陳帝伊，申 滔，馬孝義

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)，機械與電子工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100;2.西北農(nóng)林科技大學(xué)，水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

旋轉(zhuǎn)圓盤應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如光盤資源、硬盤驅(qū)動和圓鋸片等。在外力和內(nèi)部諧振的作用下，旋轉(zhuǎn)圓盤的混沌振動行為將影響系統(tǒng)的性能［1]。采用被動式的控制方法，改變物理機械性能可消除其混沌振動，例如改變圓盤的厚度，因為會影響到其自然頻率和旋轉(zhuǎn)速度，所以通常不被采用［2]。

混沌控制，研究的是在系統(tǒng)參數(shù)客觀不可改變，或大的參數(shù)改變須付出極大代價時，保留原有參數(shù)條件或僅對參數(shù)進行微調(diào)，將混沌系統(tǒng)控制到周期軌道或平衡點［3]。典型的控制方法有OGY法、線性反饋控制方法、自適應(yīng)控制方法、Lyapunov指數(shù)法、反饋滑模變結(jié)構(gòu)法等［4－10]。這些控制方法都有各自的優(yōu)點，也有其缺陷及其適用范圍。鑒于此，本文運用比例積分滑模變結(jié)構(gòu)控制的方法很好地控制旋轉(zhuǎn)圓盤的混沌振動。

依據(jù)文獻［2] 中所描述的旋轉(zhuǎn)圓盤橫向振動的四維動力學(xué)方程，分析其復(fù)雜動力學(xué)特征，而后用比例積分滑模變結(jié)構(gòu)法，控制處于混沌狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)圓盤到任意固定點和周期軌道，重點討論了其增益系數(shù)和滑模面初始值對控制過程的影響，得出一些定性的結(jié)論。

1 旋轉(zhuǎn)圓盤方程

1.1 旋轉(zhuǎn)圓盤橫向振動的動力系統(tǒng)

在文獻［2] 中，研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達式為:

其中，x和y是極坐標(biāo)下的振幅函數(shù)，ω，Ω，γ和F均為大于零的連續(xù)參數(shù)，ω和Ω分別表征無量綱的自然頻率和自旋頻率，F(xiàn)表征作用于圓盤的集中力。選取參數(shù) ω =1，Ω =0.8，γ =1，F(xiàn)=4，則系統(tǒng)(1)的三維相圖及平面相圖如圖1～圖3所示:

圖1 x1－x2－x3三維相圖Fig.1 The x1－x2－x3 threedimensional phase diagram

圖2 x1－x3平面相圖Fig.2 The x1－ x3 phase diagram

圖3 x2－x4平面相圖Fig.3 The x2－ x4 phase diagram

圖4 Poincare映射圖Fig.4 The Poincare diagram

觀察圖1～圖3的拓撲結(jié)構(gòu)可以初步判斷系統(tǒng)(1)具有混沌的復(fù)雜動力學(xué)特征。

1.2 Poincare映射圖

系統(tǒng)(1)在x3=0截面的Poincare映射圖如圖4所示，通過Poincare截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，可以判斷系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

1.3 Lyapunov 指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴張的量，可以利用Lyapunov指數(shù)來判定一個系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌或者超混沌。

運用MATLAB求出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜，得到t→∞時系統(tǒng)的四個Lyapunov指數(shù)分別為:λL1=0.000 57，λL2=0，λL3= －0.000 23，λL4= －0.000 24。最大Lyapunov指數(shù)大于0，因此系統(tǒng)(1)是混沌的。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制

2.1 控制器的設(shè)計

變結(jié)構(gòu)控制理論的基本思想是:首先設(shè)計出一個性質(zhì)良好的滑模平面，使系統(tǒng)限制在滑模平面上時，具有所期望的性質(zhì);然后施加控制，使系統(tǒng)到達滑模面上，并保持在其上滑動［3]。

因此，系統(tǒng)(1)的受控形式如下:

式中:u1，u2，u3和u4為控制輸入，加入合理的控制器可將圓盤橫向振動的振幅及振幅變化的速率控制在所需的范圍或固定值，以保證圓盤的正常運行工況。定義矩陣:

其中，A為系統(tǒng)線性矩陣，B為控制矩陣，g為系統(tǒng)的非線性矩陣?？刂频哪繕?biāo)是使系統(tǒng)狀態(tài)x=［x1，x2，x3，跟蹤一個時變狀態(tài) xd=［xd1，xd2，xd3。為此，定義跟蹤誤差:

則誤差動力系統(tǒng)為:

可定義時變的比例積分滑模面為S=S(e，t)，即:

式中，附加矩陣K∈R4×4且滿足det(KB)≠0，附加矩陣L∈R4×4且滿足A－BL為負定矩陣。在滑動模態(tài)下必須滿足 S==0。

為滿足滑動條件，在等效控制器中加入一個非連續(xù)項得到如下控制策略:

式(8)中sign(S)為符號函數(shù)，即S＞0時sign(S)=1，S=0時sign(S)=0，S＜0時sign(S)= －1。

證明過程詳見參考文獻［3] 。

2.2 數(shù)值模擬

受控前，即u1=u2=u3=u4=0時，系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量隨時間變化的圖形如圖5(a，b，c，d)所示:

圖5 受控前狀態(tài)變量隨時間變化的曲線Fig.5 The movement graphic of state variables before control

為將系統(tǒng)(2)控制到目標(biāo)態(tài)，選取附加矩陣K=diag(1，1，1，1)可保證 KB 為非奇異矩陣;選取 A －BL的特征根為P=［－5，－5，－5，－5] ，采用極點配置法確定矩陣:

選取比例積分滑模面如下:

設(shè)置系統(tǒng)初始值［x1(0)，x2(0)，x3(0)，x4(0)] =［0.5，0.8，0.2，0.4] ，參照狀態(tài) xd1=xd2=xd3=xd4=xd。則控制信號如下:

2.3 控制增益的設(shè)計

在實際變結(jié)構(gòu)控制中，由于慣性、滯后等因素的存在，抖振的產(chǎn)生是必然的。抖振問題的存在是變結(jié)構(gòu)控制深入應(yīng)用的主要障礙，許多學(xué)者都曾致力于該方面的研究，也得到了很多成果，歸納起來，主要有兩個途徑，一是對理想切換采用連續(xù)近似;二是調(diào)整到達速率。前者雖然消除了抖振，卻使控制器失去了寶貴的抗攝動、抗干擾的特性，從而限制了它的應(yīng)用范圍。所以，后者的應(yīng)用發(fā)展前景較為樂觀，也是眾多學(xué)者研究的重點［11]。為了消除變結(jié)構(gòu)控制給系統(tǒng)帶來的抖動，必須選取合適的增益系數(shù)。在本文中，由2.1的推導(dǎo)過程可知:

2.4 控制到固定點

此控制方法能夠控制系統(tǒng)(2)穩(wěn)定到任意一點，為了不失一般性，本文取固定點［0.5，0.5，0.5，0.5] ，即xd=0.5，S·求解的初值為［0.1，0.1，0.1，0.1] ，增益系數(shù)k依次取值2、3、4、5，其他參數(shù)值依次為 ω =1，Ω =0.8，γ=1，F(xiàn)=4。在k=3時，調(diào)整的初值為［1，1，1，1] 。系統(tǒng)控制器均在10 s時加入，得系統(tǒng)狀態(tài)變量、控制器及滑模面隨時間變化圖形分別如圖6、圖7和圖8所示。

由圖6可知，隨著控制器增益系數(shù)k取2、3、4、5依次增大，各維狀態(tài)變量受控的過渡過程時間越短，但是，過渡過程的峰值越大。當(dāng)然，他們之間并不是成線性關(guān)系，如x2維隨著增益系數(shù)k的增大，過渡過程的時間縮短較小，而峰值增大較多。圖7反映了隨著增益系數(shù)k的增大，滑模面趨近0的時間縮短，過渡過程均為斜線。圖8中可觀察到，在各個增益系數(shù)k的各個取值時，控制器的輸出曲線最終在確定的基值、上界和下界間波動，證明系統(tǒng)誤差已達到0，控制器的輸出波動僅因S的微小變化引起符號函數(shù)sign(S)躍變而產(chǎn)生。隨著增益系數(shù)k的增大，控制器達到穩(wěn)定的時間越短，但是，過渡過程中的峰值越大，且穩(wěn)定后的上、下界波動范圍越大。求解的初值對系統(tǒng)的過渡過程也是有影響的，其初值距最終穩(wěn)定的0越小，時間越短，峰值也偏大。

綜上所述，增益系數(shù)k的取值，應(yīng)該根據(jù)不同工況的實際需求，在有效的解決抖振問題的前提下，綜合平衡過渡過程時間、過渡過程的峰值和控制器最終輸出曲線的上下界三者的關(guān)系。當(dāng)然求解的初值距最終穩(wěn)定的0值越小越好。

2.5 控制到周期軌道

此控制方法能夠控制系統(tǒng)(2)穩(wěn)定到任意周期軌道，為了不失一般性，此處取sin(Ωt)為例，則令xd=sin(Ωt)，其中參數(shù)取值為 ω =1，Ω =0.8，γ =1，F(xiàn)=4 和k=3，在10 s時加入控制器，得系統(tǒng)狀態(tài)變量及控制器隨時間變化圖形如圖9和圖10所示。

由圖9可知，加入控制器后，系統(tǒng)(3)最終跟蹤參照狀態(tài)xd至周期軌道，其增益系數(shù)對過渡過程的影響與控制到固定點時的結(jié)論相通，在此不再贅述。

3 結(jié)論

在大多數(shù)機械系統(tǒng)中，混沌是一種有害的運動形式。因此，建立系統(tǒng)模型，選取合適的參數(shù)并設(shè)計合理的控制器，消除不期望出現(xiàn)的混沌態(tài)，使機械系統(tǒng)穩(wěn)定運行，具有重要意義。本文基于所選取的比例積分滑模面，推導(dǎo)出相應(yīng)的控制策略使旋轉(zhuǎn)圓盤的橫向振動系統(tǒng)到達滑動模態(tài)，實現(xiàn)控制目標(biāo)，并詳盡分析了控制器增益系數(shù)的選擇來解決抖振問題，以及在過渡過程的時間、過渡過程的峰值和控制器最終輸出曲線的上下界三個方面的影響。即:增益系數(shù)越大，則過渡過程的時間越短，過渡過程的峰值越大，且控制器的過渡過程時間越短，峰值越大，控制器穩(wěn)定后的上下界越大。同時，滑模面求解的初值距最終穩(wěn)定的0值越小越好。

后續(xù)的工作有必要對控制器的投入時間，該控制方法在其他混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用以及相關(guān)實驗等方面進行研究。

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