陳建蘭

(杭州電子科技大學理學院,浙江杭州310018)

0 引 言

B樣條、Bézier、C-Bézier、NURBS、圓弧等是計算機圖形學領域中常用的樣條曲線,廣泛用于自由型曲線曲面設計。其中C-Bézier樣條曲線具有形狀簡單、使用靈活等特點,在數(shù)控加工中,因為刀具路徑通常是由線段和圓弧組成的,所以大多數(shù)情況下需要將曲線轉換成為由圓弧與直線段組成的圓弧樣條進行表示,而后進行加工。為了提高效率,通常采用圓弧樣條。在當前研究中,用圓弧樣條對曲線進行逼近,主要分為單圓弧和雙圓弧兩種方法。就連接點處的連續(xù)性而言,單圓弧算法比雙圓弧算法的優(yōu)點是可以減少所使用的圓弧段數(shù),缺點是一旦初始頂點處的切線方向確定,整條圓弧樣條就完全唯一確定下來,因而缺乏靈活性。此外,單圓弧穩(wěn)定性不好,改動初始點或初始切向,整條曲線都要跟著變動,而雙圓弧方法則不存在這些缺點。給定兩個端點以及端點處對應的單位向量,可以用雙圓弧進行逼近[1-3]。本文采用雙圓弧對C-Bézier樣條曲線進行(分段)逼近,該方法的優(yōu)點主要是計算相對簡單且誤差小。

1 3次C-Bézier曲線的定義

3次C-Bézier曲線以sint,cost,t,1為基,代替?zhèn)鹘y(tǒng)的3次Bézier曲線的標準基 t3,t2,t,1,C-Bézier曲線包含一個控制參數(shù)α,0＜α≤π,該參數(shù)控制曲線的形狀,當α趨近于0時,C-Bézier曲線的極限為Bézier曲線[4]。

1.1 3次C-Bézier曲線用多項式來表示

1.2 C-Bézier曲線的性質

(1)基函數(shù)的正性與權性:Zj(t)＞0,(j=0,1,2,3);Z0(t)+Z1(t)+Z2(t)+Z3(t)≡1。(2)端點屬性:1)端點位置Bα(0)=q0,Bα(α)=q3;2)端點切矢量)端點曲率向量;式中(3)幾何不變性:幾何性質不隨坐標變化而變化的性質,曲線的形狀獨立于坐標的選擇。(4)保凸性:如果控制多邊形是凸的多邊形,則C-Bézier曲線也是凸的。

2 雙圓弧的確定

2.1 雙圓弧

雙圓弧[1]的定義為:給定不同的兩個點P1和P2,以及在點P1處的單位向量和在點P2處的單位向量,設圓弧C1和C2滿足下列條件:

(1)C1以P1為起點,且在起點處的單位切向量為;(2)C2以P2為終點,且在終點處的單位切向量為;(3)C1的終點C是C2的起點;(4)C1和C2在C點處具有共同的單位切向量。則由圓弧C1和C2共同組成的曲線段稱為雙圓弧,點C稱為雙圓弧的連接點(公切點)。

用雙圓弧逼近C-Bézier樣條曲線的方法為:用于逼近的雙圓弧的兩個端點及其單位向量相對應C-Bézier樣條曲線段的兩個端點及其單位向量,并且雙圓弧在連接點處光滑相切。

2.2 連接點的選擇

從雙圓弧的定義可知確定雙圓弧需要6個條件,而雙圓弧逼近方法中包含只有5個條件,所以還需要一個約束條件,才能確定雙圓弧的連接點。因雙圓弧的連接點的軌跡是一個圓[4],在這個軌跡圓上選擇一個連接點的方法有無限多種,所以選擇合適的連接點將直接影響到逼近光順性和逼近效果。一般在進行3次樣條雙圓弧逼近時,把雙圓弧的連接點的軌跡圓與樣條的交點作為雙圓弧的連接點(因交點一定存在),該方法的優(yōu)點是計算簡單,而且逼近誤差小。

因3次C-Bézier曲線帶著參數(shù)α,軌跡圓與C-Bézier曲線的交點不一定存在。本文采用軌跡圓與C-Bézier曲線的距離最近的點作為連接點,此法計算較為簡單,逼近誤差較小,光順性好。

2.3 算法

雙圓弧逼近3次C-Bézier曲線的算法描述如下:

輸入一條3次C-Bézier曲線,它有4個控制點q0,q1,q2,q3,參數(shù)α0(0＜α0＜π),記 q0處的單位切向

輸出逼近C-Bézier曲線的雙圓弧。

步驟 1 求 C-Bézier曲線 Bα(t)=Z0(t)q0+Z1(t)q1+Z2(t)q2+Z3(t)q3;

步驟2 求公切點C;

設公切L線交q0q1的連線于Q1,交q2q3的連線于Q2,記|q0Q1|=a(設a為參數(shù)0≤a≤|q0q1|),|q3Q2|=b,則Q1=q0+a?e→1,Q2=q3-b?e→2,且由|Q1Q2|=a+b 解出 b(b 含參數(shù) a,用數(shù)學軟件 Matlab 解b),得公切點

計算公切點C到C-Bézier曲線的距離dα=|C-Bα(t)|,并求出有最小距離的C(即設為連接點);

步驟 3 設雙圓弧 C1和 C2的圓心為 O1和 O2,半徑為 R1和 R2,則由雙圓弧的定義得可解得O1和O2,并得半徑 R1=|O1q0|,R2=|O2q3|;

步驟4 雙圓弧C1和C2逼近C-Bézier曲線時,多用法向誤差e=max(||O1-Bα(t)|-R1|,||O2-Bα(t)|-R2|);

步驟5 若誤差e大于給定值,則對C-Bézier曲線分段重新處理,即返回步驟2。

3 實 例

給定一條3次C-Bézier曲線,其控制頂點為q0=(0,0),q1=(0.3,0.5),q2=(0.7,0.5),q3=(1,0),形狀控制參數(shù)α=1;用雙圓弧逼近此3次C-Bézier曲線,給定誤差e≤0.01。經(jīng)Matlab編程,不用分段,計算得公切C點中的a=0.583,b=0.290;公切點坐標為C=(0.332,0.332),雙圓弧的圓心坐標為O1=(0.724,-0.434),O2=(0.619,-0.229),雙圓弧的半徑R1=0.844,R2=0.445;逼近的最大誤差e=0.009。從實例的計算中可以看出,在一定的誤差要求下,可以用雙圓弧逼近C-Bézier曲線。

4 結束語

本文用雙圓弧對C-Bézier曲線進行逼近,結果表明在允許誤差內雙圓弧是局部存在的。此法可推廣到其它曲線的逼近,在數(shù)控加工及工程圖紙的繪制中有一定的實際和應用價值。

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