● (慈溪中學 浙江慈溪 315300)

聚焦高等數(shù)學知識背景審視高考數(shù)學創(chuàng)新題型

●史利明(慈溪中學 浙江慈溪 315300)

怎樣使學生從高考復習的題海戰(zhàn)術中走出來？怎樣使高三后期復習更有針對性和實效性？筆者認為最有效的辦法是：研究高考試題！縱觀近幾年的高考數(shù)學試題，不難發(fā)現(xiàn)其中有許多題目涉及的內(nèi)容都不在高中課本中，而是以高等數(shù)學中的有關知識點為平臺，考查學生的自主學習能力.因此“聚焦高等數(shù)學知識背景，審視高考數(shù)學創(chuàng)新題型”顯得尤為重要.本文從幾個高考試題中用到的高等數(shù)學知識談起，以期對大家有所啟發(fā).

1 數(shù)學分析中的若干定理與高考解答題

例1設函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)，其中常數(shù)m為整數(shù).

(1)當m為何值時，f(x)≥0.

(2)定理：若函數(shù)g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0∈(a,b),使得g(x0)=0.試用上述定理證明：當整數(shù)m>1時，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有2個實根.

(2004年廣東省數(shù)學高考試題)

分析(1)略.

(2)本題以高等數(shù)學的定理作為依托,融于初等數(shù)學知識中.此類題目的設計雖來源于高等數(shù)學，但一般起點高、落點低.由第(1)小題知，當整數(shù)m>1時，

f(1-m)=1-m<0，

函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)在[e-m-m,1-m]上為連續(xù)減函數(shù),因此

f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=

e-m>0.

于是f(e-m-m)與f(1-m)異號.由所給定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m,1-m)，使得f(x1)=0.類似地，

f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>

因此函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e-m-m]上為連續(xù)增函數(shù),且f(1-m)與f(e2m-m)異號.由所給定理知，存在唯一的x2∈[1-m,e-m-m],使得f(x2)=0.故當m>1時，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有2個實根.

這道題目充分考查了考生的閱讀理解能力、知識整合能力、分析問題和解決問題的能力.試題展示給考生較大的思維空間，有效地甄別了學生的能力，體現(xiàn)了新課標中的主動探究和自主建構的特色.2006年浙江省數(shù)學高考理科試題第22題也是此類題型.

介值定理設函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在此區(qū)間內(nèi)必有最大、最小值：f(x)min=A，f(x)max=B，且A≠B.不論C是A與B之間的怎樣一個數(shù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ

(2)當a>4時，|f′(x1)-f′(x2)|>|x1-x2|．

(2006年四川省數(shù)學高考試題)

由

(1)

可得

(2)

因為a≤0，所以

(3)

由式(1)，式(2)，式(3),得

即

該試題背景新穎、公平，視角獨特，能有效地考查學生進一步進入高校學習的潛能.在近幾年全國各地的數(shù)學高考試題中，以函數(shù)凹凸性為背景的試題不少，譬如1995年全國數(shù)學高考試題第22題，2001年全國數(shù)學高考試題第22題，2005年湖北省數(shù)學高考試題第6題；2006年四川省數(shù)學高考試題第22題等測試的都是函數(shù)的凹凸性.

函數(shù)的凹凸性設函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(a，b)上的任意2個點x1,x2，恒有：

圖1

圖2

幾何特征凹函數(shù)的圖像如圖1所示,凸函數(shù)的圖像如圖2所示.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;

(2009年遼寧省數(shù)學高考試題)

分析第(1)小題測試了導數(shù)和分類討論的思想方法，第(2)小題具有高等數(shù)學中的拉格朗日中值定理的背景.考慮函數(shù)

g(x)=f(x)+x=

由10，即g(x)在(4,+∞)上單調增加，從而當x1>x2>0時,

g(x1)-g(x2)>0，

即

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

于是

當0

此題的設計雖來源于高等數(shù)學，但起點高、落點低，其解決方法還是中學所學的初等數(shù)學知識，較易突破.這類試題可以多角度、多觀點地考查學生基本的數(shù)學素養(yǎng)，有層次地深入了解數(shù)學理性思維和進一步深造的潛能.譬如2006年廣東省數(shù)學高考試題和四川省數(shù)學高考壓軸題都有拉格朗日中值定理的背景.

拉格朗日中值定理若函數(shù)y=f(x)滿足：(1)在[a，b]上連續(xù)，(2)在(a，b)上可導,則在(a，b)上至少存在一點c,使得f(b)-f(a)=f(ζ)(b-a)成立.

2 線性代數(shù)中的若干定義與高考選擇填空題

例4非空集合G關于運算⊕滿足：(1)對任意的a,b∈G,都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,則稱G關于運算⊕為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運算：

①G={非負整數(shù)},⊕為整數(shù)的加法;

②G={偶數(shù)},⊕為整數(shù)的乘法;

③G={平面向量},⊕為平面向量的加法;

④G={二次三項式},⊕為多項式的加法;

⑤G={虛數(shù)},⊕為復數(shù)的乘法.

其中G關于運算⊕為“融洽集”的是________(寫出所有“融洽集”).

(2006年四川省數(shù)學高考試題)

分析該題以近世代數(shù)中群的定義為背景，給出了一個新的概念“融洽集”,是考查學生閱讀理解、知識遷移的創(chuàng)新型試題．①G={非負整數(shù)},⊕為整數(shù)的加法.滿足任意a,b∈G，都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，所以①符合要求；②G={偶數(shù)},⊕為整數(shù)的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，則e=1，矛盾，因此②不符合要求；③G={平面向量},⊕為平面向量的加法，取e=0，滿足要求，于是③符合要求；④G={二次三項式},⊕為多項式的加法，2個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，從而④不符合要求；⑤G={虛數(shù)},⊕為復數(shù)的乘法，2個虛數(shù)相乘得到的可能是實數(shù)，于是⑤不符合要求.這樣G關于運算⊕為“融洽集”的有①,③.

此題所涉及的運算都是高中階段的基本運算，解答此題的運算量不大，無需特殊的技巧，弄清題意后心算就可作答，確實是個好題.

線性代數(shù)群的概念設有一個集合G,其中的元素用a,b,…表示.假設在集合G內(nèi)有一種運算,記為“°”:對G內(nèi)的任意2個元素x和y,x°y仍然是G中的元素,即在G中運算“°”是可行的.如果集合G和運算“°”還滿足以下性質,我們就稱G為一個群:

(1)G不是一個空集,即G內(nèi)至少含有一個元素;

(2)結合律成立:即對任何元素a,b,c,恒有a°(b°c)=(a°b)°c;

(3)有單位元素存在，即G中有一個元素e有如下的性質:對任何a∈G,恒有e°a=a;

(4)對任何a∈G,在G中有一個元素a-1,稱為a的逆元,使a-1°a=e.

(2008年福建省數(shù)學高考試題)

2x=x+x∈P，3x=2x+x∈P，

也就是說x的整數(shù)倍都是屬于P的，且x不為0，有無限個整數(shù)，所以P的個數(shù)是無限的.

數(shù)域概念設K是某些復數(shù)所組成的集合.如果K中至少包含2個不同的復數(shù)，且K對復數(shù)的加、減、乘、除四則運算是封閉的，即對K內(nèi)任意2個數(shù)a,b(a可以等于b)，必有a±b∈K，ab∈K,且當b≠0時，a/b∈K,則稱K為一個數(shù)域.

例6設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f:，V→V,a∈V,記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足：對所有a,b∈V及任意實數(shù)λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，則f稱為平面M上的線性變換.現(xiàn)有下列命題：

①設f是平面M上的線性變換，則f(0)=0;

②對a∈V,設f(a)=2a，則f是平面M上的線性變換；

③若e是平面M上的單位向量，對a∈V設f(a)=a-e，則f是平面M上的線性變換；

④設f是平面M上的線性變換，a,b∈V，若a,b共線，則f(a),f(b)也共線.

其中真命題是________(寫出所有真命題的序號).

(2009年四川省數(shù)學高考試題)

分析本題在現(xiàn)有高中數(shù)學的基礎上，結合了高等數(shù)學背景，同時結合集合、映射及平面向量等基礎知識，給出一個新的概念.主要考查學生的閱讀理解及推理論證能力，有利于考查考生進一步學習高等數(shù)學的能力及數(shù)學潛質.

①令a=b=0，由題意得

f(0)=2f(0),

即

f(0)=0,

因此命題①正確；

②由題意得

f(λa+μb)=2(λa+μb)，

λf(a)+μf(b)=2λa+2μb=2(λa+μb)，

即

f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),

故命題②正確；

③由題意得

f(λa+μb)=λa+μb-e，

λf(a)+μf(b)=λa-e+μb-e，

即

f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b)，

于是命題③不正確；

④由題意得

b=λa，f(0)=f(a-λb)=f(a)-λf(b)=0,

因此

f(a)=λf(b)，

即f(a),f(b)也共線，故命題④正確.

線性變換定義線性空間的一個變換A稱為線性變換，若對于空間中任意的元素α,β和數(shù)域中的任意數(shù)k，都有

A(α+β)=A(α)+A(β);A(kα)=kA(α).

本文分析了近幾年解答題中含有高等數(shù)學背景的高考試題，基本上以介值定理、函數(shù)凹凸性、拉格朗日中值定理為主.而在選擇、填空題中以高等數(shù)學中的若干定義為主，其中群、數(shù)域、線性變換出現(xiàn)的頻率較高.這些題目從不同的角度抓住了初、高等數(shù)學知識的銜接點，立意新、背景深，深受命題者的喜愛.試題的設計雖然來源于高等數(shù)學，但解決的方法是中學所學的初等數(shù)學知識，因此考生不必驚慌，只要坦然面對，即可突破.