徐小敏, 陳淼森
(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江金華 321004)
近年來,關(guān)于一些廣義CS模[1-2]的討論一直是熱點研究之一.Smith在文獻[3]中曾經(jīng)提出了2個問題:一是弱CS模的直和項是弱CS嗎?二是CS模的直和項是弱CS模嗎?關(guān)于CS模[4-5],第1 個問題是成立的.對于P-CS模[6],文獻[6-7]在討論這2個問題時加了一定的條件.其他有關(guān)CS模的信息,可參閱文獻[8-10].在以上這些研究的基礎(chǔ)上,本文就這2個問題進行了討論,并給出了其結(jié)論成立的條件:1)若M=M1⊕M2,M滿足C2條件,則M是P-CS模當且僅當M1,M2均是P-CS模;2)若M=M1⊕M2,M 滿足 C3條件,則 M的直和項也是P-CS模.進而討論了P-CS模對一般子模的遺傳性,最后利用內(nèi)射包,得到了一些很好的等價條件:設(shè)M是P-CS模,N是M的直和項,N是內(nèi)射模,則N也是P-CS模.若M的任何循環(huán)子模C都是內(nèi)射的,則有以下結(jié)論成立:1)M是P-CS模當且僅當C是M的直和項;2)M是PCS模當且僅當M的任意直和項N都是P-CS模.
為方便討論,特約定:文中涉及的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán),模指左R-模,N≤M表示N是M的子模,N?M表示N是M的本質(zhì)子模,E(S)表示模S的內(nèi)射包.
定義1[5]M是CS模,當且僅當M 的任意子模都是其直和項的本質(zhì)子模.
定義2[6]設(shè)M是左R-模,稱M是P-CS模,若M的任意循環(huán)子模都是M某一直和項的本質(zhì)子模.
顯然,若M是CS模,則M一定是P-CS模.
模M滿足C2條件:若M的子模N同構(gòu)于M的直和項,則N是M的直和項.
模M滿足C3條件:若M1,M2是M的直和項且M1∩M2=0,則M1⊕M2也是M的直和項.
定理1 設(shè)M=M1⊕M2,且M是滿足C2條件的P-CS模,則M1,M2均是P-CS模.
證明 設(shè) C是 M2的任一循環(huán)子模,則C∩M1=0且C也是M的循環(huán)子模,所以C是M的直和項 N的本質(zhì)子模.若 N∩M1≠0,則C∩N∩M1=C∩M1,得到矛盾,即 N∩M1=0.于是存在M的子模S同構(gòu)于M2,使得N≤S,由M
若 M=S⊕X,則對于 g:S⊕X→S,Ker g=X=M1.又因為N是M的直和項,S是M的直和項,N≤S,所以N是S的直和項.因此,N同構(gòu)于M2的一個直和項N',則C是 N'的本質(zhì)子模,即C是M2某一直和項N'的本質(zhì)子模,M2是P-CS模.同理,M1是P-CS模.定理1證畢.
推論1 設(shè)M=M1⊕M2,且M滿足C2條件,則以下陳述等價:
1)M2是P-CS模;
2)對M的滿足C∩M1=0的循環(huán)子模C都是M直和項的本質(zhì)子模.
證明 1)?2) 若 C∩M1=0,則 C≤S.因此,S是M的子模同構(gòu)于M2,S是M的直和項且是P-CS模.所以,C是S某一直和項的本質(zhì)子模,也是M直和項的本質(zhì)子模.
2)?1) 對 M2的任一循環(huán)子模 C,有C∩M1=0,因此,C是M直和項N的本質(zhì)子模.而N∩M1=0,于是存在M的子模S同構(gòu)于M2,使得N≤S且M=M1⊕S,N是S的直和項,所以N同構(gòu)于M2的一個直和項N'.因此,C是N'的本質(zhì)子模,即M2是P-CS模.推論1證畢.
定理2 設(shè)M=M1⊕M2,且M滿足C2條件,M1,M2均是P-CS模,則M是P-CS模.
證明 設(shè)C是M的任一循環(huán)子模,下面分2種情況討論.
1)若C∩M1=0,則存在M的子模S同構(gòu)于M2且C≤S.因此,S也是P-CS模且C是 S某一直和項的本質(zhì)子模.由 M滿足 C2條件知M=M1⊕S,故C也是M某一直和項的本質(zhì)子模,即M是P-CS模.
2)若 C∩M1≠0,設(shè) C'是 C的使得 C=(C∩M1)⊕C'的子模,C'∩M1=0.因為 C∩M1是M1的循環(huán)子模,所以C∩M1是M1的直和項K1的本質(zhì)子模.其中,M1=K1⊕K2.另一方面,因為C'∩M1=0,所以存在M的直和項S同構(gòu)于M2且C'≤S,M=M1⊕S,S=S1⊕S2.其中,C'是 S1的本質(zhì)子模.于是 M=M1⊕S=K1⊕K2⊕S1⊕S2,即C=(C∩M1)⊕C'是M的直和項K1⊕S1的本質(zhì)子模,M是P-CS模.定理2證畢.
定理1和定理2給出了P-CS模對其直和與直和項保持遺傳性成立的充要條件,這個結(jié)論對有限直和也同樣成立,因此有推論2.
推論2 設(shè) M= ⊕i∈IMi,且 M 滿足 C2條件,則以下陳述等價:
1)M是P-CS模;
2)Mi均是 P-CS 模(?i∈I).
下面討論在一定條件下,P-CS模對其直和項具有遺傳性.
定理3 若M是滿足C3條件的P-CS模,則M的直和項也是P-CS模.
證明 設(shè)M1是M的直和項,則存在M的子模 M2,使得 M=M1⊕M2.下證 M1是 P-CS模.
取M1的循環(huán)子模C,則C∩M2=0且C也是M的循環(huán)子模.由于M是P-CS模,所以存在M的直和項N,使得C?N且N∩M2=0.因為模M滿足C3條件,所以 N⊕M2為 M的直和項.令Π:M1⊕M2→M1,則 N⊕M2= Π(N)⊕M2,所以Π(N)為 M的直和項.因為 Π (N)≤M1,所以Π(N)也是M1的直和項.又因為C?N,所以C=Π(C)?Π(N),從而M1也是P-CS模.定理3證畢.
定理4 設(shè)M是P-CS模,N是M的直和項.若對N的任何循環(huán)子模C都有E(C)≤N,則N也是P-CS模.
證明 設(shè)C是N的循環(huán)子模,則C也是M的循環(huán)子模.由于M是P-CS模,所以存在M的直和項 M1,使得 C?M1,從而 E(C)=E(M1).又M1?E(M1)=E(C)≤N,所以M1也是N的直和項,從而N也是P-CS模.定理4證畢.
下面討論P-CS模對一般子模的遺傳性.
定理5 設(shè)M是P-CS模,X是M的子模.若X與M的任何直和項的交都是X的某個直和項的本質(zhì)子模,則X是P-CS模.
證明 設(shè)C是X的循環(huán)子模,則C也是M的循環(huán)子模.由于M是P-CS模,所以存在M的直和項M1,使得C?M1.又已知存在 X的直和項X',使(X ∩M1)?X',所以
因此X也是P-CS模.定理5證畢.
稱模M為分配模,如果M的子模格是分配格.
定理6 設(shè)M是P-CS模,且M是分配模,則M的任意子模都是P-CS模.
證明 設(shè)N≤M,且C是N的循環(huán)子模,則C也是M的循環(huán)子模.由于M是P-CS模,所以存在M 的直和項 M1,使得 C?M1,故 C?N∩M1.而 M是分配模,所以N∩M1是N的直和項,則N是PCS模.定理6證畢.
由于每個模都可以嵌入到每個內(nèi)射模中(即它的內(nèi)射包),非常自然地會考慮:如何利用內(nèi)射包來討論模的P-CS條件.由于內(nèi)射模的內(nèi)射包是其本身,所以有以下推論:
推論3 設(shè)M是P-CS模,且N是M的直和項,N是內(nèi)射模,則N也是P-CS模.
定理7 若M的任何循環(huán)子模C都是內(nèi)射的,則以下陳述等價:
1)M是P-CS模;
2)C是M的直和項.
證明 2)?1) 由C的任意性可得.
1)?2) 由于M是P-CS模,所以存在M的直和項N,使得C?N,因此,E(N)=E(C)=C≤N.于是N=E(N)=C,即C是M的直和項.定理7證畢.
定理8 若M的任何循環(huán)子模C都是內(nèi)射的,則以下陳述等價:
1)M是P-CS模;
2)M的任意直和項N都是P-CS模.
證明 2)?1) 當N=M時顯然成立.
1)?2) 設(shè)C是N的任意循環(huán)子模,則C也是M的循環(huán)子模.由定理7知,C是M的直和項.又N也是M的直和項,且C≤N,所以C是N的直和項,從而N是P-CS模.定理8證畢.
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