●胡東芳 (浦江中學(xué) 浙江浦江 322200)

函數(shù)零點(diǎn)問題初探

●胡東芳 (浦江中學(xué) 浙江浦江 322200)

函數(shù)零點(diǎn)問題可以和二次函數(shù)根的分布、三次函數(shù)的圖像或極值以及單調(diào)性等進(jìn)行“交匯”編制試題．在平時教學(xué)過程中，應(yīng)重視連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，能利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，重視數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的滲透．筆者就函數(shù)零點(diǎn)問題作了以下探究，供參考．

1 概念回顧

對于函數(shù)y=f(x)，使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)．因此零點(diǎn)并非是一個點(diǎn)，而是使得f(x)=0的實(shí)數(shù)x的值．方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)．

2 實(shí)戰(zhàn)演練

類型1求參數(shù)范圍問題

例1已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2+2x－3－a．如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間［－1，1］上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

分析本題屬于二次函數(shù)根的分布問題，因此可按照零點(diǎn)的個數(shù)來進(jìn)行分類討論．亦可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像在［－1，1］上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)問題．

當(dāng)f(1)·f(－1)≤0，即1≤a≤5時，y=f(x)也恰有1個零點(diǎn)在［－1，1］上．

當(dāng)y=f(x)在［－1，1］上有2個零點(diǎn)時，由題意可得

(1)當(dāng)0＜t＜1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值和最小值;

(2)求證:對任意的 t＞ －1，總存在 x0∈(－1，t)，使得x=x0是關(guān)于x的方程f'(x)=g(t)的解，并就t的取值情況討論這樣的x0的個數(shù)．

綜上所述，當(dāng)－1＜t≤2或 t≥5時，f'(x)=g(t)在(－1，t)上有 1個解;當(dāng) 2＜t＜5時，f'(x)=g(t)在( －1，t)上有2個解．

故對于任意的t＞ －1，總存在x0∈( －1，t)，使得x=x0是關(guān)于x的方程f'(x)=g(t)的解．

評析本題綜合性強(qiáng)，變量x的范圍涉及參數(shù)t，可按照零點(diǎn)的個數(shù)進(jìn)行分類討論．本題可謂是將分類討論的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致．

類型3三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

借助三次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)三次函數(shù)不存在極值，或極大值小于0，或極小值大于0時，三次函數(shù)有唯一零點(diǎn);當(dāng)三次函數(shù)的極大值或極小值中有一者等于0時，三次函數(shù)有2個零點(diǎn);當(dāng)三次函數(shù)的極大值大于0且極小值小于0時，三次函數(shù)有3個零點(diǎn)．

綜上所述，a=1．

評析本題與例2的共同點(diǎn)是零點(diǎn)所在的區(qū)間還含有參數(shù)，所不同的是本題考查的最高次為三次．結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，是高考的熱點(diǎn)問題．

類型4二次函數(shù)與其他函數(shù)結(jié)合的零點(diǎn)問題

例4已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)·ex(a∈R)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(2)設(shè) g(x)=f(x) －t(t∈R，a＞2)，若函數(shù)g(x)在［－3，+∞)上有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解(1) f'(x)=ex(x+2)(x+a)．

①若a=2，則f'(x)≥0，因此f(x)在R 上單調(diào)遞增，無極值;

②若a＞2，則f(x)在(－∞，－a)和(－2，+∞)上單調(diào)遞增，在(－a，－2)上單調(diào)遞減，于是f(x)的極大值為 f(－a)=ae－a，極小值為 f(－2)=(4 －a)e－2;

③若a＜2，則f(x)在(－∞，－2)和(－a，+∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－a)上單調(diào)遞減，因此f(x)的極大值為(4 －a)e－2，極小值為 f( －a)=ae－a．

3 總結(jié)

在新課程改革背景下，函數(shù)零點(diǎn)問題以新增知識的身份出現(xiàn)．解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本方法是按照零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行分類討論或分離變量，但涉及到具體問題時2種解法又各有所長．以上諸題均是筆者在教學(xué)實(shí)踐中親歷的題目，希望引起同行的關(guān)注．