王雪梅

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系， 河南 鄭州 451191)

1 引 理

下面是兩個本文將用到的引理.

引理1[2-8]若一個連通圖G滿足Δ=1,2,3,4,5,6,8,則LAC成立.

2 主要結(jié)果

下面給出本文所給的結(jié)果.

(1)存在一個點u， 使得d(u)=7；

(3)任意兩個最大度點都不相鄰.

則有以下兩種情況：

(2)若G是第二類的圖,則必是最小的第二類圖,且有以下兩個結(jié)論成立:

②若G有度數(shù)為1的頂點v0, 則它只有唯一的最大度點.這個最大度點就是與v0相鄰的頂點.

證明(1) 若v′不是最大度點，則令G′=G-u′v′, 有e(G′)=e(G)-1,v(G′)=v(G)，

Δ+1, 所以dG′(u′)+dG(v′)≤Δ-2,

dG′(u′)+dG′(v′).

與原假設(shè)矛盾, 所以結(jié)論1成立.

從而由結(jié)論1知,v0的鄰點v1必為最大度點.

下面證明最大度點的唯一性.

t≤2. 這就是說t=2.

與原假設(shè)矛盾.

與原假設(shè)矛盾.

以上矛盾說明:G只有一個最大度點.

證畢.

3 結(jié) 論

圖論中有關(guān)染色的研究成果已經(jīng)相對完善，對網(wǎng)絡(luò)方面和運輸問題的作用也日趨明顯[9-15].但是染色理論分支的蔭度問題還有一些尚待解決，本文找出了第一類圖和第二類圖的一個必要條件，但是它的充分條件問題還有待解決.

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