趙呈建，徐文青

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系， 河南 鄭州 451191)

在研究產(chǎn)品壽命以及斷裂力學(xué)問題中，有很多隨機(jī)變量都是服從Weibull分布的.通過對Weibull分布的討論可以對這些隨機(jī)變量的取值概率進(jìn)行計(jì)算和推斷，從而解決工程技術(shù)的相關(guān)問題.然而，Weibull分布不同于正態(tài)分布等常見分布，它是一類比較復(fù)雜的分布，在應(yīng)用中具有一定的難度.要解決相關(guān)的問題，就必須計(jì)算出Weibull分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布.本研究從Weibull分布的性質(zhì)討論出發(fā)，給出了Weibull分布的一些常用函數(shù)的數(shù)字特征.

1 Weibull分布的定義與特征

1.1 Weibull分布的定義

定義1[1-2]如果隨機(jī)變量T的分布函數(shù)F(t)為：

(1)

則稱隨機(jī)變量T服從Weibull分布，其中m>0，η>0，m叫形狀參數(shù)，η叫刻度參數(shù).這是兩參數(shù)的Weibull分布，常記T～W(m,η).

Weibull分布形式類似指數(shù)分布形式，但比指數(shù)分布復(fù)雜得多.Weibull分布有三參數(shù)的分布詳見參考文獻(xiàn)[2].

由Weibull分布定義1知兩參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)為：

(2)

1.2 Weibull分布兩個(gè)參數(shù)與密度函數(shù)圖像的關(guān)系

1.2.1 形狀參數(shù)m

Weibull分布中形狀參數(shù)m是最重要的參數(shù)，它的值決定了密度函數(shù)曲線的形狀.當(dāng)m=1時(shí)，Weibull分布就是指數(shù)分布；當(dāng)01時(shí)，圖像有一個(gè)峰，隨著m>1的增大，峰值越高，圖像越窄，見圖1.

圖1 形狀參數(shù)對密度函數(shù)的影響Fig.1 The influence of shape parameter on the curve of density function

1.2.2 刻度參數(shù)η

對于刻度參數(shù)η，如果固定m，例如m=2，隨著刻度參數(shù)η的增大，圖像的峰值降低，圖像變得偏平.圖2是不同的η值密度函數(shù)圖像的形狀.

圖2 刻度參數(shù)對密度函數(shù)曲線的影響Fig.2 The influence of scale parameter on the density curve

2 Weibull分布的性質(zhì)

下面以定理形式給出關(guān)于Weibull分布的性質(zhì)并加以證明.

2.1 Weibull分布常用的性質(zhì)

證明X～W(1,1), 即F(x)=1-e-x是指數(shù)分布(當(dāng)m=1時(shí)Weibull分布是指數(shù)分布)，因此對任何t>0有

即T～W(α，β). 證畢.

定理1說明任何Weibull分布可以通過指數(shù)分布的變換得到.

證明對任何t>0有

即

(3)

定理2是可靠性理論中的有名的夭折試驗(yàn).

定理3 設(shè)T～W(m，η)，則X=lnT服從極值分布，其中參數(shù)

(4)

證明對任何t>0，有

證明對任何t>0，有

定理4說明研究Weibull分布問題重點(diǎn)應(yīng)放在對形狀參數(shù)m的研究上.

E(lnkY)=Γ(k)(1)/mk.

其中，Γ(·)是Gamma函數(shù)，Γ(k)(·)是Γ(·)的k階導(dǎo)數(shù).

證明由數(shù)學(xué)期望定義和定理4知

令Z=Ym，則有

根據(jù)Gamma函數(shù)Γ(α)在域α>0內(nèi)有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且可在積分號下求導(dǎo)的性質(zhì)[4]，有

當(dāng)α=1時(shí)可得

E[lnkY]=Γ(k)(1)/mk,

(5)

結(jié)論成立.

用Ψ(z)(z>0)記Digamma函數(shù)[5]，其定義為：

γ是歐拉常數(shù).

(n=1，2，3，…)

由上式以及Ψ(z)與Γ(z)之間的關(guān)系可求出Γ(k)(z)：

?！?1)=Γ(1)Ψ(1)=-γ，

(6)

2.2 Weibull分布隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征

(7)

(8)

證明(1) 由定理5、(5)式及(6)式知

(2) 由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知

T=ηY， lnT=lnη+lnY，那么

定理7 設(shè)T～W(m，η)，則有:

(9)

(10)

Cov[lnY，ln2Y]=E[ln3Y]-E[lnY]E[ln2Y]=

m-3Γ(3)(1)-m-1Γ′(1)·m-2Γ(2)(1)=

(11)

Cov[lnT，ln2T]=Cov[lnY+lnη，ln2Y+2lnηlnY+ln2η]=E{[lnY+lnη]·[ln2Y+2lnηlnY+ln2η]}-E[lnY+lnη].

E[ln2Y+2lnηlnY+ln2η]=

E[ln2Y]+3lnηE[ln2Y]+3ln2ηE[lnY]+ln3η-E[lnY]·E[ln2Y]-2lnηE2[lnY]-3ln2ηE[lnY]-lnηE[ln2y]-ln3η=

E[ln3Y]-E[lnY]·E[ln2Y]+2lnηE[ln2Y]-2lnηE2[lnY]=Cov[lnY，ln2Y]+2lnηD[lnY]=

對于(2)， 由定理5知

D[ln2Y]=E[ln4Y]-E2[ln2Y]=

m-4Γ(4)(1)-[m-2Γ(2)(1)]2=

(12)

D[ln2T]=D[(lnY+lnη)2]=

D[ln2Y]+4lnηCov[ln2Y，lnY]+4(lnη)2D[lnY].

由定理6、(11)、(12)和上式知(10)式成立，證畢.

3 結(jié) 語

本文重點(diǎn)討論了Weibull分布兩個(gè)參數(shù)與其密度函數(shù)的關(guān)系，并對常用的性質(zhì)給予了詳細(xì)的推導(dǎo)，特別導(dǎo)出了某些服從Weibull分布的隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征，為Weibull分布的應(yīng)用打下了基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 茆詩松，王玲玲.可靠性統(tǒng)計(jì)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社 ，1984.

[2] 陳家鼎.生存分析與可靠性[M].北京：北京大學(xué)出版社，2005.

[3] 葉慈南.完全樣本情形下Weibull分布的參數(shù)的估計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2003, 19(3)：259-266.

[4] 格·馬·菲赫金哥爾茨.數(shù)學(xué)分析原理[M].丁壽田譯.北京：人民教育出版社，1979.

[5] 《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京：人民教育出版社，1979.