徐小敏， 陳淼森

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

近年來(lái)，關(guān)于一些廣義CS模［1-2］的討論一直是熱點(diǎn)研究之一．Smith在文獻(xiàn)［3］中曾經(jīng)提出了2個(gè)問(wèn)題:一是弱CS模的直和項(xiàng)是弱CS嗎?二是CS模的直和項(xiàng)是弱CS模嗎?關(guān)于CS模［4-5］，第1 個(gè)問(wèn)題是成立的．對(duì)于P-CS模［6］，文獻(xiàn)［6-7］在討論這2個(gè)問(wèn)題時(shí)加了一定的條件．其他有關(guān)CS模的信息，可參閱文獻(xiàn)［8-10］．在以上這些研究的基礎(chǔ)上，本文就這2個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了討論，并給出了其結(jié)論成立的條件:1)若M=M1⊕M2，M滿足C2條件，則M是P-CS模當(dāng)且僅當(dāng)M1，M2均是P-CS模;2)若M=M1⊕M2，M 滿足 C3條件，則 M的直和項(xiàng)也是P-CS模．進(jìn)而討論了P-CS模對(duì)一般子模的遺傳性，最后利用內(nèi)射包，得到了一些很好的等價(jià)條件:設(shè)M是P-CS模，N是M的直和項(xiàng)，N是內(nèi)射模，則N也是P-CS模．若M的任何循環(huán)子模C都是內(nèi)射的，則有以下結(jié)論成立:1)M是P-CS模當(dāng)且僅當(dāng)C是M的直和項(xiàng);2)M是PCS模當(dāng)且僅當(dāng)M的任意直和項(xiàng)N都是P-CS模．

為方便討論，特約定:文中涉及的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指左R-模，N≤M表示N是M的子模，N?M表示N是M的本質(zhì)子模，E(S)表示模S的內(nèi)射包．

1 基本概念

定義1［5］M是CS模，當(dāng)且僅當(dāng)M 的任意子模都是其直和項(xiàng)的本質(zhì)子模．

定義2［6］設(shè)M是左R-模，稱M是P-CS模，若M的任意循環(huán)子模都是M某一直和項(xiàng)的本質(zhì)子模．

顯然，若M是CS模，則M一定是P-CS模．

模M滿足C2條件:若M的子模N同構(gòu)于M的直和項(xiàng)，則N是M的直和項(xiàng)．

模M滿足C3條件:若M1，M2是M的直和項(xiàng)且M1∩M2=0，則M1⊕M2也是M的直和項(xiàng)．

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)M=M1⊕M2，且M是滿足C2條件的P-CS模，則M1，M2均是P-CS模．

證明 設(shè) C是 M2的任一循環(huán)子模，則C∩M1=0且C也是M的循環(huán)子模，所以C是M的直和項(xiàng) N的本質(zhì)子模．若 N∩M1≠0，則C∩N∩M1=C∩M1，得到矛盾，即 N∩M1=0．于是存在M的子模S同構(gòu)于M2，使得N≤S，由M

若 M=S⊕X，則對(duì)于 g:S⊕X→S，Ker g=X=M1．又因?yàn)镹是M的直和項(xiàng)，S是M的直和項(xiàng)，N≤S，所以N是S的直和項(xiàng)．因此，N同構(gòu)于M2的一個(gè)直和項(xiàng)N'，則C是 N'的本質(zhì)子模，即C是M2某一直和項(xiàng)N'的本質(zhì)子模，M2是P-CS模．同理，M1是P-CS模．定理1證畢．

推論1 設(shè)M=M1⊕M2，且M滿足C2條件，則以下陳述等價(jià):

1)M2是P-CS模;

2)對(duì)M的滿足C∩M1=0的循環(huán)子模C都是M直和項(xiàng)的本質(zhì)子模．

證明 1)?2) 若 C∩M1=0，則 C≤S．因此，S是M的子模同構(gòu)于M2，S是M的直和項(xiàng)且是P-CS模．所以，C是S某一直和項(xiàng)的本質(zhì)子模，也是M直和項(xiàng)的本質(zhì)子模．

2)?1) 對(duì) M2的任一循環(huán)子模 C，有C∩M1=0，因此，C是M直和項(xiàng)N的本質(zhì)子模．而N∩M1=0，于是存在M的子模S同構(gòu)于M2，使得N≤S且M=M1⊕S，N是S的直和項(xiàng)，所以N同構(gòu)于M2的一個(gè)直和項(xiàng)N'．因此，C是N'的本質(zhì)子模，即M2是P-CS模．推論1證畢．

定理2 設(shè)M=M1⊕M2，且M滿足C2條件，M1，M2均是P-CS模，則M是P-CS模．

證明 設(shè)C是M的任一循環(huán)子模，下面分2種情況討論．

1)若C∩M1=0，則存在M的子模S同構(gòu)于M2且C≤S．因此，S也是P-CS模且C是 S某一直和項(xiàng)的本質(zhì)子模．由 M滿足 C2條件知M=M1⊕S，故C也是M某一直和項(xiàng)的本質(zhì)子模，即M是P-CS模．

2)若 C∩M1≠0，設(shè) C'是 C的使得 C=(C∩M1)⊕C'的子模，C'∩M1=0．因?yàn)?C∩M1是M1的循環(huán)子模，所以C∩M1是M1的直和項(xiàng)K1的本質(zhì)子模．其中，M1=K1⊕K2．另一方面，因?yàn)镃'∩M1=0，所以存在M的直和項(xiàng)S同構(gòu)于M2且C'≤S，M=M1⊕S，S=S1⊕S2．其中，C'是 S1的本質(zhì)子模．于是 M=M1⊕S=K1⊕K2⊕S1⊕S2，即C=(C∩M1)⊕C'是M的直和項(xiàng)K1⊕S1的本質(zhì)子模，M是P-CS模．定理2證畢．

定理1和定理2給出了P-CS模對(duì)其直和與直和項(xiàng)保持遺傳性成立的充要條件，這個(gè)結(jié)論對(duì)有限直和也同樣成立，因此有推論2．

推論2 設(shè) M= ⊕i∈IMi，且 M 滿足 C2條件，則以下陳述等價(jià):

1)M是P-CS模;

2)Mi均是 P-CS 模(?i∈I)．

下面討論在一定條件下，P-CS模對(duì)其直和項(xiàng)具有遺傳性．

定理3 若M是滿足C3條件的P-CS模，則M的直和項(xiàng)也是P-CS模．

證明 設(shè)M1是M的直和項(xiàng)，則存在M的子模 M2，使得 M=M1⊕M2．下證 M1是 P-CS模．

取M1的循環(huán)子模C，則C∩M2=0且C也是M的循環(huán)子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和項(xiàng)N，使得C?N且N∩M2=0．因?yàn)槟滿足C3條件，所以 N⊕M2為 M的直和項(xiàng)．令Π:M1⊕M2→M1，則 N⊕M2= Π(N)⊕M2，所以Π(N)為 M的直和項(xiàng)．因?yàn)?Π (N)≤M1，所以Π(N)也是M1的直和項(xiàng)．又因?yàn)镃?N，所以C=Π(C)?Π(N)，從而M1也是P-CS模．定理3證畢．

定理4 設(shè)M是P-CS模，N是M的直和項(xiàng)．若對(duì)N的任何循環(huán)子模C都有E(C)≤N，則N也是P-CS模．

證明 設(shè)C是N的循環(huán)子模，則C也是M的循環(huán)子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和項(xiàng) M1，使得 C?M1，從而 E(C)=E(M1)．又M1?E(M1)=E(C)≤N，所以M1也是N的直和項(xiàng)，從而N也是P-CS模．定理4證畢．

下面討論P(yáng)-CS模對(duì)一般子模的遺傳性．

定理5 設(shè)M是P-CS模，X是M的子模．若X與M的任何直和項(xiàng)的交都是X的某個(gè)直和項(xiàng)的本質(zhì)子模，則X是P-CS模．

證明 設(shè)C是X的循環(huán)子模，則C也是M的循環(huán)子模．由于M是P-CS模，所以存在M的直和項(xiàng)M1，使得C?M1．又已知存在 X的直和項(xiàng)X'，使(X ∩M1)?X'，所以

因此X也是P-CS模．定理5證畢．

稱模M為分配模，如果M的子模格是分配格．

定理6 設(shè)M是P-CS模，且M是分配模，則M的任意子模都是P-CS模．

證明 設(shè)N≤M，且C是N的循環(huán)子模，則C也是M的循環(huán)子模．由于M是P-CS模，所以存在M 的直和項(xiàng) M1，使得 C?M1，故 C?N∩M1．而 M是分配模，所以N∩M1是N的直和項(xiàng)，則N是PCS模．定理6證畢．

由于每個(gè)模都可以嵌入到每個(gè)內(nèi)射模中(即它的內(nèi)射包)，非常自然地會(huì)考慮:如何利用內(nèi)射包來(lái)討論模的P-CS條件．由于內(nèi)射模的內(nèi)射包是其本身，所以有以下推論:

推論3 設(shè)M是P-CS模，且N是M的直和項(xiàng)，N是內(nèi)射模，則N也是P-CS模．

定理7 若M的任何循環(huán)子模C都是內(nèi)射的，則以下陳述等價(jià):

1)M是P-CS模;

2)C是M的直和項(xiàng)．

證明 2)?1) 由C的任意性可得．

1)?2) 由于M是P-CS模，所以存在M的直和項(xiàng)N，使得C?N，因此，E(N)=E(C)=C≤N．于是N=E(N)=C，即C是M的直和項(xiàng)．定理7證畢．

定理8 若M的任何循環(huán)子模C都是內(nèi)射的，則以下陳述等價(jià):

1)M是P-CS模;

2)M的任意直和項(xiàng)N都是P-CS模．

證明 2)?1) 當(dāng)N=M時(shí)顯然成立．

1)?2) 設(shè)C是N的任意循環(huán)子模，則C也是M的循環(huán)子模．由定理7知，C是M的直和項(xiàng)．又N也是M的直和項(xiàng)，且C≤N，所以C是N的直和項(xiàng)，從而N是P-CS模．定理8證畢．

［1］Dung N V，Smith P F．CS-modules［J］．Com Algebra，1994，22(1):83-93．

［2］Cesim C．Cess-module［J］．TR J of Mathematics，1998，22(2):69-75．

［3］Smith P F．CS-modules and weak CS-modules［J］．Lecture Notes in Math，1990，1448(4):99-115．

［4］Anderson F W，F(xiàn)uller K R．Rings and categories of modules［M］．New York:Springer-Verlag，1974:156-178．

［5］Dung N V，Huyuh D V，Smith P F．Extending module［M］．London:Pitman，1994:55-91．

［6］Kamal M A，Elmnophy M A．On P-extending modules［J］．Acta Math Univ Comenianae，2005，74(2):279-286．

［7］Canan C Y．Modules whose EC-closed submodules are direct summand［J］．Taiwanese Journal of Mathematics，2009，13(4):1247-1256．

［8］Catarina S C．Extending modules with injective or semisimple summands［J］．J Pure Applied Alg，1998，127(2):193-203．

［9］Birkenmeier G F，Kim J K，Park J K．When is the CS condition hereditary［J］．Comm Alg，1999，27(8):3875-3885

［10］Dung N V．On indecomposable decompositions of CS-modules［J］．J Austral Math Soc A，1996，61:30-41．