桑 波，劉文健，朱思銘

（1.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059；2.中山大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣州 510275）

推論2 系統(tǒng)（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0.

證明 由定理，系統(tǒng)（1）存在首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)，由于z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)解析，函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區(qū)間J上線性相關(guān)，而函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區(qū)間J上線性相關(guān)的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0［10］，由此推論得證.

一類時間可逆系統(tǒng)的首次積分問題

桑 波1，劉文健1，朱思銘2

（1.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059；2.中山大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣州 510275）

對于一類時間可逆解析系統(tǒng)建立了首次積分的系數(shù)遞推公式.利用此遞推公式得到其具有給定形式首次積分的充要條件.為了說明所得結(jié)論，對于一類時間可逆三次系統(tǒng)，利用系數(shù)遞推公式給出了其六次多項(xiàng)式首次積分.

時間可逆系統(tǒng)；三次系統(tǒng)；首次積分；Darboux多項(xiàng)式

在常微分方程定性理論中，確定可積系統(tǒng)的首次積分問題是一個經(jīng)典難題.對于可積的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，構(gòu)造首次積分的主要方法有達(dá)布方法［1－3］、Prelle－Singer方法及其擴(kuò)展方法［4－5］、李對稱性方法［6］、Lax pair方法［7］等.這些方法的構(gòu)造性都比較強(qiáng)，比較適用于具體系統(tǒng)首次積分的構(gòu)造，因而難以建立某類系統(tǒng)具有確定形式首次積分的充要條件.

時間可逆微分系統(tǒng)在力學(xué)、物理學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用，因而研究其首次積分問題是比較重要的.文獻(xiàn)［8］給出了時間可逆系統(tǒng)的首次積分空間的性質(zhì).對時間可逆多項(xiàng)式微分系統(tǒng)而言，多項(xiàng)式首次積分的構(gòu)造是比較重要的，這是因?yàn)槿绻撌状畏e分在實(shí)數(shù)域內(nèi)是可分解的，分解式中的Darboux多項(xiàng)式對系統(tǒng)性態(tài)的確定具有重要作用.

本研究考慮一類時間可逆解析微分系統(tǒng)的首次積分問題.通過建立解析首次積分的系數(shù)遞推公式，給出這類系統(tǒng)具有指定形式首次積分的充要條件，并確定該首次積分的解析區(qū)域；在此基礎(chǔ)上，對一個實(shí)例構(gòu)造六次多項(xiàng)式首次積分.

考慮時間可逆實(shí)微分系統(tǒng)

而式（14）成立的充要條件是函數(shù)組1，2A（x）＋a（x），（2A（x）＋a（x））2＋2B（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)，這也是系統(tǒng)（1）存在形如式（4）的首次積分的充要條件；另一方面，若系統(tǒng)（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y），由式（11—13），（8）及解析函數(shù)的性質(zhì)可知，u0（x），u1（x），u2（x），u3（x）在開區(qū)間I內(nèi)解析，從而首次積分F3（x，y）在區(qū)域I×R內(nèi)解析.

令z1＝1，z2＝2A（x）＋a（x），z3＝（2A（x）＋a（x））2＋2B（x），則有如下定理.

定理 系統(tǒng)（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)；若此首次積分F3（x，y）存在，則它在區(qū)域I×R內(nèi)解析.

推論1 系統(tǒng)（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）的 Wronsky行列式W［z1，z2，z3］（x）≡0，x∈I.

證明 由定理，系統(tǒng)（1）存在首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)；考慮到z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)解析，由 Wronsky判別準(zhǔn)則［9］，函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)的充要條件是其 Wronsky行列式W［z1，z2，z3］（x）≡0，x∈I，由此推論得證.

推論2 系統(tǒng)（1）存在形如式（4）的首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0.

證明 由定理，系統(tǒng)（1）存在首次積分F3（x，y）的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)，由于z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)解析，函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在開區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區(qū)間J上線性相關(guān)，而函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）在閉區(qū)間J上線性相關(guān)的充要條件是函數(shù)組z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0［10］，由此推論得證.

［1］ Ginoux J.Differential Geometry Applied to Dynamical Systems［M］.Singapore：World Scientific，2009.

［2］ Christopher C，Li C Z.Limit Cycles of Differential Equations［M］.Berlin：Birkh?user Verlag，2007.

［3］ Dumoriter F，Llibre J，Artés J.Qualitative Theory of Planar Differential Systems［M］.Berlin：Springer，2006.

［4］ Prelle M，Singer M.Elementary first integrals of differential equations［J］.Trans Amer Math Soc，1983，279（1）：215－229.

［5］ Avellar J，Duarte L，Duarte S，et al.Determining Liouvillian first integrals for dynamical systems in the plane［J］.Computer Physics Communications，2007，177：584－596.

［6］ Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equations［M］.New York：Springer，1986.

［7］ Goriely A.Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems［M］.Singapore：World Scientific，2001.

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［9］ Jeffrey A，Dai H H.Handbook of Mathematical Formulas and Integrals［M］.San Diego：Academic Press，2008.

［10］ 克拉斯諾夫 МЛ，基謝列夫АИ，馬卡林科ГИ.常微分方程解題指南［M］.李明曙，楊守昌，譯.合肥：安徽省數(shù)學(xué)學(xué)會，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系，1987.

First integral problem for a class of time－reversible systems

SANGBo1，LIUWenjian1，ZHUSiming2
（1.College of Mathematics Science，Liaocheng University，Liaocheng 252059，Shandong Province，China；
2.College of Mathematics and Computational Science，Sun Yat－Sen University，Guangzhou 510275，China）

For a class of time－reversible analytic systems，coefficients’recurrence formulae of first integral are obtained，by which some necessary and sufficient conditions for the systems to have prescribed first integral are reached.To illustrate the results，six degree polynomial first integral of a cubic time－reversible system is obtained by the coefficients’recurrence formulae.

time－reversible systems；cubic systems；first integral；Darboux polynomial

O175.12

A

1671－1114（2011）02－0009－03

2010－05－20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871214）

桑 波（1976—），男，副教授，博士，主要從事常微分方程定性理論方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光

）