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        帶非線性時(shí)變滑動(dòng)區(qū)域的變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

        2010-11-27 01:45:46孫彩賢
        關(guān)鍵詞:區(qū)域系統(tǒng)

        孫彩賢, 王 磊

        (1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系,河南 鄭州 450001; 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450001)

        在變結(jié)構(gòu)控制(VSC)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,切換面(如:使用切換方程來(lái)進(jìn)行表示)和切換規(guī)律(如:VSC率)需要保證在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi),系統(tǒng)軌跡要進(jìn)入切換面.例如,當(dāng)系統(tǒng)軌跡進(jìn)入切換面時(shí),切換模型發(fā)生,遞減模型使得滑動(dòng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的[1-3].一般來(lái)說(shuō),我們可以通過(guò)線性二次型來(lái)設(shè)計(jì)切換面,如在[4]中,用其來(lái)研究線性系統(tǒng),而在文獻(xiàn)[5]中,對(duì)于滿足特殊形式的非線性系統(tǒng),用其研究了非線性?xún)?yōu)化系統(tǒng).但由于特殊模型的限制,這種方法顯然無(wú)法適用于很多復(fù)雜的非線性系統(tǒng).而文獻(xiàn)[6]使用Lyapunov逼近法直接構(gòu)建了切換面,這種方法適用于求解代數(shù)Ricatti方程(ARE),不需要系統(tǒng)滿足某些特殊條件.但是在文獻(xiàn)[6]中,只討論了線性系統(tǒng)的情況.

        為了解決在VSC系統(tǒng)中固有存在的復(fù)雜現(xiàn)象,文獻(xiàn)[7]提出使用飽和方程來(lái)替代符號(hào)函數(shù),而文獻(xiàn)[8-9]使用高階滑動(dòng)模控制來(lái)替代.相對(duì)于滑動(dòng)模,文獻(xiàn)[10]提出了滑動(dòng)區(qū)域來(lái)降低系統(tǒng)條件.而我們已經(jīng)證明,對(duì)于線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng),在狀態(tài)空間中存在一個(gè)稱(chēng)為滑動(dòng)區(qū)域的子集,在其中,Lyapunov函數(shù)遞減,不需要任何控制率的附加.因此,在文獻(xiàn)[10]中,設(shè)計(jì)了一個(gè)滑動(dòng)區(qū)域控制(SSC)率,使得在此控制率之下,系統(tǒng)軌跡最終被轉(zhuǎn)移到滑動(dòng)區(qū)域中,從而在控制率的反饋之下,系統(tǒng)二次穩(wěn)定.

        本文在前人一些工作成果的基礎(chǔ)上描述了所要研究的系統(tǒng)以及需要解決的主要問(wèn)題,根據(jù)一個(gè)前置SDDRE的解定義給出了NTV滑動(dòng)控制區(qū)域,同時(shí)還給出了NTVC控制率,最后給出了SSC,證明了系統(tǒng)在SSC之下全局穩(wěn)定.

        1 問(wèn)題描述

        考慮帶不確定性的輸入非線性時(shí)變仿射輸入系統(tǒng):

        (1)

        其中,x∈Rn和u∈Rl分別為狀態(tài)變量和輸入變量,f(x,t)∈Ck,g(x,t)∈Ck是滿足適當(dāng)維數(shù)的函數(shù).其中,對(duì)于?x∈Rn, ?t∈R+,有g(shù)(x,t)≠0.d(x,t)為不確定項(xiàng),此不確定可能是由于參數(shù)的不確定性或者是擾動(dòng)所造成 .

        假設(shè)f(0,t)=0(對(duì)于任意的t∈R+),且f(x,t)為連續(xù)可微的,則非線性時(shí)變系統(tǒng)(1)可以被表示為如下的決定于狀態(tài)的線性時(shí)變(SDLTV)系統(tǒng):

        (2)

        其中,A(x,t)x=f(x,t),B(x,t)=g(x,t).

        假設(shè)1 二元組(A(x,t),B(x,t))對(duì)于?x∈Rn, ?t∈R+是能控的;

        假設(shè)2 不確定項(xiàng)d(x,t)滿足:

        |d(x,t)|≤q(x,t)‖x‖+p(t), ?x∈Rn, ?t∈[0,+∞),

        (3)

        其中,q(x,t)和p(t)為已知的正函數(shù),且p(t)以常數(shù)為界,‖·‖表示為二位歐式范數(shù).

        我們主要研究的控制問(wèn)題是找到一個(gè)VS控制率,使得系統(tǒng)(2)全局漸近穩(wěn)定,且可以已知系統(tǒng)中的不確定因素.

        2 NTV滑動(dòng)區(qū)域

        對(duì)于LTI系統(tǒng),如果在狀態(tài)空間中存在一個(gè)子集,使得該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)在此子集中且在相應(yīng)的控制之下保持一致遞減,則稱(chēng)這個(gè)子集為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的LTI滑動(dòng)區(qū)域.而在考慮參數(shù)不確定或者系統(tǒng)存在某些擾動(dòng)的時(shí)候,文獻(xiàn)[11]給出一VS控制率從而保證了系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)在滑動(dòng)區(qū)域中一致遞減.同樣,可以使用相同的方法來(lái)給出如下關(guān)于SDLTV系統(tǒng)(2)的SDLTV滑動(dòng)區(qū)域.

        定義1 稱(chēng)S(t)為SDLTV系統(tǒng)(2)的NTV(SDLTV)滑動(dòng)區(qū)域,若其滿足:

        S(t)={x/s2(x,t)≤δ2(x,t),x∈Rn,t∈R+},

        (4)

        其中,Lyapunov函數(shù)定義為:

        V(t)=xTP(x,t)x>0, ?x∈Rn(x≠0),

        ?t∈R+.

        (5)

        在VSC控制率下,此Lyapunov函數(shù)遞減,且其沿SDLTV系統(tǒng)(2)的軌跡的微分滿足:

        ?x∈S(t),

        其中,P(x,t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣,R(x,t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)半正定矩陣,R(x,t)=CT(x,t)C(x,t),C(x,t)∈Rl×n,l≥1.對(duì)于?x∈Rn, (C(x,t),A(x,t))能觀,且SDLTV切換函數(shù)s(x,t),狀態(tài)決定時(shí)變二次函數(shù)δ2(x,t)的平方根δ(x,t)如下描述:

        s(x,t)=S(x,t)x,S(x,t)∈Rl×n,

        (6)

        (7)

        注:NTV滑動(dòng)區(qū)域中有4個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù),其中,P(x,t)和R(x,t)決定著系統(tǒng)在滑動(dòng)區(qū)域中的性質(zhì),而s(x,t)和δ(x,t)給出了區(qū)域的形狀.同時(shí),在滑動(dòng)區(qū)域中使用的VSC控制率要保證Lyaponov函數(shù)在此區(qū)域中一致下降.

        對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng),文獻(xiàn)[11]使用ARE來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的滑動(dòng)區(qū)域,同時(shí)使用ARE的解來(lái)定義Lyapunov函數(shù).本文使用SDDRE來(lái)設(shè)計(jì)NTV滑動(dòng)區(qū)域.我們已知使用帶邊界條件的SDDRE的解來(lái)構(gòu)建最優(yōu)二次控制率,該控制率可以使二次性能指標(biāo)最小,在文獻(xiàn)[12]中使用的是Hamilton-Jacobi方程(HJE),而文獻(xiàn)[13]使用的是Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程.但是,后置系統(tǒng)的引入使得要求SDDRE當(dāng)前時(shí)刻的解卻需要之后時(shí)刻系統(tǒng)的信息,這對(duì)于SDLTV系統(tǒng)(2)顯然是不可行的.

        本文中,對(duì)于如下SDDRE:

        (8)

        我們使用初始條件為P(x(t0),t0)=PT(x(t0),t0)>0來(lái)替代邊值條件,從而可以使用前置系統(tǒng)來(lái)研究此方程,通過(guò)此方程來(lái)設(shè)計(jì)NTV滑動(dòng)區(qū)域(4),其中,Q(x,t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣函數(shù).

        由于系統(tǒng)(2)中的二元組(A(x,t),B(x,t))能控,Q(x,t)對(duì)于?x∈Rn, ?t∈R+都是正定的,則SDDRE(8)存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣解P(x,t)∈Rl×n[12-13].通過(guò)改變權(quán)重矩陣Q(x,t),我們可以得到不同的SDDRE(8)的解P(x,t),從而來(lái)構(gòu)造出NTVC控制率:

        u=-BT(x,t)P(x,t)x(t).

        (9)

        (10)

        則在控制率(9)控制下,d(x,t)=0,無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)(2)全局穩(wěn)定.

        證明對(duì)于Lyapunov函數(shù)(5),其沿系統(tǒng)(2)軌跡的微分為:

        AT(x,t)P(x,t))x+2xTP(x,t)B(x,t)u=

        如果我們使用SDRRE(8)的解P(x,t)來(lái)定義Lyapunov函數(shù)(5),則其沿系統(tǒng)(2)軌跡的微分可以表示為:

        (11)

        其中s(x,t)=BT(x,t)P(x,t)x.

        定理1 對(duì)于滿足假設(shè)1和假設(shè)2的SDLTV系統(tǒng)(2),如果:

        (1)Q(x,t)∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定矩陣,對(duì)稱(chēng)正定矩陣函數(shù)P(x,t)是SDDRE(8)的解,基于P(x,t)可以構(gòu)造Lyapunov函數(shù)(5);

        則NTV(SDLTV)滑動(dòng)區(qū)域可以被表示為式(12),

        S(t)={x‖s(x,t)‖≤δ(x,t).x∈Rn,t∈R+}.

        (12)

        s(x,t)為NTV(SDLTV)切換函數(shù),δ(x,t)為狀態(tài)決定二次時(shí)變函數(shù)δ2(t)的平方根,和在滑動(dòng)區(qū)域中所使用的VSC控制率表述為如下形式:

        s(x,t)=S(x,t)x,S(x,t)=B(x,t)TP(x,t),

        u=-ki(x,t)sgn(s(x,t)),

        (13)

        其中ki(x,t)是一正增益函數(shù)且滿足

        ki(x,t)≥q(x,t)‖x‖+p(t). ?x∈Rn, ?t∈R+,

        q(x,t)‖x‖+p(t)為描述在(3)中不確定性d(x,t)的界.

        證明根據(jù)(11)式,當(dāng)引入VSC控制率(13)時(shí),有:

        s2(x,t)-δ2(x,t)-xTR(x,t)x≤-xTR(x,t)x, ?x∈S(t).

        因此,根據(jù)滑動(dòng)區(qū)域的定義可以得到,由SDDRE(8)給出來(lái)的區(qū)域(12)是NTV滑動(dòng)區(qū)域.

        3 帶NTV滑動(dòng)區(qū)域的VSC控制率

        通過(guò)前面的分析得知,當(dāng)時(shí)s2(x,t)<δ2(x,t),也就是在NTV滑動(dòng)區(qū)域(12)內(nèi)部時(shí),在VSC控制率控制之下,Lyapunov函數(shù)沿著SDLTV系統(tǒng)(2)的軌跡單調(diào)遞減.由此想到,可以設(shè)計(jì)一個(gè)帶NTV滑動(dòng)區(qū)域的VSC系統(tǒng),如SSC系統(tǒng),使得在此控制系統(tǒng)下,系統(tǒng)軌跡在最終時(shí)刻從滑動(dòng)區(qū)域外部轉(zhuǎn)移到滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)部,從而可以保證這個(gè)帶NTV滑動(dòng)區(qū)域(12)的VSC系統(tǒng)全局且二次穩(wěn)定.

        (14)

        可使系統(tǒng)軌跡最終進(jìn)去區(qū)域(12),從而保證系統(tǒng)全局二次穩(wěn)定.

        在16式中,k0(x,t)和ki(x,t)為正增益函數(shù)且滿足:

        k0(x,t)≥|β(x,t)|(q(x,t)‖x‖+p(t)+ε),?x∈Rn, ?t∈R+,

        ki(x,t)≥q(x,t)‖x‖+p(t),

        ?x∈Rn, ?t∈R+,

        其中,q(x,t)‖x‖+p(t)為描述在(3)中不確定性d(x,t)的界.ε為正常數(shù),函數(shù)α(x,t)和函數(shù)β(x,t)如下定義:

        (15)

        (16)

        同時(shí)假定函數(shù)β(x,t)∈R1可逆.

        證明首先我們假設(shè)初始狀態(tài)在NTV滑動(dòng)區(qū)域(12)之外.則SSC控制率表示為:

        u=-β-1(x,t)(α(x,t)+k0(x,t)sgn(s(x,t))).

        (17)

        在系統(tǒng)狀態(tài)還未進(jìn)去滑動(dòng)區(qū)域之前,系統(tǒng)使用此控制率.故:

        -2e|s(x,t)|<0, ?x?S(t).

        可以看出NTV函數(shù)s(x,t)的平方單調(diào)減少,即系統(tǒng)狀態(tài)將要最終進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域.

        而在滑動(dòng)區(qū)域之中時(shí),系統(tǒng)的控制輸入為:

        u=-ki(x,t)sgn(s(x,t)).

        在定理1中我們已經(jīng)給出,在此控制之下,Lyapunov函數(shù)沿著系統(tǒng)軌跡的微分滿足:

        綜上可以得到,對(duì)于SDLTV系統(tǒng)(2),SSC控制率(14)可以保證系統(tǒng)軌跡最終進(jìn)入滑動(dòng)區(qū)域,而在滑動(dòng)區(qū)域中,由于Lyapunov函數(shù)單調(diào)下降,故SDLTV系統(tǒng)(2)全局二次穩(wěn)定.

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