕩共同作用,研究張力腿的非線性動(dòng)力響應(yīng)還很少見。綜合地考慮軸向與流向的非線性因素及耦合效應(yīng)時(shí),張力腿參數(shù)振動(dòng)的控制方程不再是Mathieu方程,而變?yōu)楦话愕?Hill方程[6]。

        本文的主要目的是給出不同情況下,Hill方程不穩(wěn)定區(qū)的確定方法,同時(shí)比較不同方法之間的不同之處,并給出各自的適用范圍。

        1 控制方程

        張力腿被簡(jiǎn)化為兩端簡(jiǎn)支的梁結(jié)構(gòu),假設(shè)頂端平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是關(guān)于時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù),采用Han和Benaroya[7]提出的非線性模型,忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響,應(yīng)用Galerkin法和模態(tài)展開原則,得到描述張力腿等細(xì)長(zhǎng)的海洋工程結(jié)構(gòu)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的無(wú)量綱Hill方程[6]:

        Ua,Va分別為平臺(tái)垂蕩和縱蕩的幅值,L為張力腿的長(zhǎng)度。

        2 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域確定方法

        Hill方程的解會(huì)根據(jù)不同的δ,ε和M組合而變得穩(wěn)定或者不穩(wěn)定。由于水動(dòng)力阻尼的存在,張力腿等一般不會(huì)發(fā)生參數(shù)失穩(wěn)。但在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi),張力腿的動(dòng)力響應(yīng)幅值明顯大于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的結(jié)果,所以確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域是十分必要的。關(guān)于不穩(wěn)定區(qū)的分析有很多種方法,其中攝動(dòng)方法和傅里葉分析是比較常用的。

        2.1 變形參數(shù)法[8]

        令:

        將式(4)代入Hill方程式(1),根據(jù)ε的階次整理:

        方程(5)的解必須是周期為π或2π的周期函數(shù):

        因此:

        由于變形參數(shù)法確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)時(shí),隨著n數(shù)值的增加計(jì)算量會(huì)變得相當(dāng)可觀。在此只討論n=0,1,2 的情況。

        (1)n=0時(shí)

        δ0=0,有v0=a,于是:

        v1必須是周期的,因此δ1=0,化簡(jiǎn)求解式(10),并將v1代入式(7)中:

        其中NST為長(zhǎng)期項(xiàng),消去長(zhǎng)期項(xiàng),得到邊界曲線為:

        (2)n=1時(shí)

        當(dāng)n≠0時(shí),方程(5)的通解為:

        把式(13)代入式(6):

        當(dāng)n=1時(shí),消去式(14)中的長(zhǎng)期項(xiàng):

        消去式(17)中的長(zhǎng)期項(xiàng),邊界曲線為:

        消去式(19)的長(zhǎng)期項(xiàng),邊界曲線為:

        (3)n=2時(shí)

        當(dāng)n=2時(shí),消去式(14)中的長(zhǎng)期項(xiàng):

        消去式(23)中的長(zhǎng)期項(xiàng),邊界曲線為:

        消去式(25)中的長(zhǎng)期項(xiàng),邊界曲線為:

        2.2 改進(jìn)的變形參數(shù)法

        應(yīng)用變形參數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)域的理論分析時(shí),必須滿足ε?1,很多情況下,ε?1的假設(shè)并不滿足,所以傳統(tǒng)的變形參數(shù)法已經(jīng)不再適用。很多學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)[9,10],改進(jìn)的變形參數(shù)法可以用來(lái)確定參數(shù)激勵(lì)的幅值不是很小的Hill方程不穩(wěn)定區(qū)。

        設(shè)δ是ε的多項(xiàng)式函數(shù),即:

        式中:δ0,ω1,ω'2,ω'3,…均為任意常數(shù)。由于 ε 可以不是小量,引入一個(gè)新的小參數(shù):

        于是式(27)可以寫成:

        式中:δ0,ω1,ω2,ω3,…均為任意常數(shù)。

        令:

        把ε,δ,v的表達(dá)式代入式(1)中,比較α的同次冪項(xiàng)系數(shù):

        運(yùn)用變形參數(shù)法確定參數(shù)振動(dòng)不穩(wěn)定區(qū)相同的公式推導(dǎo)方法,最終得到相應(yīng)的邊界曲線表達(dá)式:

        (1)n=0時(shí)

        邊界曲線為:

        (2)n=1時(shí)

        為消除方程中的長(zhǎng)期項(xiàng),需滿足如下關(guān)系式:

        邊界曲線為:

        邊界曲線為:

        (3)n=2時(shí)

        為消除方程中的長(zhǎng)期項(xiàng),需滿足如下關(guān)系式:

        邊界曲線為:

        邊界曲線為:

        2.3 傅里葉分析法

        當(dāng)δ和ε是小參數(shù)時(shí),Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域根據(jù)攝動(dòng)方法可以獲得,但是實(shí)際的海洋環(huán)境條件下,δ和ε不再是小參數(shù),變形參數(shù)方法不再適用,而改進(jìn)的變形參數(shù)方法僅僅能分析ε~1的情況,大參數(shù)情況下同樣不適用。所以需要采用傅里葉分析法來(lái)確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域。

        當(dāng)δ是方程(1)的可列特征值時(shí),下面的周期解滿足式(1)[11]

        把方程(44)、(45)、(46)和(47)代入式(1),相應(yīng)的cos(2nτ),cos(2n+1)τ,sin(2nτ)和 sin(2n+1)τ 各項(xiàng)前面系數(shù)等于0,經(jīng)過(guò)整理,得到無(wú)窮項(xiàng)的行列式關(guān)系如下:

        可以根據(jù)實(shí)際工程設(shè)計(jì)需要,截取有限項(xiàng)n,應(yīng)用簡(jiǎn)單的數(shù)值方法可以得到Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像。

        3 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像

        應(yīng)用MATLAB軟件畫出變形參數(shù)法以及改進(jìn)的變形參數(shù)法得到的Hill方程不穩(wěn)定區(qū),分別取M=0,M=0.25,M=0.5,圖1和圖2分別給出了用上述兩種攝動(dòng)方法得到的Hill方程的前3階不穩(wěn)定區(qū)。

        然后給出傅里葉分析方法獲得的不穩(wěn)定區(qū)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,同時(shí)保證最終結(jié)果的正確性和足夠的精度,截取式(48)~式(51)中的有限10項(xiàng),分別取M=0,M=0.25,M=0.5,應(yīng)用 MATLAB 軟件編程,畫出大參數(shù)情況下方程(1)的不穩(wěn)定圖,δ和ε的取值范圍限定在0到20,圖3給出了Hill方程(1)的前3階不穩(wěn)定區(qū)。對(duì)比圖1、圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn),大參數(shù)情況下,Hill方程(1)的不穩(wěn)定區(qū)相比于小參數(shù)情形,具有明顯的不同。

        4 結(jié)論

        本文給出了三種不同的確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)方法、分別為變形參數(shù)法、改進(jìn)變形參數(shù)法及傅里葉分析法,通過(guò)對(duì)三種方法優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)比,可以得到如下結(jié)論:

        (1)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的控制方程是小參數(shù)的Hill方程時(shí),可以采用變形參數(shù)法、改進(jìn)變形參數(shù)法分析其不穩(wěn)定特性,分析結(jié)果具有較高的精度。但計(jì)算量會(huì)隨著不穩(wěn)定區(qū)階數(shù)的提高,變得十分巨大。

        (2)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的控制方程不是小參數(shù)的Hill方程時(shí),需要采用傅里葉分析法討論其解的不穩(wěn)定性,實(shí)際計(jì)算表明,傅里葉分析法可以根據(jù)需求得到高階不穩(wěn)定區(qū),并且其思路簡(jiǎn)單,計(jì)算量不大,建議在張力腿、立管等細(xì)長(zhǎng)海洋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算過(guò)程中采用。

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