黃 霞

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)研究所,浙江杭州310018)

0 引 言

頻率分析問題研究的是通過一組已知的離散時(shí)間信號(hào)值{x(m)}∞-∞定出未知的頻率的近似值[1-6]。近幾年,一些學(xué)者繼續(xù)研究此類問題,插入一個(gè)正的權(quán)因子cm[7](滿足一定條件),對(duì)ΨN(θ)的定義作了進(jìn)一步的推廣。本文給出測(cè)度的一種新的定義形式,研究此測(cè)度的弱*收斂性,從而由與之相關(guān)的Szeg?多項(xiàng)式序列的零點(diǎn)的性質(zhì)得出原有頻率的近似估計(jì)等問題。

1 信號(hào)測(cè)度的弱*收斂性

定義1

為此,選擇ε＞0,使得當(dāng)j≠s時(shí),ωj?[ωs-ε,ωs+ε]。dθ,在式 2中考慮 j=k=s一項(xiàng),有(ei(ωs),,對(duì)于其他項(xiàng):j≠s,k≠s時(shí)誤差為),j=s或k=s時(shí)誤差為)。因此

從式2可得出對(duì)充分大的N:

證明 由定義:

利用阿貝耳變換:

將式7和8代入式6中處理可得結(jié)論。

2 Szeg?多項(xiàng)式的零點(diǎn)逼近信號(hào)頻率

依據(jù)分布矩量作出Szeg?多項(xiàng)式序列。

關(guān)于分布dΨ(θ)的首項(xiàng)系數(shù)為一的正交多項(xiàng)式可以寫成:

Φn(z)=,n=1,2,…,2I+1。與此類似可定義關(guān)于dθ)的首項(xiàng)系數(shù)為一的正交多項(xiàng)式(z),就是 Φn(z)里用代替uk得到的多項(xiàng)式。

證明 由定義2和定理2可得對(duì)每個(gè)固定的n≥1,當(dāng)N→∞時(shí)有

引理2 Q(≠0)表示零點(diǎn)位于|z|＜1的任一多項(xiàng)式,如果λ∈C,滿足|λ|＜1,則多項(xiàng)式T(z)[8]有:

式9的零點(diǎn)位于|z|＜1上。其中Q*(z)=znQ(1/)稱其為Q(z)的逆多項(xiàng)式。

證明 運(yùn)用反證法

假設(shè)有一點(diǎn)z0,使得 T(z0)=0且|z0|≥1,由式 9,有|z0Q(z0)|=|λQ*(z0)|,|z0|=|λQ*(z0)/Q(z0)|≤|λ|＜1,與假設(shè)矛盾。

定理4 假設(shè)α0＞0,則對(duì)固定的n≥2I+1,當(dāng)N→∞時(shí),(z)的2I+1個(gè)零點(diǎn)(合適的順序)的最大模接近點(diǎn)eiωj,-I≤j≤I。

式中,Qn-2I-1(z)是一個(gè)n-2I-1次的首項(xiàng)系數(shù)為一的多項(xiàng)式,其零點(diǎn)都位于圓盤|z|＜1上。

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

n=2I+1的情況如定理3所述。假設(shè)n=t(＞2I+1)時(shí)結(jié)論是成立的,由已知(z)的逆多項(xiàng)式。不失一般性,考慮子序列當(dāng)k→∞時(shí)(z)∈Pt,Pt表示t次多項(xiàng)式的集合。由式9可得 R(z)=z S(z)+δt+1S*(z)。由歸納假設(shè) S(z)=Q(z)Φ2I+1(z),Q(z)是 t-2I-1次首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,則式9可寫成 R(z)=zΦ2I+1(z)Q(z)+δt+11(z)Q*(z)=Φ2I+1(z)Q(z)+δt+1Φ*(z),這里利用Φ2I+1(z)=1(z),結(jié)合引理2得到了結(jié)論。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過上述討論可得:頻率分析問題中的Szeg?多項(xiàng)式的次數(shù)若嚴(yán)格小于臨界點(diǎn)eiωj的個(gè)數(shù),則不能解決問題。換言之,多項(xiàng)式的次數(shù)須大于(或等于)臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù)方可。

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