高 瑋,洪世煌

(杭州電子科技大學理學院,浙江杭州310018)

0 引 言

符號模式矩陣是指元素取自集合{+,-,0}的矩陣,簡稱符號模式。對于給定實矩陣B=(bij),由bij的符號為元素所組成的矩陣稱為B的符號模式,記為sgn B。用Qn表示全體n階符號模式組成的集合。對任意A∈Qn,所有與A有相同符號模式的實矩陣組成的集合{B|sgn B=A}稱為A所決定的定性矩陣類,記為Q(A)。一個實矩陣B是冪零的是指對某個正整數(shù)k,有Bk=0,即B的特征多項式為g(x)=xn。若存在實矩陣B∈Q(A)是冪零的,則稱符號模式A蘊含冪零。將符號模式A中的某些非零元用零代替后得到的符號模式稱為A的子模式,也稱A為的母模式。每個符號模式都是其自身的母模式和子模式。如果對任意一個n次首項系數(shù)為1的實系數(shù)多項式g(x),在n階符號模式A的定性矩陣類Q(A)中至少存在一個實矩陣B,使得B的特征多項式為g(x),則稱A為譜任意符號模式。如果一個譜任意符號模式的任意非零元被零取代后所得到的符號模式不是譜任意的,則稱該譜任意符號模式為極小譜任意符號模式。譜任意符號模式一定是蘊含冪零的。研究譜任意符號模式矩陣的問題最早出現(xiàn)在文獻1中,該文基于隱函數(shù)存在定理,給出了證明一個符號模式和它的所有母模式都是譜任意的方法(見下面引理1)。文獻2給出了第一個n≥2階譜任意符號模式,文獻3-5等分別給出了一些譜任意符號模式。目前,尋找非零元個數(shù)最小的譜任意符號模式仍然是符號模式矩陣研究中一個重要的問題。本文運用冪零—雅可比方法給出了一類n≥4階極小譜任意符號模式矩陣。

1 冪零—雅可比方法

設(shè)x1,…,xn是n個變量,fi是關(guān)于x1,…,xn的函數(shù)(i=1,2,…,n),且對于所有的i,j∈{1,…,n},都存在。雅可比行列式是一個n階行列式,它的(i,j)元素為(1≤i,j≤n)。

引理1 設(shè)A是階符號模式,存在B=(bij)∈Q(A)為冪零矩陣,且B中至少有n個非零元,記為…,binjn。用變量x1,…,xn,替換B中這n個非零元得到的矩陣記為X,并設(shè)X的特征多項式為gx(x)=det(xI-X)=xn+f1xn-1+…+fn-1x+fn。若雅可比行列式在冪零點(x1,…,xn)=(bi1j1,…,binjn)處不等于零,則A的任意母模式都是譜任意的[1,3]。

上述引理所給出的方法稱為冪零—雅可比方法。

2 主要結(jié)果

本文討論下面一n類階符號模式矩陣A(其中n≥4且1≤k≤n-3):

取實矩陣B∈Q(A)有如下形式(其中ai＞0,i=1,2,…,n):

引理2 設(shè) gB(x)=det(xI-B)=xn+f1xn-1+…+fn-1x+fn,則:

(1)f1=1-a1,

f2=a2an-a1,

fi=aian-a1ai-1an,i=3,4,…,k+1(k≥2),

fk+2=ak+2-a1ak+1an(k≤n-4),

fi=(-1)k+i+2(ai-ai-1),i=k+3,k+4,…,n-2(k≤n-5),

f n-1=(-1)n+k(an-2-an-1-an)(如果k=n-3,f n-1=-a1 an-2 an+an-1+an),

fn=(-1)n+k+1(an-1-a1an);

證明 (1)將行列式det(xI-B)按最后一行展開,得:

經(jīng)整理得(1)成立。

將上式按第一行展開,然后依次將第i行的a1倍加到第i+1行,i=1,2,…,k,再分別按第1,2,…,k列展開,得當k=n-3時,類似可得

引理得證。

定理1 對于n≥4且1≤k≤n-3,A的所有母模式都是譜任意的。

證明 當b1=1,b2=…=bk+1=2,bk+2=…=時,由引理2(1)可知,B為冪零矩陣,故符號模式矩陣A蘊含冪零,再由引理2(2),(a1+1)≠0。因此,引理1說明了A的所有母模式都是譜任意的。

定理得證。

定理2 對于n≥4且1≤k≤n-3,A為極小譜任意符號模式矩陣。

證明 設(shè)S=(si,j)是A的一個子模式,且為譜任意的。

(1)s1,1≠0,sn,n≠0。否則Q(S)中所有矩陣的跡恒為負或恒為正,與S為譜任意相矛盾。

(2)s1,1≠0,否則Q(S)中所有矩陣均為非奇異矩陣,與為譜任意相矛盾。

(3)si,i+1≠0(i=2,…,n-1),否則Q(S)中所有矩陣均為奇異矩陣,也S與為譜任意矛盾。

(4)因為S是譜任意的,則必存在B∈Q(S)是冪零矩陣。因?qū)θ我獬?shù)c＞0,cB∈Q(S)且cB也是冪零矩陣,又相似矩陣有相同的特征多項式,故不妨設(shè)B有形式(2)。由引理2(1)中的f1=f2=…=fn=0可知ai≠0(i=1,2,…,n),從而 si,n≠0(i=1,2,…,k+1),si,1≠0(i=k+2,…,n-1),sn,2≠0。

綜合上述討論知S=A,即A為極小譜任意符號模式矩陣。

定理得證。

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