劉志軍， 芮筱亭， 楊富鋒， 于海龍， 姜世平

(南京理工大學(xué) 發(fā)射動力學(xué)研究所，南京 210094)

拉索作為結(jié)構(gòu)的主要承重構(gòu)件在工程中得到了廣泛應(yīng)用，拉索張力的大小直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)的受力狀況。在工程實踐中，常用的索力測定方法有壓力表測定法、壓力傳感器測定法和振動法。前兩種方法在測量多根拉索張力過程中需要反復(fù)地移動壓力表或壓力傳感器，從測得的固有頻率估算索力的振動法因其簡單、快速而在拉索張力的測量中常常被采用［1－3]。一般采用微分方程或差分方程描述拉索動力學(xué)特性，在此基礎(chǔ)上可推導(dǎo)出索力與索振動頻率的關(guān)系［4－9]，本文應(yīng)用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法無需建立和求解描述拉索運(yùn)動的微分方程或差分方程［10]，在建立拉索振動的離散模型基礎(chǔ)上得到元件的傳遞方程及系統(tǒng)總傳遞方程，然后通過特征方程求解得到拉索固有頻率及其變化規(guī)律，從而確定了拉索張力與其固有頻率之間的關(guān)系，對索力計算公式進(jìn)行了修正，從而完善了拉索張力的振動測試方法;最后結(jié)合具體工程實例進(jìn)行討論分析。

1 索振動分析的傳遞矩陣法

圖1所示為一段長為L、兩端固定的索的橫向振動情況。為推導(dǎo)制約此段索振動的運(yùn)動方程，將此連續(xù)系統(tǒng)視為相應(yīng)的離散系統(tǒng)當(dāng)自由度無限增加時的極限。

圖1 索的橫向振動Fig.1 Transverse vibration of the cable

首先，將索的質(zhì)量集中成為n+2個質(zhì)點，不妨假設(shè)它們等距均布在索的弦線方向上，即有Δx=xi+1－xi(i=0，1，…，n)在振動中保持不變，且這些質(zhì)點由沒有質(zhì)量只有張力的弦連接起來。第二，假設(shè)索做微幅振動，即有各段弦與 x 軸的交角 θi(i=0，1，2，…，n)很小，因而有如圖1所示建立慣性直角坐標(biāo)系，系統(tǒng)中無質(zhì)量弦為鉸元件，質(zhì)點為體元件，由n+2個集中質(zhì)量和n+1個無質(zhì)量弦組成簡單鏈?zhǔn)诫x散系統(tǒng)，系統(tǒng)的元件個數(shù)為2n+3，各元件只在y軸方向振動，左端為系統(tǒng)輸入端，右端為系統(tǒng)輸出端，從左至右為傳遞方向，依次對元件編號，輸入端邊界編號為0，輸出端邊界編號為2n+3。假設(shè)Pij表示連接點，其中第1個下標(biāo)i是體元件的序號，第2個下標(biāo)j是鉸元件的序 號。定 義 狀 態(tài) 矢 量 Z0，1、Z2，1、Z2，3、Z4，3、……、Z2n，2n－1、Z2n，2n+1和 Z2n+2，2n+1的形式均為 Z=［Y，Θ]T。

1.1 質(zhì)點的傳遞矩陣

質(zhì)點的傳遞矩陣表示該點的左、右側(cè)面的狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系的傳遞矩陣。體元件質(zhì)點i的受力如圖2所示。

圖2 質(zhì)點i受力圖Fig.2 The free-body diagram of the particle

圖2 所示橫向振動系統(tǒng)中的集中質(zhì)量mi的左側(cè)和右側(cè)位移相等，即:

由Newton定律得:

因拉索作微幅振動，假設(shè)各處張力相等，對簡諧振動集中質(zhì)量mi有傳遞方程:

即:

式中:

1.2 無質(zhì)量弦的傳遞矩陣

無質(zhì)量弦的傳遞矩陣是表示其左、右側(cè)面的狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系的傳遞矩陣。鉸元件無質(zhì)量弦i的受力如圖3所示。

圖3所示橫向振動系統(tǒng)中的無質(zhì)量弦在輸入點和輸出點與x軸的夾角相等，即:

圖3 無質(zhì)量弦受力圖Fig.3 The free-body diagram for the chord of negligible weight

由于索作微幅振動而各段弦與x軸的夾角很小，因此:

對簡諧振動無質(zhì)量弦有傳遞方程:

即:

式中:

1.3 特征方程

元件的傳遞方程為:

系統(tǒng)總傳遞方程為:

將邊界條件

代入上式得:

解得特征方程

求解上式可得系統(tǒng) n個固有頻率 ωk(k=1，2，3，…，n)。對每一個 ωk，取 Θ0，1=1，求解各個元件傳遞方程可得系統(tǒng)的全部狀態(tài)矢量，進(jìn)而可得系統(tǒng)振型為:

2 拉索自振頻率測試及內(nèi)力分析

拉索張力振動測量一般是將加速度傳感器固定在拉索上并拾取拉索在環(huán)境隨機(jī)激勵或人工激勵下的振動信號，經(jīng)過濾波、放大、模數(shù)轉(zhuǎn)換、譜分析，根據(jù)頻譜圖來確定拉索的自振頻率，然后由拉索自振頻率與索力的關(guān)系來確定其張力，它屬于間接測量拉索張力的方法。

圖4 a 拉索振動固有頻率計算流程 圖4b 拉索張力測量流程Fig.4(a)Flow diagram for nature frequencies computation(b)Flow diagram for the cable tension measurement

由式(15)可知，特征方程求解得到的拉索自振頻率與張力是對應(yīng)的，即已知拉索張力大小，可以計算出對應(yīng)的拉索各階自振頻率，反過來，若已知拉索若干階自振頻率，也可以確定拉索張力大小，拉索振動固有頻率計算流程如圖4(a)所示。首先計算出實測結(jié)果頻譜圖中相鄰兩諧振峰之間頻率差Δfn=fn+1－fn，依據(jù)低階頻差的平均值估計基頻^f1，然后應(yīng)用傳遞矩陣法對拉索進(jìn)行振動分析，求解特征方程(15)得到拉索在初始計算張力值下的固有頻率及其變化規(guī)律，依此確定拉索振動信號頻譜圖中各峰值對應(yīng)的自振頻率階數(shù)。將計算得到的模態(tài)頻率與測試得到的模態(tài)頻率比較，當(dāng)兩者相差較大時，按一定比例(1% ～10%)增大或減小拉索計算張力值，重新應(yīng)用傳遞矩陣法進(jìn)行拉索振動分析，求解特征方程(15)得到拉索的自振頻率，直到計算得到的頻率與測試得到的頻率值相差最小時為止，此時即可確定拉索實際張力值T0，應(yīng)用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法進(jìn)行拉索張力振動測量流程如圖4(b)所示。

3 實例分析

以武漢白沙洲長江大橋2號墩邊跨上游C17號索為測試對象，其主要參數(shù)為:索長L=228.802 4 m，彈性模量 E=1.95 ×105MPa，橫截面積 A=5.349 3 ×10－3m2，單位長索質(zhì)量 m=43.9 kg/m，索的傾斜角度α=33.962 6°;圖5和圖6分別為C17號斜拉索在初張拉后實測所得振動信號及其功率譜圖。

從圖6可以看出，由于C17斜拉索較長且傳感器安裝在其橋面端附近，只得到了斜拉索較高階的自振頻率。采用高階頻率多階差平均的辦法［3，11]計算得=0.307 8 Hz，使用本文提出的方法計算得到拉索張力 T 為 1 264.1 kN，實測值 T為 1 255.4 kN21.006 8，滿足工程要求。

4 結(jié)論

(1)應(yīng)用傳遞矩陣法對拉索進(jìn)行振動分析無需建立和求解描述其運(yùn)動的微分方程或差分方程，而基于弦振動理論的索力振動測量方法采用微分方程或差分方程描述拉索動力學(xué)特性。

(2)應(yīng)用傳遞矩陣法對拉索進(jìn)行振動分析涉及的系統(tǒng)矩陣階次不取決于系統(tǒng)的自由度數(shù)，僅取決于元件的最高矩陣階次，使矩陣階次比有限元等方法的矩陣階次低得多，計算量小得多，計算速度快得多。

(3)傳遞矩陣法具有結(jié)構(gòu)矩陣分析的優(yōu)點，可直接調(diào)用已推導(dǎo)的元件傳遞矩陣，建模靈活，程式化程度高，從而非常便于實際應(yīng)用。

(4)通過對實際工程的測試結(jié)果分析表明，索力振動測量的傳遞矩陣法具有準(zhǔn)確、實用和易編程的特點，完全能滿足工程應(yīng)用要求。

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