馮 光，吳乘勝，鄭文濤，顧 民，朱德祥

（1中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082；2上海市計算技術(shù)研究所，上海 200040）

1 引 言

近年來，波浪及船舶運動相關(guān)研究領(lǐng)域正呈現(xiàn)出三個重要發(fā)展趨勢[1]：從頻域轉(zhuǎn)向時域、從線性轉(zhuǎn)向非線性、從勢流轉(zhuǎn)向粘性。而粘性數(shù)值波浪水池正是集這三個發(fā)展趨勢于一身，因而具有相當(dāng)廣闊的應(yīng)用前景，必將是今后發(fā)展的重要方向之一。

開發(fā)或構(gòu)建粘性數(shù)值波浪水池?zé)o疑是一項復(fù)雜的系統(tǒng)工程，但無論如何第一步都要實現(xiàn)數(shù)值造波，即波浪環(huán)境數(shù)值模擬。近年來，研究人員在粘性數(shù)值波浪水池方面做了不少研究工作[2-12]，取得了不少令人鼓舞的進(jìn)展，但在波浪環(huán)境模擬方面，多數(shù)是針對規(guī)則波的，對于長峰（二維）不規(guī)則波的模擬不多[4,7,10]，對于短峰不規(guī)則波（三維方向波）的模擬更少[4,12]。

真實的海浪環(huán)境一般很少是規(guī)則波，而是以不規(guī)則波為主，并且更接近短峰波。短峰不規(guī)則波除了具有不同頻率的組成波以外，還具有不同方向的組成波。因此，短峰波通常也被稱為三維波或方向波（文中如無特別說明，三維波或三維方向波都等同于短峰不規(guī)則波），它可以由連續(xù)的方向譜來描述。隨著海洋科技的發(fā)展，在某些情況下，規(guī)則波或長峰不規(guī)則波已難以適應(yīng)要求，其所模擬的海浪與實際海浪存在一定的差別，由此得到的預(yù)報結(jié)果不能真實反映海洋結(jié)構(gòu)物在實際海浪中的運動情況。因此，有必要進(jìn)行三維波與海洋結(jié)構(gòu)物相互作用的研究。對于粘性數(shù)值波浪水池而言，首要的工作是要進(jìn)行三維波的模擬。

作者在以前的研究工作中，曾經(jīng)對長峰不規(guī)則波進(jìn)行過數(shù)值模擬[10]，結(jié)果與目標(biāo)值/譜總體上符合較好，但仍有較為明顯的差別。因此，本文首先對長峰不規(guī)則波的數(shù)值模擬方法進(jìn)行了改進(jìn)，并使用改進(jìn)的方法模擬了不同海況下的長峰不規(guī)則波，模擬效果明顯改善，數(shù)值模擬結(jié)果與目標(biāo)值/譜相當(dāng)吻合。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展了短峰不規(guī)則波的數(shù)值模擬方法，進(jìn)行了短峰不規(guī)則波模擬，數(shù)值模擬結(jié)果與特征值/目標(biāo)譜也相當(dāng)接近。

2 波浪水池的數(shù)學(xué)模型

本文使用的數(shù)值波浪水池的控制方程和湍流模型，都與文獻(xiàn)[10]中的一樣，其具體形式可參閱相關(guān)文獻(xiàn)。

長峰不規(guī)則波數(shù)值模擬方法的改進(jìn)主要體現(xiàn)在波浪頻率的選取上。在文獻(xiàn)[10]中，采用的是較為簡單的頻率等分法，而本文使用的是能量等分法。能量等分法中頻率分割不等間距，可以使能量集中的譜峰區(qū)分割條塊多，能夠提高模擬精度。

能量等分法要將波能譜面積等分成N個面積相等的條塊。定義譜的累積率為：

將能量等分成N份，則第i個分界頻率ωi′可按下面的公式選?。?/p>

由此分界頻率可進(jìn)一步確定各條塊的中心頻率ωi。長峰不規(guī)則波中組成波的波幅為：

其中 Cw（H1/3,）ω ≥1，是為了抑制波浪中的高頻成分過度衰減而乘以的一個系數(shù)。

本文長峰不規(guī)則波模擬的對象譜（靶譜）S（）ω為ITTC雙參數(shù)譜：

其中：H1/3為有義波高，T1是平均周期，ω為波浪圓頻率。

實際的海面呈現(xiàn)的多為短峰不規(guī)則波（三維方向波），波浪是多方向的，在時間上和空間上均不規(guī)則，即其波浪譜為三維波能譜。三維方向波可以看作是由多個（理論上應(yīng)為無限多個）頻率不等、方向不同、振幅變化且相位隨機(jī)的微幅簡諧波疊加而成的不規(guī)則波系。在空間位置（x,y）處，時刻t時的波面高度可表示為：

式中：aij為第i個頻率、第j個方向的成分波的波幅；ωi、ki分別為第i個頻率的成分波的圓頻率和波數(shù)；θj是第j個方向的成分波的方向；εij為第i個頻率、第j個方向的成分波的隨機(jī)相位角，是［0,2 ］π 區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

三維方向波的速度場為：

采用方向譜來描述三維方向波，方向譜密度函數(shù)S（ω,）θ與成分波的波幅滿足如下關(guān)系式：

方向譜可以分解為頻率譜和方向擴(kuò)散函數(shù)乘積的形式：

其中：D （ω,θ）為方向分布函數(shù)，S（ω）為頻譜函數(shù)，這里同樣采用ITTC雙參數(shù)譜，ω 為頻率，θ為方向角。

因為方向分布函數(shù)描述的是波能在平面上不同角度的分布狀態(tài)，具有歸一化特征：

本文使用的方向擴(kuò)散函數(shù)為：

其中 D0由（9）式確定，θ0=0°，-π/2<θ<π/2。

本文采用雙疊加法進(jìn)行三維方向波模擬?？臻g某點的波面高度可以表示為：

本文數(shù)值模擬使用的消波方法也與文獻(xiàn)[10]中的相同。

3 數(shù)值計算

無論是長峰不規(guī)則波還是短峰不規(guī)則波模擬，計算區(qū)域都包含消波區(qū)，位于計算區(qū)域后部或外圍。在計算區(qū)域不同位置放置浪高儀，監(jiān)視這些位置的波面時間歷程。長峰不規(guī)則波模擬計算區(qū)域范圍參見文獻(xiàn)[10]。

圖1給出了三維方向波模擬計算區(qū)域示意圖，圖中虛線箭頭表示主浪向，點劃線之外為消波區(qū)。從圖中同樣可以看出消波區(qū)水面基本平靜，說明本文的消波方法效果相當(dāng)好。短峰不規(guī)則波模擬計算區(qū)域范圍列于表1中。

數(shù)值模擬中邊界條件的設(shè)置、控制方程的離散與求解都和文獻(xiàn)[10]中的相同。

表1 短峰不規(guī)則波模擬計算區(qū)域Tab.1 Computational domain for short-crested waves

4 算例描述

對于長峰不規(guī)則波數(shù)值模擬，以有義波高H1/3=80mm、平均周期T1=1.25s和有義波高H1/3=128mm、平均周期T1=1.50s以及有義波高H1/3=180mm、平均周期T1=1.60s的波浪為對象。數(shù)值模擬的長峰不規(guī)則波目標(biāo)參數(shù)列于表2中，其中前兩個工況在文獻(xiàn)[10]中也進(jìn)行過模擬。

對于短峰不規(guī)則波數(shù)值模擬，目標(biāo)有義波高H1/3=66mm，平均周期T1=1.26s，主浪向為0°。數(shù)值模擬的短峰不規(guī)則波目標(biāo)參數(shù)列于表3中。

表2 長峰不規(guī)則波模擬目標(biāo)參數(shù)Tab.2 Target parameters for the simulation of long-crested irregular waves

表3 短峰不規(guī)則波模擬目標(biāo)參數(shù)Tab.3 Target parameters for the simulation of short-crested irregular wave

5 長峰不規(guī)則波模擬結(jié)果及分析

圖2自上至下給出了不同海況的長峰不規(guī)則波，數(shù)值模擬中波浪水池中不同位置的波面時間歷程。從圖中可以看出，數(shù)值模擬的長峰不規(guī)則波在向下游傳播的過程中，波高有一定衰減，但衰減幅度不大。

取波浪水池中的波面時間歷程，利用FFT進(jìn)行頻譜分析。水池平均有義波高及平均周期列于表4中。從表中可以看出：不同海況下，數(shù)值模擬波浪的水池平均有義波高及平均周期與目標(biāo)值都相當(dāng)接近；其中在較高海況下，數(shù)值模擬波浪的平均周期與目標(biāo)值更為接近，而不同海況下有義波高與目標(biāo)值的差別較為穩(wěn)定。數(shù)值模擬波浪的有義波高較目標(biāo)值略小而平均周期較目標(biāo)值較大，這是由于波浪中的高頻成分在傳播過程中有一定衰減造成的。

表4 長峰不規(guī)則波有義波高和平均周期Tab.4 Significant wave height and average period of simulated long-crested irregular waves

圖3則自上至下給出了不同海況下，數(shù)值模擬長峰不規(guī)則波的水池中平均波能譜，圖中同時給出了文獻(xiàn)[10]中模擬波浪的波能譜。從圖中可以看出：本文數(shù)值模擬波浪的波能譜與目標(biāo)譜吻合相當(dāng)好，只在少數(shù)高頻成分略有差別；峰頻位置也十分準(zhǔn)確；與文獻(xiàn)[10]相比，本文使用的數(shù)值模擬方法效果明顯更好。

綜上所述，本文建立的基于粘流理論的數(shù)值造波模型和方法，能夠很好地模擬長峰不規(guī)則波，不同海況下數(shù)值模擬波浪的水池平均有義波高及平均周期與目標(biāo)值都符合得很好，水池平均波能譜也與目標(biāo)譜相當(dāng)吻合。與文獻(xiàn)[10]的數(shù)值模擬結(jié)果相比，本文的數(shù)值模擬結(jié)果顯然與目標(biāo)譜/值符合得更好。這正說明了本文采用的能量等分法模擬精度更高、效果更好。

6 短峰不規(guī)則波模擬結(jié)果及分析

短峰不規(guī)則波數(shù)值模擬中，采用虛擬浪高儀陣列（CERC型）監(jiān)測波浪，陣列的外接圓半徑為0.6m，浪高儀的布置如圖4所示。數(shù)值模擬中，陣列中心浪高儀P0的坐標(biāo)為（2.0m,2.0m）。

三維方向波的分析方法主要有：直接傅利葉變換法（DFT）、參數(shù)法 （PM）、極大似然法 （MLM）、最大熵法（MEM）和貝葉斯方法（BDM）。本文的三維方向波分析，采用貝葉斯方法（BDM），詳細(xì)的推導(dǎo)過程可以參考相關(guān)文獻(xiàn)[13-14]。通過對浪高儀陣列監(jiān)測的波浪數(shù)據(jù)進(jìn)行譜分析，可以得到有義波高、平均周期、主浪向及方向譜。

圖5給出了浪高儀陣列監(jiān)測得到的波面時間歷程。以下的數(shù)值模擬結(jié)果分析都是通過對這些波面時間歷程進(jìn)行分析得到。

表5給出了數(shù)值模擬三維方向波的有義波高、平均周期和主浪向的分析結(jié)果，表中同時給出了目標(biāo)值。從表中可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與目標(biāo)值相當(dāng)接近。數(shù)值模擬波浪的有義波高較目標(biāo)值略小而平均周期較目標(biāo)值略大，也是由于波浪中的高頻成分在傳播過程中有一定衰減造成的；數(shù)值模擬波浪的主浪向誤差-5°左右，略微偏向與之大致平行的造波器，這也是因為波浪傳播過程中高頻成分有一定衰減，導(dǎo)致陣列中靠近造波器的浪高儀監(jiān)測到的波浪能量稍大于遠(yuǎn)離造波器的，使得主浪向產(chǎn)生一定偏差。對照文獻(xiàn)[15]，本文短峰不規(guī)則波的數(shù)值模擬精度與國內(nèi)先進(jìn)的物理水池（CSSRC波浪水池）基本相當(dāng)。

表5 短峰不規(guī)則波有義波高、平均周期和主浪向Tab.5 Significant wave height,average period and main direction of simulated short-crested irregular wave

圖6給出了數(shù)值模擬三維方向波的方向譜，圖7則給出了目標(biāo)方向譜。通過兩圖對比可以看出，與目標(biāo)方向譜相比，數(shù)值模擬波浪的方向譜略為為“尖瘦”，特別是在峰頻附近較為明顯；圖8的數(shù)值模擬三維方向波方向譜等值線和圖9的目標(biāo)方向譜等值線也反映出了這些。這說明雖然數(shù)值模擬三維方向波的有義波高、平均周期和主浪向與目標(biāo)值都相當(dāng)接近，但在方向譜的細(xì)節(jié)上與目標(biāo)譜還是有一定差別，不如長峰不規(guī)則波模擬符合得那么好，三維方向波數(shù)值模擬的精度還有一定的提高空間。

造成數(shù)值模擬三維方向波的方向譜與目標(biāo)譜存在差別的因素有很多，包括數(shù)值模擬時間是否足夠長、頻率和方向角的劃分疏密、波浪數(shù)據(jù)的分析方法及處理工具等。由于粘性數(shù)值波浪水池中三維方向波的模擬極其耗時，難以對所有因素進(jìn)行全面系統(tǒng)的研究，僅主要對模擬時間長短進(jìn)行了研究[13]，發(fā)現(xiàn)其對結(jié)果影響很大：在一定范圍內(nèi)，模擬時間較長效果較好，代價是計算時間大幅增加。因此，有必要改進(jìn)三維方向波模擬算法和程序，提高計算效率。

總的來說，使用本文建立的基于粘流理論的數(shù)值造波模型和方法，進(jìn)行的短峰不規(guī)則波模擬是成功的，數(shù)值模擬波浪的有義波高、平均周期、主浪向和方向譜都與目標(biāo)值/譜相當(dāng)接近，波浪的模擬精度與國內(nèi)先進(jìn)的物理水池基本相當(dāng)。

7 結(jié)語及建議

綜合本文長峰不規(guī)則波和短峰不規(guī)則波的數(shù)值模擬結(jié)果及分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）本文使用改進(jìn)的長峰不規(guī)則波數(shù)值模擬方法，能夠很好地模擬長峰不規(guī)則波，不同海況下數(shù)值模擬波浪的水池平均有義波高和平均周期與目標(biāo)值都符合得很好，水池平均波能譜也與目標(biāo)譜相當(dāng)吻合；

（2）短峰不規(guī)則波的模擬也是成功的，數(shù)值模擬波浪的有義波高、平均周期、主浪向和方向譜都與目標(biāo)值/譜相當(dāng)接近（只是在方向譜的細(xì)節(jié)上與目標(biāo)譜有一定差別），波浪的模擬精度與國內(nèi)先進(jìn)的物理水池基本相當(dāng)。

同時，為提高三維方向波的數(shù)值模擬精度和效率，建議進(jìn)一步開展以下工作：

（1）增加波浪模擬時間，模擬波浪時歷達(dá)到200個波左右（以平均周期計算），如果可能，波浪時歷長盡量接近物理水池三維波采集時間（一般遠(yuǎn)超過200個波）；

（2）在計算條件允許的情況下，數(shù)值計算的網(wǎng)格以及頻率、方向角的劃分盡可能密一些；

（3）上述兩項工作都可以提高模擬精度，但會導(dǎo)致計算時間大幅增加，可能會使代價過于昂貴而無法承受。因此，要使粘性數(shù)值波浪水池中三維波方向波模擬實用化，必須改進(jìn)模擬算法和程序，大幅度提高計算效率。

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