胥永剛， 馬海龍， 馮明時(shí)， 崔玲麗

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 北京市先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

差分振子用于微弱信號(hào)檢測(cè)，可以實(shí)現(xiàn)機(jī)電設(shè)備故障的早期檢測(cè)。與混沌振子、隨機(jī)共振等非線性方法相比，差分振子不需要解微分方程，運(yùn)算速度快，適用于實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，是一種可視化的微弱信號(hào)的檢測(cè)方法。差分振子對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)是將待檢測(cè)信號(hào)輸入差分振子后，通過振子相圖的變化來(lái)判斷信號(hào)中是否含有待檢測(cè)的頻率。這一判斷到目前為止都是通過人的感官來(lái)判別，不利于自動(dòng)化檢測(cè)的實(shí)現(xiàn)，且在噪聲較大的情況下，有可能出現(xiàn)誤判。常用的圖像的識(shí)別方法如Hu 氏不變矩［1］、仿射矩［2］、Zernike 矩［3－6］等方法，已經(jīng)被應(yīng)用于軸心軌跡、混沌振子相圖和圖形的識(shí)別中，并取得了很好的效果。但是將以上方法用于差分振子的相圖軌跡識(shí)別中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：這些方法不能夠有效地識(shí)別不同狀態(tài)下的相圖。不同的差分振子相同出現(xiàn)了相近的矩值，而且矩的值也不呈現(xiàn)規(guī)律性。根據(jù)差分振子相圖的特點(diǎn)，給出了一種新的方法對(duì)差分振子的相圖變化進(jìn)行識(shí)別。

1 差分振子的基本原理

差分振子是以差分方程為基礎(chǔ)構(gòu)造檢測(cè)器，其數(shù)學(xué)模型如下：

令：α=－（a+b）β=ad－bc

利用消元法，消去變量yk，得到一元差分方程如下：

當(dāng)α、β滿足以下條件：

系統(tǒng)的固有頻率ω0可以通過下式進(jìn)行估計(jì)：

以差分方程為基礎(chǔ)的差分振子檢測(cè)器構(gòu)造如下：

其中：p是放大倍數(shù)，fe是系統(tǒng)激勵(lì)頻率，T（k）是檢測(cè)信號(hào)，fd是檢測(cè)頻率，fs是采樣頻率。

適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)檢測(cè)器的各個(gè)參數(shù)就能達(dá)到對(duì)信號(hào)頻率的識(shí)別，即：若差分振子圖像收斂于極點(diǎn)，則信號(hào)中不含有待檢測(cè)頻率；若差分振子圖像收斂于極環(huán)，則信號(hào)中含有待檢測(cè)頻率［7，8］。下面通過對(duì)一個(gè)仿真信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)來(lái)說明差分振子的有效性，構(gòu)造一個(gè)仿真信號(hào)如下：

其中：noise是隨機(jī)噪聲，采樣頻率：fs=1 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)：N=8 192；利用差分振子分別檢測(cè)50 Hz和55 Hz的頻率成分。因信號(hào)中含有50 Hz這一頻率，所以檢測(cè)50 Hz（即fd=50）頻率成分時(shí)，差分振子相圖應(yīng)收斂于極環(huán)狀態(tài)，而檢測(cè)55 Hz（fd=55）頻率成分時(shí)，因信號(hào)中不含有這一頻率，所以差分振子相圖收斂于極點(diǎn)。差分振子的其它參數(shù)設(shè)置如下：α=0.95，β=0.99，激勵(lì)頻率fe=0.329 2，放大倍數(shù)p=1。檢測(cè)結(jié)果如圖1所示。

圖1 差分振子檢測(cè)信號(hào)的振子相圖Fig.1 Differential resonator phase diagran of detected signal

2 差分振子相圖的識(shí)別

對(duì)差分振子的相圖進(jìn)行識(shí)別就是要對(duì)差分振子的相圖狀態(tài)進(jìn)行識(shí)別，即對(duì)信號(hào)中是否存在待檢測(cè)頻率進(jìn)行自動(dòng)判斷。若信號(hào)中含有待檢測(cè)頻率，則對(duì)該頻率成分幅值的大小進(jìn)行定性的判斷。對(duì)差分振子的相圖狀態(tài)進(jìn)行研究，找出檢測(cè)頻率幅值大小與差分振子相圖的關(guān)系。

2.1 檢測(cè)頻率的幅值對(duì)差分振子相圖的影響

差分振子的參數(shù)對(duì)差分振子的相圖影響很大，即使同一信號(hào)，輸入差分振子后，在不同的參數(shù)下表現(xiàn)出的極環(huán)的狀態(tài)是不相同的。因此不同參數(shù)下的差分振子相圖是無(wú)法比較待檢測(cè)信號(hào)頻率幅值的相對(duì)大小，其比較也是無(wú)任何意義的。在相同的參數(shù)條件下，差分振子相圖的變化能夠反映出待檢測(cè)頻率幅值的變化，通過差分振子相圖的變化判別待檢測(cè)頻率幅值的相對(duì)大小。下面通過仿真信號(hào)來(lái)說明待檢測(cè)頻率幅值與差分振子相圖的關(guān)系。構(gòu)造仿真信號(hào)如下：

其中：待檢測(cè)信號(hào)頻率30 Hz，noise是隨機(jī)噪聲。采樣點(diǎn)數(shù)N=8 192，采樣頻率fs=1 000，a是信號(hào)中30 Hz頻率成分的幅值。改變a的值，觀察差分振子的相圖變化情況。差分振子的參數(shù)如下：α=0.95，β=0.99，放大倍數(shù)p=2.5，激勵(lì)頻率fe=0.329 2，檢測(cè)頻率fd=30。不同幅值下的差分振子相圖如圖2所示。

圖2 不同幅值下的差分振子圖像Fig.2 Differential resonator phase figure with different amplitudes

從圖2中可以看出，a=0.5時(shí)差分振子相圖所占的區(qū)域?yàn)?00×100，a=0.75時(shí)，差分振子相圖所占區(qū)域?yàn)?50×150，a=1時(shí)差分振子相圖所占區(qū)域?yàn)?00×200。可見隨著a的增加，差分振子相圖的極環(huán)所占區(qū)域也近似地按照相應(yīng)的比例增大。在差分振子參數(shù)相同的條件下，差分振子極環(huán)的大小反映了待檢測(cè)頻率幅值的大小，極環(huán)越大，相應(yīng)的待檢測(cè)頻率的幅值越大；差分振子收斂的極環(huán)間的倍數(shù)關(guān)系與待檢測(cè)頻率幅值間的倍數(shù)關(guān)系近似相等。

2.2 差分振子相圖的識(shí)別

在實(shí)際應(yīng)用過程中，可識(shí)別的差分振子的相圖主要有如圖3所示三種形態(tài)。

圖3中（a）表征信號(hào)中不存在待檢測(cè)頻率，（c）表征的是信號(hào)中存在待檢測(cè)頻率。而（b）則是介于（a）和（c）中間的一種形態(tài)。由2.1節(jié)中可知，（b）表征存在待檢測(cè)頻率，但是待檢測(cè)頻率的幅值相對(duì)較小?？梢钥闯?，差分振子相圖收斂于極點(diǎn)與收斂于極環(huán)的最大區(qū)別就是，振子的輸出是否在相圖的坐標(biāo)原點(diǎn)大量地聚集。

針對(duì)差分振子相圖的特點(diǎn)給出以下判別準(zhǔn)則：

（1）將差分振子的相圖歸一化即振子相圖的橫縱坐標(biāo)均在［－1 1］內(nèi)。

圖3 差分振子相圖的三種形態(tài)Fig.3 Three states of differential resonator phase diagram

下面應(yīng)用以上的判別準(zhǔn)則對(duì)圖3中的差分振子相圖進(jìn)行判別。經(jīng)計(jì)算圖3（a）中：n1/N=0.255 4顯然大于0.1收斂于極點(diǎn)。圖3（b）中n1/N=0.002 9小于0.02，收斂于極環(huán)。圖3（c）中n1/N=0收斂于極環(huán)?？梢娡ㄟ^以上準(zhǔn)則就可以判斷差分振子相圖的狀態(tài)。

研究和實(shí)驗(yàn)表明，n1/N或n2/N的值越小，說明在中心區(qū)域點(diǎn)的密度越小，即收斂于極環(huán)的程度越大，相對(duì)應(yīng)的待檢測(cè)頻率的幅值也就越大。因此圖3中（c）的待檢測(cè)頻率幅值要大于（b）中待檢測(cè)頻率的幅值，與前述結(jié)論一致。對(duì)于同樣收斂于極環(huán)的兩個(gè)信號(hào)的差分振子相圖來(lái)說，n1/N（或n2/N）小者其對(duì)應(yīng)的待檢測(cè)頻率的幅值要大一些。

若差分振子的參數(shù)調(diào)節(jié)不適當(dāng)，差分振子相圖會(huì)出現(xiàn)各種“畸形”，如圖4所示。這些畸形的相圖使得差分振子的相圖的狀態(tài)難以判斷，如圖4，這些差分振子相圖是無(wú)法識(shí)別其是收斂于極點(diǎn)還是收斂于極環(huán)。

圖4 差分振子“畸形”相圖Fig.4 Deformity of differential resonator phase diagram

由于“畸形”相圖的存在導(dǎo)致對(duì)于振子相圖的無(wú)法識(shí)別或者是識(shí)別錯(cuò)誤，因此對(duì)于差分振子參數(shù)的調(diào)節(jié)是決定差分振子相圖識(shí)別成敗的關(guān)鍵所在。對(duì)于差分振子相圖的識(shí)別是建立在相圖的非“畸形”的基礎(chǔ)之上的，否則其識(shí)別是無(wú)意義的。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)、筆記本電腦和HG3604故障診斷儀組成。軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖5所示，由兩個(gè)6 307深溝球滾動(dòng)軸承支撐，通過撓性聯(lián)軸器與電機(jī)相連。在靠近電機(jī)側(cè)安裝正常軸承（即圖5中③），遠(yuǎn)離電機(jī)側(cè)安裝故障軸承（即圖5中⑤），用于模擬各種軸承故障。實(shí)驗(yàn)中，利用HG3604故障診斷儀在故障軸承所在軸承座處測(cè)取振動(dòng)加速度信號(hào)。

圖5 軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.5 Simulation test bench of bearing fault

故障軸承的型號(hào)：6 307，軸承的大徑：D=80 mm，小徑d=35 mm，滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為8個(gè)，壓力角α=0，故障類型為：內(nèi)圈點(diǎn)蝕，故障大?。褐睆綖? mm，深0.1 mm的點(diǎn)蝕坑，實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)速R=1 496 r/min，對(duì)采集到的軸承內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采樣點(diǎn)數(shù)是N=8 192，采樣頻率fs=6 000×2.56 Hz，通過經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到軸承內(nèi)圈故障特征頻率即待檢測(cè)頻率fd=119.246 Hz，差分振子參數(shù)：α=0.993，β=0.998，激勵(lì)頻率fe=0.33，放大倍數(shù)p=5.5。

從頻譜圖中幾乎得不到任何有用信息，從振子相圖中可以看出振子收斂于極環(huán)。應(yīng)用判別準(zhǔn)則對(duì)差分振子相圖的狀態(tài)進(jìn)行判別：n1/N=0.020 1，n2/N=0.020 1，可見n2/N＜0.1差分振子相圖收斂于極環(huán)。無(wú)論從差分振子相圖還是通過判別準(zhǔn)則都說明了信號(hào)中待檢測(cè)頻率的存在。

圖6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析Fig.6 Experimental data analysis

4 工程應(yīng)用

2008年12月9 日，某高線廠第25架軋機(jī)出現(xiàn)振動(dòng)值超標(biāo)報(bào)警。12月15日開箱檢查，發(fā)現(xiàn)軸承內(nèi)圈有嚴(yán)重剝落現(xiàn)象。利用在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采集到的數(shù)據(jù)，對(duì)這起故障進(jìn)行分析。這里僅取11月19日至11月21日間的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，也就是在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)發(fā)出報(bào)警前20天左右。其中，采樣頻率fs=4 000，采樣點(diǎn)數(shù)N=2 048。圖7和圖8給出了這3天的振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形及其頻譜圖。

在時(shí)域圖中沒有明顯的大的沖擊，整體的振動(dòng)幅值不大。在頻譜中無(wú)法識(shí)別出故障特征頻率及其倍頻等有用信息。因此我們無(wú)法通過時(shí)域波形圖和頻譜獲得任何軸承的故障信息。利用差分振子看是否能發(fā)現(xiàn)設(shè)備故障缺陷以及缺陷的擴(kuò)展趨勢(shì)并就差分振子的相圖狀態(tài)進(jìn)行識(shí)別。軸承內(nèi)圈損傷的特征頻率為43.281 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=2 048，采樣頻率fs=4 000。差分振子參數(shù)設(shè)置如下：檢測(cè)頻率fd=43.281，α=0.995，β=0.999，激勵(lì)頻率fe=0.332 7，放大倍數(shù)p=3.5，將數(shù)據(jù)輸入差分振子，觀察差分振子相圖的變化。

從圖9中可以看出，19日的差分振子相圖收斂于極點(diǎn)，而20日和21日則收斂于極環(huán)，而21日的差分振子收斂的極環(huán)要比20日大一些，則說明在21日故障特征頻率的幅值比20日要大一些，即故障特征更加明顯，故障朝著劣化方向發(fā)展。利用差分振子相圖狀態(tài)的判別準(zhǔn)則得到的結(jié)果如下：圖9中（a）：n1/N=0.158 7大于0.1，因此相圖收斂于極點(diǎn)。（b）：n1/N=0.005 4遠(yuǎn)遠(yuǎn)地小于0.02，收斂于極環(huán)說明在20日時(shí)就已經(jīng)出現(xiàn)了故障特征頻率。（c）：n1/N=0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.02，收斂于極環(huán)。

5 結(jié)論

根據(jù)差分振子相圖的特點(diǎn)，給出了差分振子相圖的大小與待檢測(cè)信號(hào)幅值間的關(guān)系，并在相同的參數(shù)條件下，對(duì)不同的差分振子相圖進(jìn)行比較分析得出了待檢測(cè)頻率幅值的相對(duì)大小。對(duì)差分振子的相圖進(jìn)行了識(shí)別，根據(jù)n1/N（或n2/N）的值來(lái)判別差分振子相圖的狀態(tài)。差分振子相圖極環(huán)的大小反映了待檢測(cè)信號(hào)幅值的大小，從而達(dá)到對(duì)待檢測(cè)信號(hào)幅值大小的一種定性的判斷。將以上方法用來(lái)分析工程數(shù)據(jù)成功地發(fā)現(xiàn)了設(shè)備故障的發(fā)生與發(fā)展情況，為設(shè)備的安全監(jiān)測(cè)提供了一種有效的方法。

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