王俊龍

(上海師范大學(xué)中國(guó)傳統(tǒng)思想研究所,中國(guó) 上海 200234)

實(shí)數(shù)域R上的可除代數(shù)只能是實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域或四元數(shù)除環(huán)(Frobenius 1878)[1]．尚未有發(fā)現(xiàn)三元數(shù)的文獻(xiàn)報(bào)道或記載．已有三元數(shù)的研究有其名而無其實(shí)，比如，下列所謂的三元數(shù)[2]：M=aE+bJ+cK,其中J2=K，K2=J，JK=E．

顯然，復(fù)數(shù)不是這種“三元數(shù)”的子數(shù)系．是否存在一種三元數(shù)，以復(fù)數(shù)為其子數(shù)系？答案是肯定的．三元數(shù)具有不同尋常的性質(zhì)，因而難以發(fā)現(xiàn)．本文初步論述三元數(shù)及其性質(zhì)，關(guān)于三元數(shù)的發(fā)現(xiàn)則與集合的性質(zhì)有關(guān)，容另文發(fā)表．

1 三元數(shù)的存在

定理若S=a+bi+cφ為三元數(shù)，則i2=-1，φ2=-i，iφ=i+φ,其中a，b，c為實(shí)數(shù)．

證若S=a+bi+cφ構(gòu)成三元數(shù)，則其遵循加法和乘法運(yùn)算規(guī)則．設(shè)S=a+bi+cφ和S′=a′+b′i+c′φ是任意兩個(gè)三元數(shù)，那么，適用加法和乘法規(guī)則：

加法：S+S′=a+b+(a′+b′)i+(c+c′)φ．

其中，a+b是常元1的系數(shù)，a′+b′是虛元i的系數(shù)，c+c′是玄元φ的系數(shù)．三元數(shù)加法是對(duì)應(yīng)元系數(shù)相加．

乘法：S·S′=aa′-b′b+(ab′+a′b+c′b+b′c-c′c)i+(ac′+a′c+c′b+b′c)φ．

其中，aa′-b′b是常元1的系數(shù)，ab′+a′b+bc′+b′c-cc′是虛元i的系數(shù)，ac′+a′c+c′b+b′c是玄元φ的系數(shù)．

三元數(shù)關(guān)于上述加法和乘法是閉的．證畢．

2 三元數(shù)的性質(zhì)

三元數(shù)既有通常的代數(shù)性質(zhì)，又有不同尋常的數(shù)理性質(zhì)．

2.1 交換律

三元數(shù)加法和乘法遵循交換律．S+S′=S′+S，SS′=S′S．

2.2 分配律

三元數(shù)遵循乘法對(duì)加法分配律．SS′=a′S+b′Si+c′Sφ，kS=ka+kbi+kcφ．其中k為實(shí)數(shù)．

2.3 擴(kuò)展性

三元數(shù)a+bi+cφ是復(fù)數(shù)a+bi的擴(kuò)展．當(dāng)c=0，a+bi+cφ=a+bi．

2.4 三元數(shù)常用公式

三元數(shù)平方差公式：S2-S′2=(S+S′)(S-S′)

三元數(shù)平方公式：(a+bi+cφ)2=a2-b2+(2ab+2bc-c2)i+(2ac+2bc)φ．

2.5 關(guān)于消去律

設(shè)三元數(shù)：S1=-1+i+φ，S2=1-i+φ，S3=1+i+φ，S4=1+i-φ，不難得知上述4個(gè)三元數(shù)的平方值分別如下：

根據(jù)三元數(shù)平方差公式：S2-S′2=(S+S′)(S-S′)，不難得知

2.6 關(guān)于模法則

實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)遵守模法則，但是，三元數(shù)不遵守模法則．

2.7 關(guān)于方程

虛數(shù)i是方程x2+1=0的根，但是，虛元i和玄元φ不是一元二次方程的兩個(gè)根．換言之，盡管iφ=i+φ，但是，韋達(dá)定理對(duì)于i和φ不成立．

上述性質(zhì)6，7說明，三元數(shù)具有不同尋常的性質(zhì)，也是三元數(shù)不易被發(fā)現(xiàn)的原因．

參考文獻(xiàn)：

[1] 張廣祥.抽象代數(shù)──理論、問題與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006．

[2] 王詩(shī)杰.三元數(shù)概要[J].揚(yáng)州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2004,22(3)：10-13．