【作 者】彭家駒，趙俊

上海交通大學生物醫(yī)學工程系,醫(yī)學圖像處理實驗室，上海市，200240

Tomosynthesis又叫數(shù)字融合X射線成像技術(shù)，1972年由David G.Grant提出[1]。此后，各種重建算法相繼提出，如G Lauritsch等人提出并證明了tomosynthesis的濾波反投影算法[2]，Beilei Wang等人提出了迭代算法[3]，James T.Dobbins等人提出了矩陣翻轉(zhuǎn)法[4]，還有日本的平野圭藏等人提出了頻域反卷積成像法（FDDI，F(xiàn)requency Domain Deconvolution Imaging）[5]。這些算法在胸腺，乳腺及關(guān)節(jié)成像中都取得了很好的效果[1,6-8]。

Tomosynthesis的出現(xiàn)，很好地補充了傳統(tǒng)CT和X光成像的不足。Tomosynthesis與傳統(tǒng)的CT成像相比，不需要全方位的投影，具有輻射劑量低的優(yōu)勢，通過幾次投影的數(shù)據(jù)就能得到任意斷層的圖像。

在提高采集速度方面，為了抑制運動所引起的偽跡，Jun Zhao等人曾提出了CT下的三源掃描算法[9,10]，參考這一算法，本文提出了一種多源的Tomosynthesis掃描方法，并在此基礎(chǔ)上將多源重建算法應(yīng)用到動態(tài)模型重建中。通過比較單源、雙源與四源的重建結(jié)果，發(fā)現(xiàn)多源重建算法在動態(tài)重建方面的性能優(yōu)于單源重建算法，而四源重建又比雙源重建效果更好。

1 方法與材料

1.1 迭代tomosynthesis重建算法

在描述多源Tomosynthesis重建之前，先簡單介紹單源掃描下的重建算法。一般情況下，由于Tomosynthesis投影較少(一周10-20個投影)，往往無法達到解析重建的要求。因此，為得到較清晰的圖像，本文將采用迭代重建法(Algebraic Reconstruction Technique, ART)。迭代法的缺點是計算量大，因而重建耗時較長，但隨著計算機運算速度的提高，這個缺點將逐漸被克服[11]。下面簡要介紹經(jīng)典的單源迭代重建算法[3]。

我們用如下的方程定義一次投影得到的數(shù)據(jù)：

其中，P是測量的投影集，F(xiàn)是待測物體體素點的密度矩陣，W是體素點的加權(quán)系數(shù)矩陣，n是測量過程中的隨機噪聲。這個方程可以擴展為一個線性方程組形式：

其中，M表示有M條X射線的線積分，即探測器探測單元的個數(shù)；N表示待重建區(qū)域被離散化以后體素點的個數(shù)。

迭代過程是一個不斷反饋矯正的過程，對于第i條X射線上的第j個體素，我們用如下的方程式計算第k+1次迭代結(jié)果：

其中，λ是松弛系數(shù)，一般而言，λ是一個遠小于1，大于0的數(shù)，調(diào)整λ的大小可以控制迭代過程的收斂速度。我們的目標是使代價函數(shù)J(f)=│P-W.F│2最小。

迭代過程可以簡單的表述為以下4個步驟：

(1) 猜測函數(shù)的初始值，通常將其初始化為全0；

(2) 用給的投影計算公式(2)計算一條X射線的投影估測值；

(3) 計算實際測量的投影值和計算出的投影估測值之差并運用公式(3)更新結(jié)果，用松弛因子控制收斂速度；

(4) 重復(fù)2、3步，直到代價函數(shù)J(f)達到最小，或者兩次結(jié)果間的差值小于給定的閾值，此時迭代結(jié)束。

1.2 多源Tomosynthesis掃描結(jié)構(gòu)

圖1 兩種掃描結(jié)構(gòu)Fig.1 Two scanning con fi guration

雙源和四源tomosynthesis掃描方式如圖1所示，平行光射線源在圓周上對稱分布，每個X射線源陣列發(fā)出的X射線穿過被測對象后，分別被下方對應(yīng)放置的接收器接收。當X射線源轉(zhuǎn)動時，下方的檢測器作同步反向轉(zhuǎn)動。由于使用了多源-多探測器的采集方式，能成倍地提高采集速度。對于動態(tài)模型，因為采集速度提高，在一周的采集時間內(nèi)物體運動的時間減少，運動幅度減小，因而由運動帶來的偽跡被抑制。

1.3 動態(tài)模型定義

本文定義如下模型來評價重建算法在運動中的成像效果。模型由1段圓管和4個圓球組成（圖2），其參數(shù)由表1給出。投影過程中，外層圓管靜止不動，位于中央的4個小球以兩種方式變化：(1)小球圓心繞著圓柱的中軸每秒轉(zhuǎn)動3.6°；(2) 小球半徑每秒膨脹1.05倍。在采集過程中，由于中央的小球連續(xù)運動，采集投影時與靜止不動時相比會產(chǎn)生偏差，而基于多源的采集則能有效的抑制這種因運動帶來的偏差。

圖2 動態(tài)數(shù)字模型Fig.2 Dynamic digital phantom

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

表1中x, y, z 分別表示圓管內(nèi)外壁和圓球中心空間位置的歸一化坐標，r表示歸一化半徑，h是圓管的歸一化高度，ρ是圓管/圓球的吸收系數(shù)。

1.4 仿真實驗參數(shù)設(shè)置

仿真實驗中投影數(shù)據(jù)采用解析法求得，為了保證重建結(jié)果的可比性，單源，雙源與四源都采用如表2所示的參數(shù)設(shè)置，值得注意的是，在檢測器尺寸相同的情況下，雙源、四源Tomosynthesis的采集速度分別是單源Tomosynthesis的2倍和4倍，對投影的采集時間縮短到單源情形下的1/2和1/4，雖然一次照射的輻射劑量變大了，但是病人接受輻射的總劑量并沒有發(fā)生變化。

2 模型仿真結(jié)果及定量分析

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

2.1 不同掃描方式下的仿真重建結(jié)果

根據(jù)上述圖像重建原理，采用解析法計算動態(tài)模型的投影值，再分別用單源，雙源和四源迭代算法進行重建，松弛系數(shù)λ=0.025，迭代30次，對模型正中間z=0的斷面顯示，結(jié)果如圖3和圖4所示。圖3中(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)了單源，雙源和四源掃描下旋轉(zhuǎn)模型的重建結(jié)果；圖4中(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)了單源，雙源和四源掃描下膨脹模型的重建結(jié)果。從重建結(jié)果可以看出，采用多源tomosynthesis能夠有效地抑制運動偽跡。

圖3 單源、雙源、四源重建算法重建結(jié)果比較（轉(zhuǎn)動模型）Fig.3 Reconstruction results of single-source, dual-source and four-source(Rotation phantom)

圖4 單源、雙源、四源重建算法重建結(jié)果比較（膨脹模型）Fig.4 Reconstruction results of single-source, dual-source and four-source(Expansion phantom)

2.2 對重建結(jié)果進行定量分析

為了進一步比較重建圖像與原始圖像的差異，我們選用下面的三個評價參數(shù)[11]進行定量比較：

(1) 歸一化均方距離判據(jù)D

(2) 歸一化平均絕對距離判據(jù)R

(3) 最壞情況距離判據(jù)E

其中，tij是原始值，rij是計算值，t是原始值的平均值，N是圖像的邊長。

對兩種掃描方式下的重建結(jié)果，分別計算三種定量指標，不同迭代次數(shù)下的結(jié)果如圖5和圖6所示，圖中縱坐標表示誤差的大小，橫坐標表示迭代的次數(shù)。從圖中可以看到，隨著迭代次數(shù)的增加，D，R，E的變化總體呈現(xiàn)下降趨勢， 并且誤差減小的速度和最終的收斂結(jié)果，是四源重建優(yōu)于雙源重建優(yōu)于單源重建。

圖5 旋轉(zhuǎn)模型下不同掃描方式的定量對比Fig.5 Quantitative analysis of different scanning con fi guration in rotation phantom

圖6 膨脹模型下不同掃描方式的定量對比Fig.6 Quantitative analysis of different scanning con fi guration in expansion phantom

3 結(jié)論

本文提出了一種新的多源Tomosynthesis掃描方法，在測量參數(shù)及仿真模型一樣的情況下，比較單源，雙源與四源的采集速度，迭代重建次數(shù)及定量誤差。結(jié)果表明，多源掃描方式（尤其是四源掃描）在動態(tài)模型仿真中能加快收斂速度，減小誤差，并有效地抑制動態(tài)偽跡，該方法對進一步改善心臟及呼吸運動成像具有指導(dǎo)意義。

[1] David G.Grant. tomosynthesis: A three-dimensional radiographic imaging Technique[J]. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 1972, 19(1): 20-28.

[2] Gunter Lauritsch, Wolfgang H. Harer. A theoretical framework for filtered backprojection in tomosynthesis[C]. Proc. SPIE, 1998,3338: 1127-1137.

[3] Beilei Wang, Kenneth Barner, Denny Lee. Algebraic tomosynthesis reconstruction[C]. Proc. of SPIE, 2004, 5370: 711-718.

[4] Richard J. Warp, Devon J. Godfrey, James T. Dobbins III.Applications of matrix inverse tomosynthesis[C]. Proc. SPIE, 2000,3977: 376-383.

[5] 平野圭藏. 頻域反卷積成像(FDDI): 一種新的X線斷層攝影法[D].日本:信州大學, 1993.

[6] Devon J. Godfrey, Amber Rader, James T. Dobbins III. Practical strategies for the clinical implementation of matrix inversion tomosynthesis[C]. Proc. SPIE, 2003, 5030: 379-390.

[7] Maravilla K R, Murry R C Jr, Dech M, et al. Clinical application of digital tomosynthesis: a preliminary report[J]. Am. J.Neuroradiology, 1983, 4(3): 277-280.

[8] Richard L. Webber, Hunter R. Underhill, Paul F. Hemler, et al.A Nonlinear algorithm for task-specific tomosynthetic image reconstruction[C]. Proc. SPIE, 1999, 3659: 258-265.

[9] Jun Zhao, Ming Jiang, Tiange Zhuang, et al. Minimum detection window and inter-helix PI-line with triple-source helical cone-beam scanning[J]. Journal of X-Ray Science and Technology, 2006, 14:95-107.

[10] Jun Zhao, Ming Jiang, Tiange Zhuang, et al. An exact reconstruction algorithm for triple-source helical cone-beam CT[J].Journal of X-Ray Science and Technology, 2006, 14: 191-206.

[11] 莊天戈. CT原理與算法[M]. 上海: 上海交通大學出版社, 1992