劉志軍， 芮筱亭， 楊富鋒， 于海龍， 姜世平

(南京理工大學(xué) 發(fā)射動(dòng)力學(xué)研究所，南京 210094)

拉索作為結(jié)構(gòu)的主要承重構(gòu)件在工程中得到了廣泛應(yīng)用，拉索張力的大小直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)的受力狀況。在工程實(shí)踐中，常用的索力測(cè)定方法有壓力表測(cè)定法、壓力傳感器測(cè)定法和振動(dòng)法。前兩種方法在測(cè)量多根拉索張力過(guò)程中需要反復(fù)地移動(dòng)壓力表或壓力傳感器，從測(cè)得的固有頻率估算索力的振動(dòng)法因其簡(jiǎn)單、快速而在拉索張力的測(cè)量中常常被采用［1－3]。一般采用微分方程或差分方程描述拉索動(dòng)力學(xué)特性，在此基礎(chǔ)上可推導(dǎo)出索力與索振動(dòng)頻率的關(guān)系［4－9]，本文應(yīng)用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法無(wú)需建立和求解描述拉索運(yùn)動(dòng)的微分方程或差分方程［10]，在建立拉索振動(dòng)的離散模型基礎(chǔ)上得到元件的傳遞方程及系統(tǒng)總傳遞方程，然后通過(guò)特征方程求解得到拉索固有頻率及其變化規(guī)律，從而確定了拉索張力與其固有頻率之間的關(guān)系，對(duì)索力計(jì)算公式進(jìn)行了修正，從而完善了拉索張力的振動(dòng)測(cè)試方法;最后結(jié)合具體工程實(shí)例進(jìn)行討論分析。

1 索振動(dòng)分析的傳遞矩陣法

圖1所示為一段長(zhǎng)為L(zhǎng)、兩端固定的索的橫向振動(dòng)情況。為推導(dǎo)制約此段索振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，將此連續(xù)系統(tǒng)視為相應(yīng)的離散系統(tǒng)當(dāng)自由度無(wú)限增加時(shí)的極限。

圖1 索的橫向振動(dòng)Fig.1 Transverse vibration of the cable

首先，將索的質(zhì)量集中成為n+2個(gè)質(zhì)點(diǎn)，不妨假設(shè)它們等距均布在索的弦線方向上，即有Δx=xi+1－xi(i=0，1，…，n)在振動(dòng)中保持不變，且這些質(zhì)點(diǎn)由沒(méi)有質(zhì)量只有張力的弦連接起來(lái)。第二，假設(shè)索做微幅振動(dòng)，即有各段弦與 x 軸的交角 θi(i=0，1，2，…，n)很小，因而有如圖1所示建立慣性直角坐標(biāo)系，系統(tǒng)中無(wú)質(zhì)量弦為鉸元件，質(zhì)點(diǎn)為體元件，由n+2個(gè)集中質(zhì)量和n+1個(gè)無(wú)質(zhì)量弦組成簡(jiǎn)單鏈?zhǔn)诫x散系統(tǒng)，系統(tǒng)的元件個(gè)數(shù)為2n+3，各元件只在y軸方向振動(dòng)，左端為系統(tǒng)輸入端，右端為系統(tǒng)輸出端，從左至右為傳遞方向，依次對(duì)元件編號(hào)，輸入端邊界編號(hào)為0，輸出端邊界編號(hào)為2n+3。假設(shè)Pij表示連接點(diǎn)，其中第1個(gè)下標(biāo)i是體元件的序號(hào)，第2個(gè)下標(biāo)j是鉸元件的序 號(hào)。定 義 狀 態(tài) 矢 量 Z0，1、Z2，1、Z2，3、Z4，3、……、Z2n，2n－1、Z2n，2n+1和 Z2n+2，2n+1的形式均為 Z=［Y，Θ]T。

1.1 質(zhì)點(diǎn)的傳遞矩陣

質(zhì)點(diǎn)的傳遞矩陣表示該點(diǎn)的左、右側(cè)面的狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系的傳遞矩陣。體元件質(zhì)點(diǎn)i的受力如圖2所示。

圖2 質(zhì)點(diǎn)i受力圖Fig.2 The free-body diagram of the particle

圖2 所示橫向振動(dòng)系統(tǒng)中的集中質(zhì)量mi的左側(cè)和右側(cè)位移相等，即:

由Newton定律得:

因拉索作微幅振動(dòng)，假設(shè)各處張力相等，對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)集中質(zhì)量mi有傳遞方程:

即:

式中:

1.2 無(wú)質(zhì)量弦的傳遞矩陣

無(wú)質(zhì)量弦的傳遞矩陣是表示其左、右側(cè)面的狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系的傳遞矩陣。鉸元件無(wú)質(zhì)量弦i的受力如圖3所示。

圖3所示橫向振動(dòng)系統(tǒng)中的無(wú)質(zhì)量弦在輸入點(diǎn)和輸出點(diǎn)與x軸的夾角相等，即:

圖3 無(wú)質(zhì)量弦受力圖Fig.3 The free-body diagram for the chord of negligible weight

由于索作微幅振動(dòng)而各段弦與x軸的夾角很小，因此:

對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)無(wú)質(zhì)量弦有傳遞方程:

即:

式中:

1.3 特征方程

元件的傳遞方程為:

系統(tǒng)總傳遞方程為:

將邊界條件

代入上式得:

解得特征方程

求解上式可得系統(tǒng) n個(gè)固有頻率 ωk(k=1，2，3，…，n)。對(duì)每一個(gè) ωk，取 Θ0，1=1，求解各個(gè)元件傳遞方程可得系統(tǒng)的全部狀態(tài)矢量，進(jìn)而可得系統(tǒng)振型為:

2 拉索自振頻率測(cè)試及內(nèi)力分析

拉索張力振動(dòng)測(cè)量一般是將加速度傳感器固定在拉索上并拾取拉索在環(huán)境隨機(jī)激勵(lì)或人工激勵(lì)下的振動(dòng)信號(hào)，經(jīng)過(guò)濾波、放大、模數(shù)轉(zhuǎn)換、譜分析，根據(jù)頻譜圖來(lái)確定拉索的自振頻率，然后由拉索自振頻率與索力的關(guān)系來(lái)確定其張力，它屬于間接測(cè)量拉索張力的方法。

圖4 a 拉索振動(dòng)固有頻率計(jì)算流程 圖4b 拉索張力測(cè)量流程Fig.4(a)Flow diagram for nature frequencies computation(b)Flow diagram for the cable tension measurement

由式(15)可知，特征方程求解得到的拉索自振頻率與張力是對(duì)應(yīng)的，即已知拉索張力大小，可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的拉索各階自振頻率，反過(guò)來(lái)，若已知拉索若干階自振頻率，也可以確定拉索張力大小，拉索振動(dòng)固有頻率計(jì)算流程如圖4(a)所示。首先計(jì)算出實(shí)測(cè)結(jié)果頻譜圖中相鄰兩諧振峰之間頻率差Δfn=fn+1－fn，依據(jù)低階頻差的平均值估計(jì)基頻^f1，然后應(yīng)用傳遞矩陣法對(duì)拉索進(jìn)行振動(dòng)分析，求解特征方程(15)得到拉索在初始計(jì)算張力值下的固有頻率及其變化規(guī)律，依此確定拉索振動(dòng)信號(hào)頻譜圖中各峰值對(duì)應(yīng)的自振頻率階數(shù)。將計(jì)算得到的模態(tài)頻率與測(cè)試得到的模態(tài)頻率比較，當(dāng)兩者相差較大時(shí)，按一定比例(1% ～10%)增大或減小拉索計(jì)算張力值，重新應(yīng)用傳遞矩陣法進(jìn)行拉索振動(dòng)分析，求解特征方程(15)得到拉索的自振頻率，直到計(jì)算得到的頻率與測(cè)試得到的頻率值相差最小時(shí)為止，此時(shí)即可確定拉索實(shí)際張力值T0，應(yīng)用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法進(jìn)行拉索張力振動(dòng)測(cè)量流程如圖4(b)所示。

3 實(shí)例分析

以武漢白沙洲長(zhǎng)江大橋2號(hào)墩邊跨上游C17號(hào)索為測(cè)試對(duì)象，其主要參數(shù)為:索長(zhǎng)L=228.802 4 m，彈性模量 E=1.95 ×105MPa，橫截面積 A=5.349 3 ×10－3m2，單位長(zhǎng)索質(zhì)量 m=43.9 kg/m，索的傾斜角度α=33.962 6°;圖5和圖6分別為C17號(hào)斜拉索在初張拉后實(shí)測(cè)所得振動(dòng)信號(hào)及其功率譜圖。

從圖6可以看出，由于C17斜拉索較長(zhǎng)且傳感器安裝在其橋面端附近，只得到了斜拉索較高階的自振頻率。采用高階頻率多階差平均的辦法［3，11]計(jì)算得=0.307 8 Hz，使用本文提出的方法計(jì)算得到拉索張力 T 為 1 264.1 kN，實(shí)測(cè)值 T為 1 255.4 kN21.006 8，滿足工程要求。

4 結(jié)論

(1)應(yīng)用傳遞矩陣法對(duì)拉索進(jìn)行振動(dòng)分析無(wú)需建立和求解描述其運(yùn)動(dòng)的微分方程或差分方程，而基于弦振動(dòng)理論的索力振動(dòng)測(cè)量方法采用微分方程或差分方程描述拉索動(dòng)力學(xué)特性。

(2)應(yīng)用傳遞矩陣法對(duì)拉索進(jìn)行振動(dòng)分析涉及的系統(tǒng)矩陣階次不取決于系統(tǒng)的自由度數(shù)，僅取決于元件的最高矩陣階次，使矩陣階次比有限元等方法的矩陣階次低得多，計(jì)算量小得多，計(jì)算速度快得多。

(3)傳遞矩陣法具有結(jié)構(gòu)矩陣分析的優(yōu)點(diǎn)，可直接調(diào)用已推導(dǎo)的元件傳遞矩陣，建模靈活，程式化程度高，從而非常便于實(shí)際應(yīng)用。

(4)通過(guò)對(duì)實(shí)際工程的測(cè)試結(jié)果分析表明，索力振動(dòng)測(cè)量的傳遞矩陣法具有準(zhǔn)確、實(shí)用和易編程的特點(diǎn)，完全能滿足工程應(yīng)用要求。

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