趙 林, 俞能福

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院 數(shù)理系,安徽 合肥 230601)

0 引 言

在實際的市場運行中,當(dāng)銷售商降低某些商品的零售價格時,這些商品的銷量明顯增加,而當(dāng)調(diào)高零售價格時,這些商品的銷量明顯減少,有的甚至處于滯銷狀態(tài),這說明銷售商的銷售價格對市場需求往往具有決定性的影響。因此,如何制定合理的銷售價格,在刺激需求的同時也使得自身的銷售利潤達(dá)到最大化,是每個銷售商所面臨的實際問題。尤其在當(dāng)前,隨著生產(chǎn)能力的大幅提升和市場競爭的日益加劇,制定適宜的價格策略以獲取最大收益顯得尤為重要。

近年來,需求依賴銷售價格的庫存控制問題引起了眾多企業(yè)和研究者關(guān)注。文獻(xiàn)[1]首次從定量的角度建立了需求受銷售價格影響的最優(yōu)訂購批量和銷售價格聯(lián)合決策模型。文獻(xiàn)[2]則考慮了在供應(yīng)商提供臨時價格折扣下,銷售商的最優(yōu)訂購批量和銷售價格聯(lián)合決策問題。文獻(xiàn)[3]則在假定需求具有價格彈性情形下,發(fā)展了一個允許滯后支付的最優(yōu)訂購批量和銷售價格聯(lián)合決策模型。文獻(xiàn)[4,5]考慮了帶有運輸費用折扣的最優(yōu)售價和訂購批量的聯(lián)合確定問題。以上模型均不考慮短缺,文獻(xiàn)[6]則探討了短缺部分拖后的變質(zhì)性物品最優(yōu)訂購批量和銷售價格聯(lián)合確定問題,在其模型中假定變質(zhì)率是隨時間變化而變化,且如果短缺量部分拖后,通常認(rèn)為在缺貨期間的拖后需求率是顧客等待時間的減函數(shù),即等待時間越長,短缺量拖后率越小。

但在實際的零售過程中還會常常遇到一些顧客對某一商店有特別偏好(由于該商店的聲譽,或者商品質(zhì)量等原因),當(dāng)商店缺貨時他們愿意等待,但同時顧客往往都無足夠的耐心,隨著缺貨時間的增加他們就會對庫存系統(tǒng)是否能夠及時供貨缺乏信心,另外,缺貨時間越長則前面排隊等待供貨的人就會越多,這也在一定程度上影響了顧客愿意等待供貨信念,因而轉(zhuǎn)往其他銷售商處購買商品。從這種意義上來說,缺貨時間越長,則愿意等待供貨的顧客就會越少,即短缺量拖后率是隨缺貨時間變化的[7]。

因此本文將短缺量拖后率看成是缺貨時間的下降函數(shù),以此來逼近這一實際現(xiàn)象,從而建立了一種需求受價格影響且短缺量部分拖后的變質(zhì)性物品的庫存控制模型,其中物品的變質(zhì)速度是隨時間變化而變化的。

1 符號及模型假設(shè)

為了更方便地研究和說明庫存模型,統(tǒng)一規(guī)定如下符號:

K為每周期訂貨的訂貨費;c為單位商品的購買價格;p為單位商品的銷售價格;h為單位商品單位時間內(nèi)的庫存保管費;s為單位商品單位時間內(nèi)的缺貨費用;π為因缺貨造成銷售損失的單位商品的機會成本;t1為一個訂貨周期內(nèi)不缺貨的周期長度;T為一個訂貨周期的長度;I(t)為t時刻的庫存水平;q為每周期的銷售量;Q為每周期的訂貨量;Π(p,T,t1)為該庫存系統(tǒng)的平均利潤。

另外為了更符合實際,本文作了如下假設(shè):①備運期為零;②p＞c;③t時刻的需求率d(p)是關(guān)于p的非負(fù)的、連續(xù)的遞減的嚴(yán)格凸函數(shù);④假定變質(zhì)率為θ(t),其中0＜θ(t)?1,且物品變質(zhì)后無殘值;⑤允許短缺且短缺部分拖后。假定缺貨期間發(fā)生的需求僅有一部分人愿意等待,等待比例隨缺貨時間(或者缺貨量)的增加而減少,假設(shè)該比例函數(shù)(即需求拖后率函數(shù))為e-β(t-t1),其中 ,t1≤t≤T,0 ＜β＜1。

2 模型的建立

根據(jù)以上假設(shè),庫存水平變化如圖1所示。為了建立合適的利潤函數(shù),把周期分為2個相對獨立的區(qū)間[0,t1)和[t1,T)。在區(qū)間[0,t1)中,庫存水平受需求和變質(zhì)2個因素的影響而減少,因此庫存水平可由下述微分方程描述:

由邊界條件I(t1)=0解得(1)式為:

圖1 庫存水平變化示意圖

由(2)式可得每個周期最大庫存水平為:

在區(qū)間[t1,T)內(nèi),可用如下微分方程描述:

由邊界條件I(t1)=0解得(3)式為:

在(4)式中令t=T,可得每周期內(nèi)拖后需求的最大量為:

因此,每周期的訂貨量為:

每周期銷售量為:

很明顯,一個周期內(nèi)的利潤函數(shù)應(yīng)由以下幾部分函數(shù)構(gòu)成:

(1)每周期訂貨費用為K;

(2)每周期庫存保管費用,且有:

(3)每周期的短缺費用,且有:

(4)每周期因為損失銷售而造成的機會成本:

(5)每周期的購買費用,且有:

(6)每周期的銷售收入,且有:

因此該系統(tǒng)單位時間內(nèi)平均利潤函數(shù)(即目標(biāo)函數(shù))為:

3 求解模型

定理1 只要λ＞0,且(p-c)d(p)是關(guān)于價格p的嚴(yán)格凹函數(shù),則最優(yōu)化問題max Π(p,T,t1)存在惟一最優(yōu)解,否則其最優(yōu)解不存在。其中

證明 為了方便,首先把價格 p看成已知的,只討論 T和t1的最優(yōu)值問題。因為 Π(p,T,)是可導(dǎo)的,所以其最優(yōu)值點一定滿足顯然

對(13)式再求導(dǎo)可得:

亦即:

用(16)式簡化(12)式得目標(biāo)函數(shù)的另一種形式,即利潤函數(shù)是只關(guān)于T的一元函數(shù),則有:

其中,t1=t1(T),由(16)式惟一確定。

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,由(15)式得:

為了方便,先記

所以

用(16)式化簡(19)式可得:

易知:

用(16)式、(22)式對(21)式化簡可將其等價變形為:

若λ＞0,根據(jù)根的存在性定理知在(0,+∞)內(nèi),必然存在惟一的根T*滿足H(T*)=0,從而在

所以平均利潤函數(shù) Π(p,T,t1)是關(guān)于 T的局部上凸函數(shù),即關(guān)于T的局部凹函數(shù)。注意到駐點T*的惟一性,因此函數(shù)Π(p,T,t1)必然是一個單峰函數(shù),從而(T*,t*1)是 問題 max Π(p,T,t1(T))的惟一最優(yōu)值點,其中 t*1=t1(T*)由(16)式惟一確定。

則 Π(p,T,t1(T))在區(qū)間 T∈(0,+∞)內(nèi)是嚴(yán)格遞增的,優(yōu)化問題 max Π(p,T,t1(T))在區(qū)間T∈(0,+∞)內(nèi)無最優(yōu)解。

通過分析可知,只要λ＞0,則對任意給定的價格p(p＞0),使 Π(p,T,t1(T))取得最大值的點(T*,t1*)存在且惟一。給定(T*,t1*),則平均利潤函數(shù)是關(guān)于p的一元函數(shù),若求p的最優(yōu)解,則必然滿足所以有:

假設(shè)(p-c)d(p)是關(guān)于價格的嚴(yán)格凹函數(shù),這意味著其2階導(dǎo)數(shù)2d′(p)+(p-c)d′(p)＜0,又d(p)是關(guān)于價格p的連續(xù)遞減的嚴(yán)格凸函數(shù),所以d″(p)＞0。因此有:

即證明平均利潤函數(shù)是關(guān)于價格 p的嚴(yán)格凹函數(shù),因此存在一個滿足(25)式的最優(yōu)定價,即銷售價格的最大之值p*。

方程 d(p)+(p-c)d′(p)=0 的解pl,是 最優(yōu)定價 p*的最低限,其中 p*滿足

4 實際案例

一個電動機批發(fā)商,所經(jīng)營的電動機種類繁多,適用于各種用途和各種工業(yè)環(huán)境(從操作高架起重機到電動噴漆設(shè)備)。該公司在四川省內(nèi)(成都、重慶和樂山)設(shè)有3個分公司,各分公司經(jīng)理具有各自區(qū)域內(nèi)完全的利潤責(zé)任。

利潤率的重要部分取決于交付系統(tǒng)的有效管理。由于該公司經(jīng)營的是批發(fā)業(yè)務(wù),因此存貨成本為該公司總營運成本的重要部分。針對其中一種電動機進行研究,確定其最優(yōu)的訂貨周期和零售價格。

假設(shè)該公司每次訂購此種電動機所產(chǎn)生的K=100元/周期,c=10元/單位商品,h=1元,s=2元/(單位商品?單位時間),π=2元,允許短缺且短缺部分拖后。假定缺貨期間發(fā)生的需求僅有一部分顧客愿意等待,等待比例隨缺貨時間(或者缺貨量)的增加而減少,假設(shè)該比例函數(shù)(即需求拖后率函數(shù))為 e-β(t-t1),其中 β=0.5。另外由于產(chǎn)品的更新速度較快,產(chǎn)品的折舊率(相當(dāng)于變質(zhì)率)θ(t)=0.1t,而經(jīng)過市場調(diào)研得知該種電動機的市場需求受到其零售價格影響,且其需求函數(shù)近似為d(p)=p-2。

通過解方程d(p)+(p-c)d′(p)=0,得到pl=p0=20,然后聯(lián)立H(T*)=0和(16)式可以求出該種電動機的最優(yōu)訂貨周期為T*=0.828 1和最優(yōu)有貨區(qū)間是t1*=0.282 6,這說明適當(dāng)?shù)娜必泴τ谠摲N電動機的銷售是有利的。再將T*和t1*代入(25)式求出該種電動機的最優(yōu)市場零售價格為p*=22。

5 結(jié)束語

本文主要研究了一類短缺量拖后率隨缺貨時間變化而變化的變質(zhì)性物品的庫存模型,其中物品的需求受銷售價格的影響且物品的變質(zhì)速度隨時間而變化。

首先在給定價格的條件下給出了最優(yōu)訂貨周期存在的必要條件,再假設(shè)最優(yōu)訂貨周期給出的條件下求出最優(yōu)價格,并指出了模型解的存在性與惟一性,最后用實例說明了模型的可行性。

本模型可進一步推廣到考慮量折扣和時變需求的情形。

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