夏智彬 ，黎 勝

（大連理工大學a.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室；b.船舶工程學院，大連 116024）

1 引 言

對復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動響應(yīng)分析，一般根據(jù)所考慮的頻率范圍將分析頻段分為低頻段、中頻段和高頻段，并針對不同頻段采取不同的分析方法。在低頻段，有限元方法得到了廣泛的應(yīng)用。在高頻段，統(tǒng)計能量分析和能量有限元方法等取得了成功的應(yīng)用。而在中頻段，目前基本上都是基于雜交方法[1-7]。雜交方法是基于結(jié)構(gòu)特征波長或是模態(tài)密度將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分為剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件，對剛性構(gòu)件采用有限元建模，對柔性構(gòu)件采用統(tǒng)計能量分析或能量有限元方法建模，求解步驟是在確定柔性構(gòu)件對剛性構(gòu)件的邊界等效阻抗后，首先對剛性構(gòu)件采用有限元法求解得到剛性構(gòu)件的響應(yīng)，并由剛性構(gòu)件響應(yīng)和等效阻抗確定輸入柔性構(gòu)件的功率，再對柔性構(gòu)件采用統(tǒng)計能量分析或能量有限元法求解。目前中頻工作的不同點主要在于求解柔性構(gòu)件對剛性構(gòu)件的等效阻抗時采用的方法不同，中頻振動雜交方法的一個關(guān)鍵問題就是怎樣合理高效地求得柔性構(gòu)件對剛性構(gòu)件的等效阻抗作用，因為其通過附加阻尼、附加質(zhì)量和附加剛度決定了剛性構(gòu)件響應(yīng)的求解準確性，并通過附加阻尼和剛性構(gòu)件響應(yīng)確定的輸入功率決定了柔性構(gòu)件響應(yīng)的求解準確性。鑒于等效阻抗在中頻振動雜交分析方法中的重要性，為了解等效阻抗對柔性構(gòu)件各參數(shù)的敏感程度以及等效阻抗的變化對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，本文以加框板為例對等效阻抗進行了靈敏度分析，并對等效阻抗引起的響應(yīng)變異性進行了分析。

2 計算方法

中頻振動分析中首先要基于結(jié)構(gòu)特征波長或是模態(tài)密度在計算頻帶內(nèi)來劃分剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件。有關(guān)結(jié)構(gòu)特征波長計算和模態(tài)密度計算可參看有關(guān)專著[8-9]。對剛性構(gòu)件，在簡諧激勵力作用下，考慮柔性構(gòu)件等效阻抗作用的有限元形式的運動方程為

式中：ω 為激勵圓頻率；i=（-1）1/2；［M］、［C］和 ［K］分別為剛性構(gòu)件的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；｛x｝為剛性構(gòu)件位移向量；｛F ｝為外激勵力向量；［Mf］、［Cf］和［Kf］分別為柔性構(gòu)件的附加質(zhì)量矩陣、附加阻尼矩陣和附加剛度矩陣。值得指出的是柔性構(gòu)件的附加質(zhì)量、附加阻尼和附加剛度只與柔性構(gòu)件和剛性構(gòu)件邊界連接處的自由度有關(guān)，故其又可通過標量質(zhì)量單元、標量阻尼單元和標量彈簧單元直接定義在剛性構(gòu)件邊界的有限元節(jié)點上。如等效阻抗Z可表示為

式中Z的實部Re（Z）=cf即為附加阻尼，虛部Im（Z）=ωmf-kf/ω即為附加質(zhì)量和附加剛度，計算時可單獨用附加質(zhì)量或附加剛度來表示，本文中用附加質(zhì)量來表示。

在得到所有連接點處的附加阻尼和附加質(zhì)量（剛度）后，通過標量阻尼單元和標量質(zhì)量（彈簧）單元加在相應(yīng)的剛性構(gòu)件有限元節(jié)點上，首先對剛性構(gòu)件進行有限元求解。在得到剛性構(gòu)件的響應(yīng)后，即由剛性構(gòu)件與柔性構(gòu)件連接點處的速度響應(yīng)和相應(yīng)的附加阻尼可得到輸入柔性構(gòu)件的功率Π為

式中：n為剛性構(gòu)件與柔性構(gòu)件連接點的數(shù)目，cfi和vi為連接點i處相應(yīng)的附加阻尼和速度響應(yīng)。得到柔性構(gòu)件的輸入功率Π后，柔性構(gòu)件的響應(yīng)即采用統(tǒng)計能量分析或能量有限元法進行求解。如柔性構(gòu)件的均方速度響應(yīng)為

式中：η和m分別為柔性構(gòu)件的損耗因子和質(zhì)量。

對加框板，Vlahopoulos等[5-6]采用解析方法得到了框板焊接點處的等效阻抗，數(shù)值結(jié)果和實驗結(jié)果的比較表明該方法具有較高的精度。Vlahopoulos等[5]采用解析方法得到的等效阻抗為

類似地可求得等效阻抗對Lx，Ly，ψs，ψmn等各個變量的靈敏度。由于等效阻抗與上述變量都有關(guān)系，存在一定的不確定性，下面對等效阻抗的不確定性引起的響應(yīng)變異性進行分析。由（3）式和（4）式可知，柔性構(gòu)件的均方速度響應(yīng)為

為便于進行變異性分析，將cfi等效為一個點阻抗cf，則上式可表示為

3 數(shù)值算例

本文的計算模型為圖1所示的加框板結(jié)構(gòu)，板長和板寬為1.63m和1.09m，板厚為0.8mm，框由空心矩形截面管組成，框的截面面積為1.1291×10-3m2，截面慣性距為5.7447×10-6m4，結(jié)構(gòu)材料的密度為7850kg/m3，彈性模量為210GPa，泊松比為0.3，結(jié)構(gòu)阻尼為0.02。板和框通過點焊連接，連接點如圖中O所示。計算的頻帶為100-700Hz，在該計算頻帶內(nèi)板和框的特征波長或模態(tài)密度適合于將該結(jié)構(gòu)中的框架劃分為剛性構(gòu)件采用有限元建模，將板劃分為柔性構(gòu)件采用統(tǒng)計能量分析建模。如對板和框均采用有限元進行計算，按一個波長需要劃分6個線性單元，圖1所示的稀疏網(wǎng)格有限元模型在計算頻帶內(nèi)計算框沒有問題，但計算板時滿足一個波長劃分6個單元要求的上限頻率僅為47Hz。需要采用非常密的有限元網(wǎng)格才能達到計算精度要求。所以在將加框板劃分為剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件后，采用（5）式來計算得到柔性板對剛性框的等效阻抗，然后使用稀疏網(wǎng)格基于上述計算方法得到柔性構(gòu)件的均方速度響應(yīng)見圖2，圖2中還給出了使用稀疏有限元網(wǎng)格（自由度數(shù)＝6915）、加密有限元網(wǎng)格（自由度數(shù)＝52533）和上述雜交方法得到的計算結(jié)果?？梢钥吹?，使用稀疏網(wǎng)格的有限元法計算結(jié)果已遠小于加密網(wǎng)格的計算結(jié)果，而使用稀疏有限元網(wǎng)格的雜交法得到了滿意的結(jié)果。

計算板等效阻抗對板長、板寬、密度、靜定模態(tài)和振動模態(tài)等的靈敏度如圖5示，可以看到，板的靜定模態(tài)和振動模態(tài)對板等效阻抗的影響最大，而對板長、板寬和板的面密度的靈敏度影響較小。值得指出的是，令板等效阻抗對板長、板寬、密度、靜定模態(tài)和振動模態(tài)等的靈敏度對激勵頻率的導數(shù)為零可得到其靈敏度在時取得極值，即等效阻抗的靈敏度在激勵頻率為倍的固有頻率時取得極值。

下面對等效阻抗的不確定性引起的響應(yīng)變異性進行分析。假定附加阻尼的不確定性服從正態(tài)分布，將按（5）式計算得到的附加阻尼取為均值，標準差取為均值的10%，則附加阻尼的變異性包絡(luò)圖μ1±3σ1如圖6所示，由附加阻尼的變異性計算柔性板均方速度的變異性μ2±3σ2如圖7所示，可以看到，附加阻尼的變化對板的均方速度響應(yīng)的影響不大。

4 結(jié) 論

柔性構(gòu)件對剛性構(gòu)件的等效阻抗是中頻振動雜交分析方法中的一個關(guān)鍵問題。為了解等效阻抗對柔性構(gòu)件各參數(shù)的敏感程度以及等效阻抗的變化對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，本文以加框板為例對中頻振動分析中等效阻抗的靈敏度以及等效阻抗的不確定性所引起的響應(yīng)變異性進行了理論分析，推導了靈敏度計算公式和響應(yīng)變異性計算公式并進行了數(shù)值計算研究。計算結(jié)果表明：板的振動模態(tài)和靜定模態(tài)對等效阻抗的影響較大，等效阻抗的不確定性對板均方速度的影響較小。

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