葛 根，王洪禮，許 佳

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，天津 300160;2.天津大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，天津 300072)

目前薄板在各種工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。在建筑工程、機(jī)械工程以及航空航天工程中使用更為常見。由于薄板一般具有較大的柔性，在外界激勵(lì)的作用下容易發(fā)生振動(dòng)，所以研究薄板的非線性動(dòng)力學(xué)問題就顯得尤為重要。國(guó)內(nèi)外眾多非線性學(xué)科的學(xué)者在此方面做了很多工作。張偉等［1－3]利用全局?jǐn)z動(dòng)法研究了矩形薄板的全局分岔及混沌現(xiàn)象;楊志安等［4－6]研究了在非線性地基模型支撐的地基薄板的頻率響應(yīng)問題。以上文獻(xiàn)的都是使用確定性非線性系統(tǒng)理論進(jìn)行研究的，而事實(shí)上，薄板在實(shí)際情況中往往受到隨機(jī)激勵(lì)的作用。葛根等［7]研究了具有摩擦邊界的矩形薄板在面內(nèi)隨機(jī)激勵(lì)下，一階模態(tài)的隨機(jī)分岔和穩(wěn)定性問題。但對(duì)薄板高階模態(tài)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)特性尚無研究。

本文在考慮文獻(xiàn)［7] 的研究結(jié)論后，建立了四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板在含噪聲信號(hào)的面內(nèi)激勵(lì)下的二階隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)模型，并且發(fā)現(xiàn)該隨機(jī)系統(tǒng)的廣義Hamilton函數(shù)形式要比文獻(xiàn)［7] 中的一階模態(tài)復(fù)雜得多，并用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機(jī)平均法把薄板振動(dòng)系統(tǒng)表示為一維Ito擴(kuò)散過程。隨后研究了參數(shù)變化對(duì)薄板振動(dòng)時(shí)穩(wěn)定性的影響，得到了系統(tǒng)的隨機(jī)局部、全局穩(wěn)定性及分岔?xiàng)l件隨系統(tǒng)受參激強(qiáng)度變化的特性。

1 薄板隨機(jī)振動(dòng)模型的建立

如圖1所示薄板，矩形薄板長(zhǎng)寬分別為a和b，厚度為 h，在 x=0，，x=a，y=0，y=b 四邊簡(jiǎn)支。在板中面建立如圖1所示的坐標(biāo)，設(shè) u，v，w 分別為 x，y，z方向的位移。在x=0，，x=a兩邊受面內(nèi)激勵(lì)p(t)，為板中面內(nèi)的分布載荷，其形式為:p(t)=p0+p'ζ(t)，其中，p0為均布載荷，ζ(t)為0均值，強(qiáng)度為2D的高斯白噪聲，p為噪聲的幅值。在該薄板可認(rèn)為是柔性大撓度板。

圖1 矩形薄板振動(dòng)模型及坐標(biāo)Fig.1 The model of a rectangular thin plate and the coordinate system

［2] 及馮－卡曼方程，可建立板的橫向振動(dòng)方程為:

且滿足:

其中:Nx，Ny，Nxy分別為板內(nèi)各方向的內(nèi)力。

板的簡(jiǎn)支邊的位移邊界條件可表示為:

在 y=0，b處:

力邊界條件為:

y=0，b處:

設(shè)滿足位移邊界條件(4)的板的二階模態(tài)為:

代入式(2)，并考慮力邊界條件(5)求出板的內(nèi)力Nx、Ny、Nxy如下:

把內(nèi)力式(7)、式(8)、式(9)和模態(tài)式(6)代入式(1)可得:

根據(jù)Galerkin變分法，可求得離散化及參數(shù)化簡(jiǎn)后薄板的常微分形式的模態(tài)方程:

其中參數(shù)化簡(jiǎn)的形式為:

為研究系統(tǒng)(12)在隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)能量的變化，設(shè)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)(廣義能量)為:，其中:

p，q為廣義位移和廣義動(dòng)量?？砂严到y(tǒng)寫為:

其中:

該Hamilton系統(tǒng)不存在與H(t)獨(dú)立對(duì)合的首次積分，該系統(tǒng)為一個(gè)擬不可積Hamilton系統(tǒng)。根據(jù)擬不可積Hamilton系統(tǒng)的定義及性質(zhì)，可知系統(tǒng)(13)依概率收斂到一維Ito擴(kuò)散過程:

其中，B(t)是標(biāo)準(zhǔn)Weiner過程，m(H)和σ(H)分別是Ito隨機(jī)過程的漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)。使用擬不可積Hamilton系統(tǒng)的隨機(jī)平均法［8]，得到:

其中:Ω =({q1，q2，p2H(q1，q2，0，p2)≤H)，下標(biāo)(i，j，k)為約定求和標(biāo)值。

這里R是方程(21)的根。

2 矩形薄板模型的隨機(jī)穩(wěn)定性

2.1 局部穩(wěn)定性

線性化系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)定義為:

由Oseledec乘積遍歷性定理可知，系統(tǒng)(14)平凡解以概率1漸近穩(wěn)定的充要條件是:最大Lyapunov指數(shù)λ＜0。顯然，方程(14)只有一個(gè)平凡解(0，0)，則平均Ito方程只在零點(diǎn)處取得唯一平凡解，將(14)在H=0處線性化，得到線性化的Ito微分方程:

解得:

故系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)為:

2.2 全局穩(wěn)定性

通過計(jì)算系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)的方法只能用于判定系統(tǒng)的隨機(jī)局部穩(wěn)定性，卻無法用于系統(tǒng)隨機(jī)全局穩(wěn)定性的判定，所以只能采用隨機(jī)擴(kuò)散過程的奇異邊界理論［10]來判定系統(tǒng)的全局隨機(jī)穩(wěn)定性。

一維擴(kuò)散過程的概率漸近穩(wěn)定性由該過程在奇異邊界上的性態(tài)確定，因此下面主要分析擴(kuò)散過程的兩個(gè)奇異邊界性態(tài):左邊界H→0和右邊界H→∞。

當(dāng)H→0時(shí)，使 σ2(H)=0，m(H)=0，屬于第一類奇異邊界，H→0為套點(diǎn)。漂移系數(shù)m(H)和擴(kuò)散系數(shù)σ(H)漸近地收斂于下面的兩式:

根據(jù)參考文獻(xiàn)［10] 表2－8.2和表2－8.4的結(jié)論奇異邊界的劃分標(biāo)準(zhǔn)可知，平均Ito方程(12)的左邊界屬于第一類奇異邊界。相應(yīng)的，判斷邊界類別的擴(kuò)散指數(shù)αl(下標(biāo)l表示左邊界)、漂移指數(shù)βl以及特征標(biāo)值cl分別為:

當(dāng)H→∞時(shí)，H應(yīng)對(duì)應(yīng)R的高次項(xiàng)，對(duì)式(19)求期望，可知:

把式(30)代入式(19)、式(20)，可知:

且知，在H→∞時(shí)，

下面討論參數(shù)對(duì)系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的影響，當(dāng)cl＜1，即滿足時(shí)，左邊界H→∞是吸引自然邊界。說明當(dāng)滿足式(26)時(shí)，左邊界吸引，右邊界排斥，系統(tǒng)的解曲線會(huì)在整個(gè)能量域上向左邊界，也就是能量趨向0靠近，所以此時(shí)系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，由此可知滿足條件(26)時(shí)，系統(tǒng)不但是局部穩(wěn)定而且是全局穩(wěn)定的。

圖2 特征標(biāo)值變化對(duì)系統(tǒng)全局穩(wěn)定性影響示意圖Fig.2 The global stability conditions with the changing of the character value

可以發(fā)現(xiàn)該結(jié)論符合一般的常識(shí)，當(dāng)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)越大時(shí)，系統(tǒng)能量耗散越快，系統(tǒng)越趨向穩(wěn)定;當(dāng)隨機(jī)干擾噪聲密度D越大，則系統(tǒng)的能量越不易控制。

相反，當(dāng)cl＞1時(shí)，左右邊界都是排斥自然邊界，系統(tǒng)的解曲線會(huì)在整個(gè)能量域上往返，其具體的穩(wěn)態(tài)位置需要求解系統(tǒng)的FPK(Fokker-Planck-Kolmogorov)方程方可知。

3 系統(tǒng)的隨機(jī)分岔

當(dāng)特征標(biāo)值cl＞1時(shí)，系統(tǒng)在取某能量值處會(huì)出現(xiàn)最大的概率密度，對(duì)應(yīng)的物理意義為系統(tǒng)在受隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)時(shí)最有可能的能量大小。當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)能量的最大概率密度可能出現(xiàn)Hopf分岔［11]，對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)出現(xiàn)類似確定性系統(tǒng)中“極限環(huán)”的現(xiàn)象，振蕩變得劇烈，系統(tǒng)可能被破壞。因此有必要通過研究系統(tǒng)的FPK方程，可得到出現(xiàn)Hopf分岔的條件。

系統(tǒng)(12)對(duì)應(yīng)的FPK方程為:

其中f為穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)。

求解方程(30)，得到穩(wěn)態(tài)概率密度:

其中A為歸一化常數(shù)。

由于這里我們研究的系統(tǒng)能量應(yīng)在平衡點(diǎn)附近，則考慮忽略式(19)、式(20)中的R4高階項(xiàng)。代入式(33)中后解得:

其中:

系統(tǒng)廣義位移與系統(tǒng)廣義動(dòng)量的聯(lián)合平穩(wěn)概率密度表達(dá)式為:

則穩(wěn)態(tài)概率密度可改寫為:

穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù) f(H)=O(Hη)，且有 η=cl－αl。當(dāng)滿足η＜－1時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在H=0處是一個(gè)δ函數(shù);－1＜η＜0，則穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)f(H)是H=0處有最大值的減函數(shù);當(dāng)η＞0時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)f(H)在遠(yuǎn)離H=0處有峰值。這意味著，在η=－1時(shí)發(fā)生隨機(jī)D－分岔(動(dòng)態(tài)分岔，意義類似于確定性系統(tǒng)分岔);在η=0時(shí)會(huì)發(fā)生隨機(jī)P－分岔(唯像分岔，概率密度函數(shù)的形狀變化)，這兩次分岔構(gòu)成了隨機(jī)Hopf分岔。

下面著重討論η=0處的隨機(jī)P－分岔，給定參數(shù)條件下的系統(tǒng)平穩(wěn)概率密度f(H)和系統(tǒng)響應(yīng)聯(lián)合概率密度 f(q1，q2，p1，p2)隨參數(shù)變化的數(shù)值結(jié)果。

由于參數(shù)眾多，本文選取對(duì)控制系統(tǒng)全局穩(wěn)定性有重要意義的無量綱阻尼系數(shù)μ為分岔控制參數(shù)。設(shè)其它的無量綱參數(shù)為:

從圖3到圖6的數(shù)值模擬可知，當(dāng)阻尼系數(shù)增大時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的圖形形狀發(fā)生了變化。穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的峰值的位置表示發(fā)生分岔的對(duì)應(yīng)系統(tǒng)廣義能量值，峰值的高度代表概率密度的大小。尤其在阻尼參數(shù)取值在使η＞0后，根據(jù)圖5和圖6的比較可看出，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生分岔的能量不在能量H=0處，且隨阻尼參數(shù)減小，η變大，系統(tǒng)發(fā)生分岔的概率最大對(duì)應(yīng)的能量值H也變大，對(duì)應(yīng)的峰值降低。

下面對(duì)系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)做數(shù)值模擬。由于系統(tǒng) Hamilton函數(shù)的變量是 q1，q2，p1，p2四個(gè)，根據(jù)式(36)得出的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的圖形是5維的，不利于顯示。所以可以先固定(q2，p2)的值，畫聯(lián)合概率密度函數(shù) f(q1，p1)，設(shè) q2，p2=0.2，0.2，代入式(36)后作數(shù)值模擬。

隨機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔行為與確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔行為是有明顯區(qū)別的，隨機(jī)系統(tǒng)由于受到隨機(jī)因素的作用，系統(tǒng)發(fā)生分岔是以概率形式來反映的。一方面，即使?jié)M足一定的分岔?xiàng)l件，分岔也并不是一定會(huì)發(fā)生，發(fā)生分岔的概率反映了發(fā)生分岔的可能性的大小，可見隨機(jī)系統(tǒng)的復(fù)雜性，因此無法做出對(duì)隨機(jī)分岔的準(zhǔn)確的預(yù)測(cè);另一方面，系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，發(fā)生分岔的概率大小也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，盡量降低分岔發(fā)生的概率。

通過具體分析，得到了影響系統(tǒng)性態(tài)的分岔參數(shù)μ，分析了分岔參數(shù)取值對(duì)隨機(jī)Hopf分岔的影響。根據(jù)研究經(jīng)驗(yàn)，在穩(wěn)態(tài)概率密度出現(xiàn)火山口時(shí)即可判定發(fā)生隨機(jī)Hopf分岔，隨機(jī)Hopf分岔的產(chǎn)生會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生類似確定性系統(tǒng)“自激振動(dòng)”的現(xiàn)象，從而造成系統(tǒng)損壞，為了避免Hopf分岔的產(chǎn)生可通過調(diào)節(jié)分岔參數(shù)使其值遠(yuǎn)離分岔值，即可降低發(fā)生分岔的危險(xiǎn)。

4 結(jié)論

本文的主要工作為，首先建立了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的受面內(nèi)隨機(jī)激勵(lì)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，然后用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機(jī)平均法將表示系統(tǒng)能量(Hamilton函數(shù))的變化過程簡(jiǎn)化為一個(gè)一維擴(kuò)散過程。最后利用奇異邊界理論和隨機(jī)分岔理論研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔情況?？傻贸鋈缦陆Y(jié)論:

(1)對(duì)系統(tǒng)的邊界分析得出，當(dāng)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)大于一個(gè)定值時(shí)，左邊界吸引右邊界排斥，所以系統(tǒng)一定以概率1穩(wěn)定;當(dāng)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)小于一個(gè)定值時(shí)，左邊界排斥，右邊界也排斥，系統(tǒng)的解曲線會(huì)在能量域上往返。

(2)通過求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，得出了系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)D－分岔的條件即為系統(tǒng)全局穩(wěn)定的條件。并通過數(shù)值模擬研究了系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)P－分岔的條件與現(xiàn)象。

參考文獻(xiàn)

［1] Zhang W， Liu Z M， Yu P. Global dynamics of a parametrically and externally excited thin plate.［J] Nonlinear Dynamics，2001，24:245 －268.

［2] Zhang W.Global and Chaotic dynamics for a parametrically excited thin plate.［J] Journal of Sound and vibration，2001，239(5):1013－1036.

［3] Cao D X，Zhang W.Global bifurcations and chaotic dynamics for a string-beam coupled system.［J] .Chaos，Solitons ＆Fractals，2008，37(3):858 －875.

［4] 楊志安，趙雪娟.非線性彈性地基上矩形薄板受雙頻參數(shù)激勵(lì)作用的非線性振動(dòng)［J] .應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24(3):494－498.

［5] 楊志安，趙雪娟，席曉燕.非線性彈性地基上矩形薄板的非線性振動(dòng)與奇異性分析［J] .振動(dòng)與沖擊，2006，25(5):69 －73.

［6] 楊志安，趙雪娟，席曉燕.非線性彈性地基上矩形薄板的主參數(shù)共振［J] .巖土力學(xué)，2005，26(12):1921 －1925.

［7] 葛 根，王洪禮，許 佳.矩形薄板在面內(nèi)隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)下的隨機(jī)穩(wěn)定性與分岔研究［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(9):91 －94，194.

［8] Zhu W Q，Ying Z G，Soong T T.An optimal nonlinear stochastic control strategy for randomly excited structural systems［J] .Nonlinear Dynamics，2001，24:31 － 51.

［9] Zhu W Q.Lyapunov exponent and stochastic stability of quasi-non-integrable Hamiltonian system［J] .International Journal of Non-Linear Mech，2004，39:569 －579.

［10] Zhu W Q. Nonlinear stochastic dynamics and control:framework of Hamiltonian theory［M] .Beijing:Science Press;2003.

［11] Zhu W Q，Huang Z L.Stochastic Hopf bifurcation of quasinonintegrable Hamilton systems［J] .International Journal of Nonlinear Mechanics，1999，34:437 －447.