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        一個圖形的演變與推廣

        2010-11-23 02:36:32杭州外國語學(xué)校浙江杭州310024

        ● (杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310024)

        一個圖形的演變與推廣

        ●吳鋒刃(杭州外國語學(xué)校 浙江杭州 310024)

        幾何圖形變幻莫測,一個個精美的結(jié)論更是賞心悅目,幾何思維獨特且具有豐富內(nèi)涵,分析綜合法、定性推導(dǎo)和定量計算使我們感受證法的曲折離奇;一題多解,各種證法層出不窮、千姿百態(tài);類比聯(lián)想、加深推廣,讓人體會到碩果累累,美不勝收.本文將從欣賞數(shù)學(xué)的視角,從一個學(xué)生熟悉的圖形開始入手,探討一些幾何題之間的縱橫聯(lián)系,由表及里加深認識、推廣,以期能鍛煉大家的幾何思維、感受幾何的獨特魅力.

        1 圖形的基點梳理

        如圖1,PA,PB切圓于點A,B,OP交AB于點M,PEF為割線,延長EM交圓于點G,很容易獲得以下熟悉的結(jié)論:

        圖1

        圖2

        結(jié)論1O,G,P,E四點共圓,O,M,E,F(xiàn)四點共圓.

        由OM·MP=AM2=ME·MG和PE·PF=PA2=PM·PO可得.

        結(jié)論2PM平分∠EPG,MA平分∠EMF.

        由點O,G,P,E共圓,得

        ∠EPM=∠OGM=∠OEM=∠GPM.

        由點O,M,E,F共圓,得

        ∠EMP=∠OFE=∠OEF=∠OMF.

        結(jié)論3MP與圓的交點H是△PEG的內(nèi)心.

        結(jié)論4圓上任意一點E滿足EM∶EP=AM∶AP(Apollonius circle).

        由結(jié)論3可得EH平分∠MEP,從而

        故動點E在M,P確定的Apollonius circle上面.

        2 圖形的縱向思考

        (2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

        分析由結(jié)論2可知,MK平分∠FME.又OP⊥AB,可得MP為∠FME的外角平分線,從而

        于是

        亦稱點P,K調(diào)和分割線段EF.

        當且僅當a=b時等號成立.

        思考2如圖3,過圓外一點P向圓作2條切線,切點為A,B,過點P作割線PEF,PCD,F(xiàn)C和ED交AB于點M,過PM作割線PST,求證:

        (1997年中國數(shù)學(xué)競賽試題)

        圖3

        圖4

        例1如圖4,H為銳角三角形PBC的垂心,由點P向以BC為直徑的圓作切線,切點為E,F(xiàn),求證:點E,H,F(xiàn)共線.

        (1996年中國數(shù)學(xué)競賽試題)

        顯然,這是思考2問題中的一個特殊情形.

        圖5

        圖6

        思考3如圖5,P是△ABC內(nèi)一點,D,E分別是△APB和△APC的內(nèi)心,且AP,BD,CE相交于一點,證明:∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC.

        (第37屆IMO試題改編)

        ∠PAB+∠PCB=∠PAC+∠PBC,

        ∠PBC-∠PCB=∠PAB-∠PAC.

        而由結(jié)論1和結(jié)論2,可知∠PCB=∠OPB,即

        ∠PBC-∠PCB=∠POB=2∠PAK.

        由結(jié)論4可知AK平分∠BAC,從而

        ∠PAB-∠PAC=2∠PAK,

        故結(jié)論成立.

        思考4如圖7,E,F(xiàn),G,H是圓O上的4個點,F(xiàn)E,HG交于點P,F(xiàn)H,EG交于點Q,過點P作圓O的2條切線,切點為R,S,則點Q,S,M,R共線.

        而由塞瓦定理和梅氏定理可得

        因此P,K調(diào)和分割線段EF(注意這一結(jié)論的證明與圓O無關(guān).對于一般四邊形,只要FE,HG交于點P,F(xiàn)H,EG交于點Q即可),點K在SR上.同理可證點K′也在SR上,從而點Q,S,M,R共線.

        進一步很容易發(fā)現(xiàn),點O為△PMQ的垂心(證明略).

        圖7

        圖8

        3 圖形的推廣嘗試

        嘗試1圖7中除點P,K調(diào)和分割線段EF外,還有點Q,M調(diào)和分割線段SR(思考2已證明),Q,M調(diào)和分割線段KK′,且E,F,G,H這4點共圓這一條件也并非必須.即:如圖8,有以下結(jié)論:G,M調(diào)和分割線段BA(這一結(jié)論圖7中已經(jīng)給出),F(xiàn),E調(diào)和分割線段MN,或表述為

        嘗試2如圖9,E,F(xiàn),G,H是圓O上的4個點,F(xiàn)E,HG交于點P,過點P作圓O的割線分別交圓O于點L,M,分別交對角線EH,F(xiàn)G于點S,T,交EG,F(xiàn)H于點Q,C,則

        圖9

        圖10

        因此

        以上3個結(jié)論的等式若采用解析法證明,則更為簡便,可將與圓的交點、與四邊形對角線的交點、與四邊形的兩邊的交點歸結(jié)為同一問題.證明如下:

        x2+y2-1+λ(y-k1x+k1a)(y-k2x+k2a)=0.

        它既可表示對角線所在的曲線方程,又可表示邊所在的曲線方程.設(shè)割線PLM的方程為y=k(x-a),聯(lián)立后得

        亦即

        -a2(x1+x2)+2ax1x2=-2a+x1+x2,

        代入x1+x2和x1x2驗證即得所證命題成立.

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