● (紹興市高級(jí)中學(xué) 浙江紹興 312000)

“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”問(wèn)題串設(shè)計(jì)賞析

●封幸力(紹興市高級(jí)中學(xué) 浙江紹興 312000)

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題，往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”．“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問(wèn)題和解”，如何有效地設(shè)計(jì)問(wèn)題串以引起學(xué)生的思考，是保證課堂教學(xué)有效性的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師與學(xué)生的雙邊活動(dòng)往往圍繞大量的問(wèn)題而展開(kāi)．問(wèn)題串的合理設(shè)計(jì)能更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力，使數(shù)學(xué)的心臟跳動(dòng)得更加正常.本文以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)內(nèi)容為例說(shuō)明數(shù)學(xué)課問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，供大家評(píng)析.

1 探究環(huán)節(jié)

問(wèn)題1觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖像(如圖1)，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn).計(jì)算f(-2)與f(1)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積有什么特點(diǎn)呢？

圖1

問(wèn)題2函數(shù)f(x)=x2-2x-3在(-2，1)內(nèi)有零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題3在區(qū)間(2，4)內(nèi)呢？

問(wèn)題4這個(gè)函數(shù)符合某些特征.我們把它抽象成一般的結(jié)論，對(duì)于一般的函數(shù)f(x)，需要滿足什么條件，它在某個(gè)區(qū)間上才有零點(diǎn)呢？

(學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如果區(qū)間2個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的乘積小于0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).)

問(wèn)題5這個(gè)條件夠嗎？

圖2

(學(xué)生一頭霧水，教師在黑板上畫(huà)出一幅圖(如圖2).)

問(wèn)題6如圖2所示的函數(shù)在區(qū)間(0，5)上有零點(diǎn)嗎？

(引起學(xué)生思維撞擊.)

問(wèn)題7(追問(wèn))為什么呢？

(學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)因?yàn)閳D像不是連續(xù)的曲線.)

問(wèn)題8需要幾個(gè)條件才能判斷函數(shù)存在零點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖在探究過(guò)程中，教師始終強(qiáng)調(diào)“區(qū)間”這2個(gè)字，讓學(xué)生明白函數(shù)零點(diǎn)是在某個(gè)區(qū)間上取的.通過(guò)類比得出零點(diǎn)存在性定理，讓學(xué)生體會(huì)研究性學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

2 辨析環(huán)節(jié)

在學(xué)生歸納出函數(shù)零點(diǎn)的存在定理后，讓學(xué)生談?wù)勧槍?duì)此結(jié)論有什么疑問(wèn)或想法.

問(wèn)題1如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題2這也說(shuō)明了函數(shù)圖像要連續(xù),那么函數(shù)圖像不是連續(xù)不斷的，函數(shù)就沒(méi)有零點(diǎn)了嗎？

問(wèn)題3如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，那么當(dāng)f(a)·f(b)>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題4當(dāng)f(a)·f(b)>0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題5當(dāng)f(a)·f(b)>0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有時(shí)有零點(diǎn)，有時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)，那么它能作為判斷函數(shù)零點(diǎn)的條件嗎？

問(wèn)題6如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，那么一定有f(a)·f(b)<0嗎？

通過(guò)以上的討論說(shuō)明了函數(shù)在區(qū)間(a,b)上“圖像連續(xù)不斷”和“f(a)·f(b)<0”是判斷函數(shù)有零點(diǎn)的2個(gè)條件.

問(wèn)題7滿足這2個(gè)條件時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有1個(gè)零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題8增加什么條件可以確定函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有1個(gè)零點(diǎn)？

通過(guò)這組問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)”，這句話是正確的，我們把它作為判斷函數(shù)有零點(diǎn)的一個(gè)定理.定理中要明確2個(gè)條件：連續(xù)和異號(hào).因?yàn)樵摱ɡ碇荒芘袛嘤辛泓c(diǎn)，判斷不了有幾個(gè)零點(diǎn)，所以這僅僅是函數(shù)零點(diǎn)“存在性”定理.

設(shè)計(jì)意圖在這個(gè)環(huán)節(jié)中，問(wèn)題串串相接，步步深入.在得出定理的內(nèi)容后，進(jìn)一步挖掘定理，深入理解定理的內(nèi)涵.教師的提問(wèn)也是學(xué)生心中的疑問(wèn).在實(shí)踐過(guò)程中由學(xué)生進(jìn)行歸納、類比回答，讓學(xué)生充分體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程.在這個(gè)環(huán)節(jié)中可以引導(dǎo)學(xué)生積極思考，創(chuàng)設(shè)一種活躍的課堂氣氛.

以問(wèn)題串的形式設(shè)計(jì)課堂能夠使學(xué)生積極參與、自主學(xué)習(xí).在這樣的課堂教學(xué)中，學(xué)生既獨(dú)立自主，又互相協(xié)作，求知的欲望被不斷激活，探索的勇氣在不斷增強(qiáng).一堂課是綜合藝術(shù)的展現(xiàn)，是預(yù)設(shè)與生成的交融，也是師生共同探索、一起進(jìn)步的平臺(tái).課堂不是教師個(gè)人的舞臺(tái)，不能只展示教師的個(gè)人風(fēng)采，教師的角色更像是導(dǎo)演，學(xué)生才是演員，才是課堂的主人.要多角度地展現(xiàn)學(xué)生的思維，讓學(xué)生自己舉例、解疑.教師的作用主要體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)和調(diào)控上.正如波利亞所說(shuō)：“學(xué)生的數(shù)學(xué)思想只能在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，而教師只能起到一個(gè)‘助產(chǎn)婆’的作用”.

美國(guó)心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過(guò)程是一種提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的持續(xù)不斷的活動(dòng)，思維永遠(yuǎn)是從問(wèn)題開(kāi)始的”.在課堂教學(xué)中，我們要以問(wèn)題貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生在設(shè)問(wèn)和釋問(wèn)的過(guò)程中萌生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和欲望，逐漸養(yǎng)成思考問(wèn)題的習(xí)慣，并在實(shí)踐中不斷優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在教學(xué)中要開(kāi)展問(wèn)題式教學(xué)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容編寫(xiě)“問(wèn)題串”.問(wèn)題串的設(shè)計(jì)是將知識(shí)或內(nèi)容問(wèn)題化，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要由淺入深、由易到難，讓學(xué)生層層深入，循序漸進(jìn)，觸類旁通.問(wèn)題串的設(shè)計(jì)能使課堂學(xué)習(xí)更精彩，“數(shù)學(xué)心臟跳動(dòng)得更健康”，教學(xué)效果更顯著.