孫彩賢, 王 磊

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系,河南 鄭州 450001; 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450001)

在變結(jié)構(gòu)控制(VSC)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，切換面(如：使用切換方程來(lái)進(jìn)行表示)和切換規(guī)律(如：VSC率)需要保證在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)軌跡要進(jìn)入切換面.例如，當(dāng)系統(tǒng)軌跡進(jìn)入切換面時(shí)，切換模型發(fā)生，遞減模型使得滑動(dòng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的[1-3].一般來(lái)說(shuō)，我們可以通過(guò)線性二次型來(lái)設(shè)計(jì)切換面，如在[4]中，用其來(lái)研究線性系統(tǒng)，而在文獻(xiàn)[5]中，對(duì)于滿足特殊形式的非線性系統(tǒng)，用其研究了非線性?xún)?yōu)化系統(tǒng).但由于特殊模型的限制，這種方法顯然無(wú)法適用于很多復(fù)雜的非線性系統(tǒng).而文獻(xiàn)[6]使用Lyapunov逼近法直接構(gòu)建了切換面，這種方法適用于求解代數(shù)Ricatti方程(ARE)，不需要系統(tǒng)滿足某些特殊條件.但是在文獻(xiàn)[6]中，只討論了線性系統(tǒng)的情況.

為了解決在VSC系統(tǒng)中固有存在的復(fù)雜現(xiàn)象，文獻(xiàn)[7]提出使用飽和方程來(lái)替代符號(hào)函數(shù)，而文獻(xiàn)[8-9]使用高階滑動(dòng)模控制來(lái)替代.相對(duì)于滑動(dòng)模，文獻(xiàn)[10]提出了滑動(dòng)區(qū)域來(lái)降低系統(tǒng)條件.而我們已經(jīng)證明，對(duì)于線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)，在狀態(tài)空間中存在一個(gè)稱(chēng)為滑動(dòng)區(qū)域的子集，在其中，Lyapunov函數(shù)遞減，不需要任何控制率的附加.因此，在文獻(xiàn)[10]中，設(shè)計(jì)了一個(gè)滑動(dòng)區(qū)域控制(SSC)率，使得在此控制率之下，系統(tǒng)軌跡最終被轉(zhuǎn)移到滑動(dòng)區(qū)域中，從而在控制率的反饋之下，系統(tǒng)二次穩(wěn)定.

本文在前人一些工作成果的基礎(chǔ)上描述了所要研究的系統(tǒng)以及需要解決的主要問(wèn)題，根據(jù)一個(gè)前置SDDRE的解定義給出了NTV滑動(dòng)控制區(qū)域，同時(shí)還給出了NTVC控制率，最后給出了SSC，證明了系統(tǒng)在SSC之下全局穩(wěn)定.

1 問(wèn)題描述

考慮帶不確定性的輸入非線性時(shí)變仿射輸入系統(tǒng)：

(1)

其中，x∈Rn和u∈Rl分別為狀態(tài)變量和輸入變量，f(x，t)∈Ck，g(x，t)∈Ck是滿足適當(dāng)維數(shù)的函數(shù).其中，對(duì)于?x∈Rn， ?t∈R+，有g(shù)(x，t)≠0.d(x，t)為不確定項(xiàng)，此不確定可能是由于參數(shù)的不確定性或者是擾動(dòng)所造成 .

假設(shè)f(0，t)=0(對(duì)于任意的t∈R+)，且f(x，t)為連續(xù)可微的，則非線性時(shí)變系統(tǒng)(1)可以被表示為如下的決定于狀態(tài)的線性時(shí)變(SDLTV)系統(tǒng):

(2)

其中，A(x，t)x=f(x，t)，B(x，t)=g(x，t).

假設(shè)1 二元組(A(x，t)，B(x，t))對(duì)于?x∈Rn， ?t∈R+是能控的；

假設(shè)2 不確定項(xiàng)d(x，t)滿足：

|d(x，t)|≤q(x，t)‖x‖+p(t)， ?x∈Rn， ?t∈[0，+∞)，

(3)

其中，q(x，t)和p(t)為已知的正函數(shù)，且p(t)以常數(shù)為界，‖·‖表示為二位歐式范數(shù).

我們主要研究的控制問(wèn)題是找到一個(gè)VS控制率，使得系統(tǒng)(2)全局漸近穩(wěn)定，且可以已知系統(tǒng)中的不確定因素.

2 NTV滑動(dòng)區(qū)域

對(duì)于LTI系統(tǒng)，如果在狀態(tài)空間中存在一個(gè)子集，使得該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)在此子集中且在相應(yīng)的控制之下保持一致遞減，則稱(chēng)這個(gè)子集為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的LTI滑動(dòng)區(qū)域.而在考慮參數(shù)不確定或者系統(tǒng)存在某些擾動(dòng)的時(shí)候，文獻(xiàn)[11]給出一VS控制率從而保證了系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)在滑動(dòng)區(qū)域中一致遞減.同樣，可以使用相同的方法來(lái)給出如下關(guān)于SDLTV系統(tǒng)(2)的SDLTV滑動(dòng)區(qū)域.

定義1 稱(chēng)S(t)為SDLTV系統(tǒng)(2)的NTV(SDLTV)滑動(dòng)區(qū)域，若其滿足：

S(t)={x/s2(x，t)≤δ2(x，t)，x∈Rn，t∈R+}，

(4)

其中，Lyapunov函數(shù)定義為：

V(t)=xTP(x，t)x>0， ?x∈Rn(x≠0)，

?t∈R+.

(5)

在VSC控制率下，此Lyapunov函數(shù)遞減，且其沿SDLTV系統(tǒng)(2)的軌跡的微分滿足：

?x∈S(t)，

其中，P(x，t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，R(x，t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)半正定矩陣，R(x，t)=CT(x，t)C(x，t)，C(x，t)∈Rl×n，l≥1.對(duì)于?x∈Rn， (C(x，t)，A(x，t))能觀，且SDLTV切換函數(shù)s(x，t)，狀態(tài)決定時(shí)變二次函數(shù)δ2(x，t)的平方根δ(x，t)如下描述：

s(x，t)=S(x，t)x，S(x，t)∈Rl×n，

(6)

(7)

注：NTV滑動(dòng)區(qū)域中有4個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，其中，P(x，t)和R(x，t)決定著系統(tǒng)在滑動(dòng)區(qū)域中的性質(zhì)，而s(x，t)和δ(x，t)給出了區(qū)域的形狀.同時(shí)，在滑動(dòng)區(qū)域中使用的VSC控制率要保證Lyaponov函數(shù)在此區(qū)域中一致下降.

對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，文獻(xiàn)[11]使用ARE來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的滑動(dòng)區(qū)域，同時(shí)使用ARE的解來(lái)定義Lyapunov函數(shù).本文使用SDDRE來(lái)設(shè)計(jì)NTV滑動(dòng)區(qū)域.我們已知使用帶邊界條件的SDDRE的解來(lái)構(gòu)建最優(yōu)二次控制率，該控制率可以使二次性能指標(biāo)最小，在文獻(xiàn)[12]中使用的是Hamilton-Jacobi方程(HJE)，而文獻(xiàn)[13]使用的是Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程.但是，后置系統(tǒng)的引入使得要求SDDRE當(dāng)前時(shí)刻的解卻需要之后時(shí)刻系統(tǒng)的信息，這對(duì)于SDLTV系統(tǒng)(2)顯然是不可行的.

本文中，對(duì)于如下SDDRE：

(8)

我們使用初始條件為P(x(t0)，t0)=PT(x(t0)，t0)>0來(lái)替代邊值條件，從而可以使用前置系統(tǒng)來(lái)研究此方程，通過(guò)此方程來(lái)設(shè)計(jì)NTV滑動(dòng)區(qū)域(4)，其中，Q(x，t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣函數(shù).

由于系統(tǒng)(2)中的二元組(A(x，t)，B(x，t))能控，Q(x，t)對(duì)于?x∈Rn， ?t∈R+都是正定的，則SDDRE(8)存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣解P(x，t)∈Rl×n[12-13].通過(guò)改變權(quán)重矩陣Q(x，t)，我們可以得到不同的SDDRE(8)的解P(x，t)，從而來(lái)構(gòu)造出NTVC控制率：

u=-BT(x，t)P(x，t)x(t).

(9)

(10)

則在控制率(9)控制下，d(x，t)=0，無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)(2)全局穩(wěn)定.

證明對(duì)于Lyapunov函數(shù)(5)，其沿系統(tǒng)(2)軌跡的微分為：

AT(x，t)P(x，t))x+2xTP(x，t)B(x，t)u=

如果我們使用SDRRE(8)的解P(x，t)來(lái)定義Lyapunov函數(shù)(5)，則其沿系統(tǒng)(2)軌跡的微分可以表示為：

(11)

其中s(x，t)=BT(x，t)P(x，t)x.

定理1 對(duì)于滿足假設(shè)1和假設(shè)2的SDLTV系統(tǒng)(2)，如果：

(1)Q(x，t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，對(duì)稱(chēng)正定矩陣函數(shù)P(x，t)是SDDRE(8)的解，基于P(x，t)可以構(gòu)造Lyapunov函數(shù)(5)；

則NTV(SDLTV)滑動(dòng)區(qū)域可以被表示為式(12)，

S(t)={x‖s(x，t)‖≤δ(x，t).x∈Rn，t∈R+}.

(12)

s(x,t)為NTV(SDLTV)切換函數(shù)，δ(x，t)為狀態(tài)決定二次時(shí)變函數(shù)δ2(t)的平方根，和在滑動(dòng)區(qū)域中所使用的VSC控制率表述為如下形式：

s(x,t)=S(x,t)x，S(x,t)=B(x,t)TP(x,t)，

u=-ki(x,t)sgn(s(x,t))，

(13)

其中ki(x,t)是一正增益函數(shù)且滿足

ki(x,t)≥q(x,t)‖x‖+p(t). ?x∈Rn， ?t∈R+，

q(x,t)‖x‖+p(t)為描述在(3)中不確定性d(x,t)的界.

證明根據(jù)(11)式，當(dāng)引入VSC控制率(13)時(shí)，有：

s2(x，t)-δ2(x，t)-xTR(x，t)x≤-xTR(x，t)x， ?x∈S(t).

因此，根據(jù)滑動(dòng)區(qū)域的定義可以得到，由SDDRE(8)給出來(lái)的區(qū)域(12)是NTV滑動(dòng)區(qū)域.

3 帶NTV滑動(dòng)區(qū)域的VSC控制率

通過(guò)前面的分析得知，當(dāng)時(shí)s2(x，t)<δ2(x，t)，也就是在NTV滑動(dòng)區(qū)域(12)內(nèi)部時(shí)，在VSC控制率控制之下，Lyapunov函數(shù)沿著SDLTV系統(tǒng)(2)的軌跡單調(diào)遞減.由此想到，可以設(shè)計(jì)一個(gè)帶NTV滑動(dòng)區(qū)域的VSC系統(tǒng)，如SSC系統(tǒng)，使得在此控制系統(tǒng)下，系統(tǒng)軌跡在最終時(shí)刻從滑動(dòng)區(qū)域外部轉(zhuǎn)移到滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)部，從而可以保證這個(gè)帶NTV滑動(dòng)區(qū)域(12)的VSC系統(tǒng)全局且二次穩(wěn)定.

(14)

可使系統(tǒng)軌跡最終進(jìn)去區(qū)域(12)，從而保證系統(tǒng)全局二次穩(wěn)定.

在16式中，k0(x，t)和ki(x，t)為正增益函數(shù)且滿足：

k0(x，t)≥|β(x，t)|(q(x，t)‖x‖+p(t)+ε)，?x∈Rn， ?t∈R+，

ki(x,t)≥q(x,t)‖x‖+p(t)，

?x∈Rn， ?t∈R+，

其中，q(x,t)‖x‖+p(t)為描述在(3)中不確定性d(x,t)的界.ε為正常數(shù)，函數(shù)α(x,t)和函數(shù)β(x，t)如下定義：

(15)

(16)

同時(shí)假定函數(shù)β(x，t)∈R1可逆.

證明首先我們假設(shè)初始狀態(tài)在NTV滑動(dòng)區(qū)域(12)之外.則SSC控制率表示為：

u=-β-1(x，t)(α(x，t)+k0(x，t)sgn(s(x，t))).

(17)

在系統(tǒng)狀態(tài)還未進(jìn)去滑動(dòng)區(qū)域之前，系統(tǒng)使用此控制率.故：

-2e|s(x，t)|<0， ?x?S(t).

可以看出NTV函數(shù)s(x,t)的平方單調(diào)減少，即系統(tǒng)狀態(tài)將要最終進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域.

而在滑動(dòng)區(qū)域之中時(shí)，系統(tǒng)的控制輸入為：

u=-ki(x,t)sgn(s(x,t)).

在定理1中我們已經(jīng)給出，在此控制之下，Lyapunov函數(shù)沿著系統(tǒng)軌跡的微分滿足：

綜上可以得到，對(duì)于SDLTV系統(tǒng)(2)，SSC控制率(14)可以保證系統(tǒng)軌跡最終進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域，而在滑動(dòng)區(qū)域中，由于Lyapunov函數(shù)單調(diào)下降，故SDLTV系統(tǒng)(2)全局二次穩(wěn)定.

參考文獻(xiàn)：

[1] UTKIN U. Sliding Modes in Control and Optimization[M]. London: Springer-Verlag, 1992.

[2] EMELYANOV S, KOROVIN S, MAMEDOV I. Variable Structure Control Systems: Discrete and Digital[M].FL: CRC Press, 1995.

[3] EDWARDS C, SPURGEON S. Sliding Modes in Control: Theory and Applications[M]. London: Taylor and francis, 1998.

[4] YOUNG K, OZGUNER U. Sliding-mode design for robust linear optimal control [J]. Automatica, 1997,33(7):1313-1323.

[5] GAO W, HUNG J. Variable structure control of nonlinear systems:a new approach [J]. IEEE Trans Ind Electron., 1993,40(1):45-55.

[6] SU W C, DRAKUNOV S V, OZGUNER U. Constructing discontinuity surface for variable steucture systems: a lyapunov approach” [J]. Automatica, 1996,32(6):925-928.

[7] KACHROO P, TOMIZUKA M. Chattering reduction and error convergence in the sliding-mode control of a class of nonlinear systems” [J]. IEEE Trans Automat Control, 1996,41(7):1063-1068.

[8] BARTOLINI G， PISANO A, PUNTA E,et.al. A survey of applications of second-order sliding mode control to mechanical systems [J]. Int J Control , 2003,76(9):875-892.

[9] PAN Y D, KRISHMA D K. Design of variable structure control system with nonlinear time-varying sliding zone [J]. IEEE Transaction On Automatic Control , 2009,54(8):1981-1986.

[10]FRIDMAN L, LEVANT A, DAVILA J. High-order sliding-mode observer for linear systems with unknown inputs [J]. Proc Lnt Workshop Variable Struct Syst，2006(6)：202-207.

[11]FURUTA K, PAN Y, Sliding sectors for VS controller [J]. Automatica, 2000,36(2):211-228.

[12]ANDERSON B, MOORE J. Optimal Control-Linear Quadratic Methods[M]. NJ: Prentice Hall, 1990.

[13]KOKOTOVIC P, ARCAK M. Constructive nonlinear control: a historical perspective [J]. Automatica,2001,37(5):637-662.