張樹林,徐誠慷

(中國礦業(yè)大學)

gl(2|1)在 GL(2,F)的模結構＊

張樹林,徐誠慷

(中國礦業(yè)大學)

設 F是特征p>2的代數(shù)閉域,討論一般線性李超代數(shù)gl(2|1)作為一般線性群GL(2,F)-模的結構.

一般線性群;一般線性李超代數(shù);模

0 引言

近年來,模李超代數(shù)(即素特征域上的李超代數(shù))備受人們的關注,張永正最先構造四類Cartan型模李超代數(shù)并給出其單性的證明[1].模李超代數(shù)的表示理論也備受人們的關注[2-4].該文從一個具體李超代數(shù)出發(fā),討論它作為一般線性群上的模結構.

1 預備知識

設基域 F的特征p>2,記Z2=為整數(shù)的模 2剩余類環(huán).

定義 1.1[5]定義G的 F表示為群同態(tài)ρ:G→GL(V),這里GL(V)是有限維 F線性空間V≠0上的可逆線性變換群.

根據(jù)定義,G的 F表示由二元組(ρ,V)確定, G通過ρ作用于V,稱V為G?；騁的表示空間.

定義 1.2[6]設A是域 F(這里域是任意的)上代數(shù),且A還是Z2階化線性空間,即A可分解為子空間的直和:?θ,μ∈Z2,則稱A是 F上的超代數(shù).若x∈Aθ,其中θ∈Z2,則稱x是次為θ的Z2齊次元素,并記d(x)=θ.用hg(A)表示超代數(shù)A的所有Z2齊次元素的集合.

于是,關于線性變換乘法,End(V)是一個結合超代數(shù).若在 End(V)上定義雙線性的方括號乘法運算:

則 End(V)是一般線性李超代數(shù),此時將其改為gl(V)或gl(m|n)即

該文取m=2,n=1,記g=gl(2|11,2,3.下面給出g的三角分解:g=

表示 2階可逆矩陣全體構成的線性群,稱為一般線性群.

定義G在g上的作用如下:

2 主要命題和結果

命題 2.1g-是g的單子模.

再由群子模定義及矩陣乘法計算有下式:

因此,g-的g的子模.再說明g-的g的單子模.不妨設V0是g-的非零子模,則 ?v0∈V0,有v0=λe31+κe32,其中λ,κ不全為零.由群子模定義可知必有下式:

命題 2.2g+是g的單子模.

用同樣上述方法可以證得.

命題 2.3g1是g的單子模.

證明 由群模及群子模定義可知,g1是g的子模,又 dimg1=1,故g1是g的單子模.記

考慮G共軛作用g3,g4得以下命題 2.4,2.5.

命題 2.4g3是g的單子模.

因此,g3是g的子模,又因為 dimg3=1,故g3是g的單子模.

命題 2.5g4是g的子模.

因此,g4是g的子模.

由命題 2.4,2.5可得:

定理 2.1g2是g的子模,且g2=g3g4.

證明 由群模定義可知g是G模,又g2是g的非零子空間.再由群子模定義及仿照命題 2.1可證得g2是g的子模.又因為

綜合上述命題 2.1～2.5及定理 2.1得以下定理 2.2.

定理 2.2g是G-模,且

[1] 張永正.素特征域上的有限維維 Cartan型李超代數(shù)[J].科學通報,1997,42(6):676-679.

[2] Liu Wende.Induced Module of Restricted Lie superalgebras [J].Northeast.Math.,2005,21(1):243-244.

[3] 馮云霞,雷瑞平,何愛軍.李超代數(shù)在上的模結構[J].科學創(chuàng)新導報,2007,No.35:243-244.

[4] 孔祥青,雷瑞平,楊麗娜,吳娜.模李超代數(shù) [J].徐州師范大學學報(自然科學版),2008,26(4):11-15.

[5] 曹錫華,時儉益.有限群表示論[M].北京:科學出版社, 2009.

[6] 張永正,劉文德.模李超代數(shù) [M].北京:科學出版社, 2004.

The Structure ofGL(2,F)-Modulegl(2|1)

Zhang Shulin,Xu Chengkang
(School of Science,China University ofMining and Technology)

LetFbe an algebraically closed field with char F=p>2.The structure ofLie superalgebragl(2|1)as the module over the general linear groupGL(2,F)is discussed.

General linear group;GeneralLie superalgebra;Module

(責任編輯:李雙臻)

2010-12-16

＊中國礦業(yè)大學理科專項基金(2010LKSX07)