張 鵬， 賈中印

(河北建材職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息機(jī)電系，秦皇島 066004)

柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制研究已成為當(dāng)前動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的前沿課題，壓電材料由于具有良好的機(jī)電耦合性能，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制系統(tǒng)中。壓電梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且有著廣泛的工程背景，人們對(duì)這種結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定性、振動(dòng)控制、分岔與混沌等問(wèn)題進(jìn)行了許多研究。

Sun 和 Huang［1，2]討論了壓電復(fù)合結(jié)構(gòu)的控制問(wèn)題，建立了含有壓電層的三階剪切變形層合梁模型，并給出了近似解。Chen等人［3]對(duì)軸向力作用下壓電復(fù)合梁的動(dòng)力穩(wěn)定性和反饋控制進(jìn)行了分析。Gao和Shen［4]采用增量有限元方法分析了粘貼有壓電作動(dòng)層的層合板的幾何非線性瞬態(tài)振動(dòng)，并應(yīng)用負(fù)速度自反饋控制策略進(jìn)行主動(dòng)控制。Moita等人［5]對(duì)幾何非線性壓電復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析。董興建和孟光［6]基于一階剪切變形理論，在壓電懸臂梁應(yīng)變最大處配置致動(dòng)器和傳感器，實(shí)現(xiàn)了低階系統(tǒng)的主動(dòng)控制。Akl［7]將可變形機(jī)翼簡(jiǎn)化為層合梁，建立了非線性有限元控制方程。李鳳明、孫家春等人［8]研究了參數(shù)激勵(lì)壓電梁的動(dòng)力穩(wěn)定性，分析了軸向力、電壓、非線性阻尼等因素對(duì)穩(wěn)定性的影響。傅衣銘、阮建力［9]基于高階剪切變形理論，采用耦合正、逆壓電效應(yīng)的負(fù)速度反饋控制原理，分析了具損傷壓電智能層合板的非線性主動(dòng)控制和損傷監(jiān)測(cè)。Belouettar等人［10]研究了壓電夾層梁非線性振動(dòng)的主動(dòng)控制，討論了夾層梁大幅振動(dòng)和小幅振動(dòng)對(duì)反饋控制的影響。近些時(shí)候，姚志剛、張偉等［11]研究了壓電復(fù)合材料層合梁的分岔和混沌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并分析了壓電激勵(lì)控制混沌的可行性。高美娟、張偉［12]等基于三階剪切變形理論，采用能量相位法和數(shù)值模擬對(duì)壓電復(fù)合材料層合板的混沌動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。

本文研究了軸向激勵(lì)作用下簡(jiǎn)支壓電夾層梁的混沌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，采用工程當(dāng)中易于實(shí)現(xiàn)的比例微分反饋控制方法將夾層梁整體組成一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)，結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)節(jié)比例控制增益和微分控制增益都可以抑制系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，把系統(tǒng)控制到不同的穩(wěn)定極限環(huán)上，保持系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與可控性，且該方法簡(jiǎn)單有效。

1 反饋控制策略

考慮圖1所示矩形截面細(xì)長(zhǎng)夾層梁，它由上下兩層壓電材料和中間彈性層構(gòu)成。上表面為壓電傳感層，下表面為壓電作動(dòng)層，它們之間通過(guò)一控制器相聯(lián)系。該夾層梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其它幾何尺寸如圖所示。其邊界為左端簡(jiǎn)支滑動(dòng)且受軸向力作用，右端簡(jiǎn)支不可移動(dòng)。

圖1 壓電夾層梁模型Fig.1 The model of piezoelectric-elasticpiezoelectric sandwich beam

根據(jù) Euler-Bernoulli梁理論，梁的位移場(chǎng)假設(shè)如下:

式中，u(x，z，t)、w(x，z，t)分別為沿 x 和 z方向梁內(nèi)任一時(shí)刻的位移。

對(duì)應(yīng)式(1)的von Karman幾何非線性應(yīng)變位移關(guān)系為:

上下兩層壓電材料的本構(gòu)關(guān)系為:

式中，σ1、D3、E3分別為 x方向的應(yīng)力和 z方向的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度，c11、e31和k33分別為壓電材料的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)。

假定彈性層和壓電層完全粘結(jié)，不發(fā)生任何滑動(dòng)，根據(jù)靜電平衡方程有自由體電荷密度=0，結(jié)合電位移邊界條件可得:

將式(4)代入式(3)中，結(jié)合式(2)可得到壓電層電場(chǎng)強(qiáng)度和位移的關(guān)系:

根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)之間的關(guān)系E3=，壓電層上下表面電勢(shì)差可寫為:

其中:φ表示電勢(shì)，下標(biāo)S表示壓電傳感層，A表示壓電作動(dòng)層。將式(6)代入式(5)中得到:

考慮到夾層梁的中間彈性層為一等勢(shì)體，不失一般性，假設(shè)其電勢(shì)為0，則夾層梁上表面的電勢(shì)為:

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)夾層梁振動(dòng)的主動(dòng)控制，必須將傳感層和作動(dòng)層組成一個(gè)整體以形成一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)，本文采用以下控制策略:

其中Gp表示電勢(shì)比例增益，Gd表示電勢(shì)微分增益。

聯(lián)立式(7)～式(9)可以得到傳感層和作動(dòng)層的電場(chǎng)強(qiáng)度:

上式中 zS=(hC+hS)/2，zA=(hC+hA)/2。

2 動(dòng)力學(xué)方程的建立

Hamilton原理可以表示為:

式中，δ為變分符號(hào)，T和U分別為整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和勢(shì)能，W為外力功。整體結(jié)構(gòu)的勢(shì)能變分表示為:

式中:

整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)能變分表示為:

式中，ρS=ρSSS+ρCSC+ ρASA。

整體結(jié)構(gòu)的外力功變分表示為

式中，p表示夾層梁左端所受的軸向力。

將式(12)、式(13)、式(14)代入式(11)中，不計(jì)軸向變形的影響，經(jīng)過(guò)一系列變分運(yùn)算并略去高階微量，得到夾層梁整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程:

研究中只考慮夾層梁的一階橫向振動(dòng)模態(tài)，可將w0表示成如下形式:

將式(16)代入式(15)中，并引入軸向力 p=p0+，進(jìn)行Galerkin積分得到:

式中:

式中:

3 數(shù)值仿真

針對(duì)壓電夾層梁的無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程(18)，利用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)其模擬分析，得到系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。所取夾層梁的物理參數(shù)和幾何參數(shù)見表1。

表1 壓電夾層梁的幾何尺寸與材料物理性質(zhì)Tab.1 Geometrical material properties of the piezoeletric sandwich beams

圖2 軸向激勵(lì)分岔圖Fig.2 The bifurcation for the axial load of pt

圖2 是系統(tǒng)響應(yīng)隨著軸向激勵(lì)變化的分岔圖，其中靜態(tài)軸向力 p0=400 N，Gd=0.001 s，Gp=0.1。圖3～圖5各自分別給出了系統(tǒng)不同響應(yīng)狀態(tài)下的時(shí)間歷程圖(a)，相圖(b)和Poincare映射圖(c)。從圖2中可看出，隨著軸向激勵(lì)的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了從周期→倍周期→混沌的分岔運(yùn)動(dòng)過(guò)程。改變圖2中外激勵(lì)pt，其他條件不變，當(dāng)pt=350 N時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)如圖3所示。當(dāng)增大軸向激勵(lì)為pt=380 N，系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)槎吨芷谶\(yùn)動(dòng)，如圖4所示。繼續(xù)增大軸向激勵(lì)，從圖2中可看出系統(tǒng)經(jīng)倍周期分岔發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，如圖5所示，其中(c)圖的Poincare映射表現(xiàn)出明顯的混沌特征。

為了研究壓電層的振動(dòng)控制，圖6和圖7分別給出了閉環(huán)狀態(tài)下電勢(shì)微分增益Gd和電勢(shì)比例增益Gp的分岔圖，其中軸向激勵(lì)pt=480 N，系統(tǒng)發(fā)生混沌響應(yīng)。從圖6中可以看出，隨著電勢(shì)微分增益的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了混沌→倍周期→周期的過(guò)程，可阻止系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，保持了系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著明顯的控制效果。圖7顯示了電勢(shì)比例增益Gp對(duì)夾層梁混沌運(yùn)動(dòng)的控制效果。電勢(shì)比例增益Gp的增大可以抑制系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，使系統(tǒng)發(fā)生倍周期或周期響應(yīng)，控制效果也十分明顯，保持了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可控性。

圖6 電勢(shì)微分增益Gd的分岔圖Fig.6 The bifurcation for the gain derivative potential Gd

圖7 電勢(shì)比例增益Gd的分岔圖Fig.7 The bifurcation for the gain proportional potential Gp

4 結(jié)論

以簡(jiǎn)支壓電夾層梁為研究對(duì)象，研究了在軸向參數(shù)激勵(lì)下夾層梁的非線性橫向振動(dòng)?；趘on Karman理論和比例微分控制策略，運(yùn)用Hamilton原理推導(dǎo)出了壓電夾層梁的動(dòng)力學(xué)方程。用數(shù)值方法研究了壓電夾層梁的非線性動(dòng)力學(xué)、混沌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

通過(guò)時(shí)間歷程圖、相圖、Poincare映射圖和分岔圖分析了壓電夾層梁的非線性振動(dòng)響應(yīng)、動(dòng)態(tài)分岔參數(shù)值以及壓電控制效果，系統(tǒng)的響應(yīng)經(jīng)歷了周期、倍周期、混沌的過(guò)程。結(jié)果表明，在一定參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)為周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生混沌響應(yīng)時(shí)，通過(guò)改變電勢(shì)比例增益和電勢(shì)微分增益，均可控制壓電夾層梁的振動(dòng)從混沌→倍周期→周期，控制系統(tǒng)產(chǎn)生倍周期分岔解，阻止系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，保持了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可控性。

［1] Sun B，Huang D.On the feedback control gain of smart laminated beams，plates and shells［J] .The 6th international Conference on Composite Engineering(ICEE/6)，1999，859－860.

［2] Huang D，Sun B.Approximate analytical solutions of smart composite mindlin beams［J] . Journal of Sound and Vibration，2001，244(3):379－394.

［3] Chen L W，Lin C Y，Wang C C.Dynamic stability analysis and control of a composite beam with piezoelectric layers［J] .Composite and Structures，2002，56(1):97 －109.

［4] Gao JX，Shen Y P.Active control of geometrically nonlinear transient vibration of composite plates with piezoelectric actuators［J] . Journal of Sound and Vibration，2003，264(4):911－928.

［5] Moita J M S，Soares C M M，Soares C A M.Geometrically nonlinear analysis of composite structures with integrated piezoelectric sensors and actuators［J] .Composite and Structures 2002，57(1－4):253－261.

［6] 董興建，孟 光.壓電懸臂梁的動(dòng)力學(xué)建模與主動(dòng)控制［J] .振動(dòng)與沖擊，2005，24(6):54－57.

［7] Akl W，Poh S，Baz A.Wireless and distributed sensing of the shape of morphing structures［J] .Sensors and Actuators，2007，140(1):94－102.

［8] 李鳳明，孫家春，王毅澤，等.參數(shù)激勵(lì)非線性壓電梁的振動(dòng)穩(wěn)定性［J] .振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21(5):441－455.

［9] 傅衣銘，阮建力.具損傷壓電智能層合板的非線性主動(dòng)控制和損傷監(jiān)測(cè)［J] .應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2008，29(4):379－392.

［10] Belouettar S，Azrar L，Daya E M，et al.Active control of nonlinear vibration of sandwich piezoelectric beams:A simplified approach［J] .Computers and Structures，2008，86(3－5):386－397.

［11] 姚志剛，張 偉，陳麗華.壓電復(fù)合材料層合梁的分岔、混沌動(dòng)力學(xué)與控制［J] .力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(1):130－140.

［12] 高美娟，張 偉，姚明輝，等.壓電復(fù)合材料層和板的混沌動(dòng)力學(xué)研究［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(6):82－85.