● (通州高級中學 江蘇通州 226300)

從一道聯(lián)賽題談導數(shù)零點的3類特殊求解策略

●張春明(通州高級中學 江蘇通州 226300)

2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試中有這樣一道函數(shù)題：

聯(lián)賽組委會提供的標準答案是巧妙構(gòu)造系數(shù)，利用柯西不等式求解.解答思路盡管精妙，但技巧強、入口窄.其實，還可以利用導數(shù)的方法求解，無需太多技巧就可以解決.

解易求定義域為[0,13]，且

導數(shù)是研究函數(shù)最值的一個強有力工具.上述解題過程符合高中生的思維習慣，入手容易，運算簡單.難點在于求導函數(shù)y′=g(x)=0的零點，常規(guī)代數(shù)解法在這里并不實際，敏銳的“觀察力”成為解題的關(guān)鍵.反思高中數(shù)學中導數(shù)零點的求法，有如下3種較為困難且比較特殊的題型，值得細細品味.

1 零點觀察型

已知導數(shù)的零點或符號能看出，但利用高中代數(shù)方法無法求解.

圖1

解由g(x)=0,得

即

點評導數(shù)易求，零點難得，唯“觀察”是破解的最優(yōu)途徑.

2 “再次求導”型

這里所講的“再次求導”有別于二階導數(shù).“再次求導”是對一階導數(shù)的局部進行二次求導，目的是通過二次求導后的函數(shù)的符號變化，判斷原函數(shù)的單調(diào)性情況.

(2009年上海市數(shù)學高考理科試題)

解法1(適宜填空題)數(shù)形結(jié)合，略.

解法2(適宜解答題)

(1)當x=0時，命題顯然成立.

得

g′(α)=-αsinα<0.

g(α)

即

f′(x)<0,

因此f(x)在區(qū)間(0，1]上單調(diào)遞減,得

f(x)≥f(1)=1，

故

k≤1.

點評解法2更具一般性.利用“二次求導”挖出零點，進而實現(xiàn)單調(diào)性的判斷.

3 整合重組型

此法常見于利用構(gòu)造法證明不等式的題型中.當直接構(gòu)造的函數(shù)難以求得零點時，可以整合重組函數(shù)表達式，重組的目標是利于求得新函數(shù)的零點.

思路1直接構(gòu)造.令

則

思路2可以適當考慮適度重組整合.

嘗試途徑1過程表明,此路仍然被卡在零點的得到上，難以奏效(不妨一試).

h′(x)=1+lnx,

q(x)最大=q(1)=0.

由于h(x)的最小值點與q(x)的最大值點并不相等，因此q(x)

點評“變”的巧，故“求”的簡單.2條重組途徑看似差異不大，甚至粗看上去途徑1更簡單，但操作下來卻相去甚遠.這說明在重組的過程中，要敢于嘗試，大膽變形.要選擇適合的方案，多想一點，就少算一點.

求導數(shù)零點是判斷函數(shù)性質(zhì)的前提，文中所提到的3種導數(shù)零點的特殊求解策略是高中數(shù)學中的難點，也是高考中的熱點.深刻理解和熟練掌握,以期發(fā)揮導數(shù)更大的功能！