耿修林

（南京大學(xué) 商學(xué)院，南京 210093）

符合性整群審計(jì)抽樣的抽樣規(guī)模研究

耿修林

（南京大學(xué) 商學(xué)院，南京 210093）

運(yùn)用抽樣調(diào)查開展審計(jì)活動(dòng)，是現(xiàn)代審計(jì)業(yè)務(wù)組織的一個(gè)基本方向。符合性比例估計(jì)是符合性抽樣推斷的主要內(nèi)容。文章根據(jù)勢函數(shù)與決策規(guī)則的基本原理，對整群審計(jì)抽樣下的符合性比例估計(jì)時(shí)所需要的樣本數(shù)目進(jìn)行了討論，內(nèi)容包括：勢函數(shù)規(guī)則下審計(jì)對象符合性比例估計(jì)整群抽樣時(shí)的樣本容量，決策規(guī)則下審計(jì)對象符合性比例估計(jì)整群抽樣時(shí)的樣本容量等。

符合性抽樣審計(jì)；整群抽樣審計(jì)；抽樣規(guī)模

0 引言

現(xiàn)代審計(jì)業(yè)務(wù)活動(dòng)組織方式的一個(gè)基本方向，就是通過樣本觀察實(shí)施科學(xué)的審計(jì)推斷。符合性審計(jì)抽樣有時(shí)也被叫做屬性審計(jì)抽樣，它著重用于觀察判斷審計(jì)對象總體錯(cuò)誤發(fā)生比率，被審計(jì)單位內(nèi)部控制制度的執(zhí)行及其改進(jìn)情況等。通過經(jīng)常性的符合性抽樣審計(jì)，不僅能督促被審計(jì)單位及時(shí)糾正和完善內(nèi)部控制制度的執(zhí)行，同時(shí)也能為實(shí)質(zhì)性審計(jì)抽樣框定范圍和切入點(diǎn)。

符合性抽樣審計(jì)中，比例是唯一需要關(guān)注的參數(shù)。符合性比例是指在審計(jì)對象集合中，出現(xiàn)某種特征的個(gè)體所占的百分比。從抽樣審計(jì)的角度，符合性比例有總體比例和樣本比例之分。一般地，出于經(jīng)濟(jì)性、時(shí)效性、無系統(tǒng)性偏差的考慮，通常用樣本符合性比例估計(jì)總體符合性比例。

整群審計(jì)抽樣事先將審計(jì)對象全體劃分成若干個(gè)互不交叉的群（組），然后以這些群為單位進(jìn)行抽樣，凡是被抽中的群實(shí)行全面核查。由于這種抽樣方式的抽樣框編制比較容易，并且實(shí)施起來比較靈活，比如可以對某幾類票據(jù)進(jìn)行重點(diǎn)審核，可以集中對某些業(yè)務(wù)活動(dòng)的憑證進(jìn)行清查，也可以對組織內(nèi)部若干個(gè)部門開展財(cái)務(wù)審計(jì)等，因而成為審計(jì)抽樣活動(dòng)經(jīng)常采用的一種抽樣組織方式。

樣本容量又叫抽樣規(guī)模，是抽樣審計(jì)中必須重視的基本問題之一。樣本觀察過多，會(huì)急劇增加審計(jì)成本；樣本觀察也不能過小，否則容易降低樣本審計(jì)推斷精度和可靠性。本文將分別從勢函數(shù)與決策規(guī)則基本原理出發(fā)，著重討論整群審計(jì)抽樣情況下抽樣規(guī)模問題。

1 整群抽樣估計(jì)原理簡要說明

理論研究表明[1]，在整群審計(jì)抽樣中，如果樣本群符合性比例pi是總體群符合性比例PL的無偏估計(jì)，則樣本符合性比例p是總體符合性比例p的無偏估計(jì)，并且用樣本群符合性比例估計(jì)總體符合性比例p的精度為

式中的f為群抽樣比。

如果說以一本本發(fā)票為群抽樣單位，由于每本發(fā)票的張數(shù)相等，那么直接使用上述的符合性比例估計(jì)辦法是可以的?？墒歉嗟臅r(shí)候，比如對某幾類票據(jù)進(jìn)行審查，對某些業(yè)務(wù)活動(dòng)的憑證進(jìn)行清查，那么就有可能出現(xiàn)群大小不相等的情形。如果群與群之間所包含的單位數(shù)相差不多，簡單起見可以用代替Mi，然后按群大小相等進(jìn)行估計(jì)，否則就要采用比率估計(jì)方法。

設(shè)Yij表示第i個(gè)群中第j個(gè)總體單位的審查結(jié)果，i=1,2,…,R；j=1,2,…,Mi，且取值僅為0或 1。 同樣 1表示審計(jì)關(guān)注的事件發(fā)生，0表示審計(jì)關(guān)注的事件沒有發(fā)生。yij為第i個(gè)樣本群的第 j個(gè)單位的審查結(jié)果，i=1,2,…,r；j=1,2,…,mi，且取值只為 0 或 1，另外 M1、M2、…、MR不完全相等，m1、m2、…、mr也不完全相等。對于群單位數(shù)目不相等的情況，樣本符合性比例可定義為

對式(2)進(jìn)行變形

根據(jù)一般抽樣理論[2][3]，由式(4)定義的樣本符合性比例可作為總體符合性比例的一個(gè)近似無偏估計(jì)。此時(shí)，抽樣估計(jì)的方差公式

以“信息技術(shù)應(yīng)用能力”和“發(fā)展測評(píng)”為關(guān)鍵詞在知網(wǎng)檢索，通過文獻(xiàn)分析發(fā)現(xiàn)，目前專家學(xué)者對發(fā)展測評(píng)的關(guān)注較少，研究主要集中在測評(píng)工具和評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的設(shè)計(jì)、測評(píng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與開發(fā)、發(fā)展測評(píng)的應(yīng)用等方面。

2 運(yùn)用deff確定符合性整群審計(jì)抽樣規(guī)模

抽樣設(shè)計(jì)效率（deff）是統(tǒng)計(jì)學(xué)家 L.Kish（1965）提出來的一個(gè)概念，它是指在一次抽樣調(diào)查中采用的抽樣和估計(jì)方法，同其他形式的抽樣調(diào)查抽樣及估計(jì)方法相比，所表現(xiàn)出來的好壞。一般地，作為比較標(biāo)準(zhǔn)的抽樣及估計(jì)方法都選擇簡單隨機(jī)抽樣，因此審計(jì)整群抽樣設(shè)計(jì)效率的計(jì)算公式可以定義成

利用式（6），可在不同審計(jì)抽樣方式下進(jìn)行抽樣規(guī)模的換算，假設(shè)已知整群審計(jì)抽樣設(shè)計(jì)效率和簡單審計(jì)抽樣方式的樣本量，將兩者相乘即可得到整群審計(jì)抽樣的抽樣規(guī)模。

假定抽取r群，每個(gè)群的審計(jì)檢查單位數(shù)目為M，這樣在審計(jì)抽樣規(guī)模rM下進(jìn)行簡單隨機(jī)審計(jì)抽樣符合性比例估計(jì)時(shí)的方差為

將式(1)與式（7）相除，得到整群審計(jì)抽樣符合性比例估計(jì)時(shí)的抽樣設(shè)計(jì)效果[4]

依據(jù)審計(jì)抽樣設(shè)計(jì)效率，可以比照簡單隨機(jī)審計(jì)抽樣勢函數(shù)規(guī)則下符合性比例估計(jì)時(shí)的抽樣規(guī)模，得到對應(yīng)的整群審計(jì)抽樣符合性比例估計(jì)時(shí)的樣本容量計(jì)算公式

同樣，比照簡單隨機(jī)審計(jì)抽樣決策規(guī)則下的抽樣規(guī)模，此時(shí)對離差平方損失函數(shù)情形有

對絕對值損失函數(shù)情形

k'表示樣本符合性比例對總體符合性比例估計(jì)時(shí)絕對值誤差的損失系數(shù)，并假定它能用貨幣單位衡量且是給定的常數(shù)。

3 勢函數(shù)規(guī)則下整群審計(jì)抽樣時(shí)的樣本容量

勢函數(shù)方法是建立在頻率概率思想基礎(chǔ)上的一種抽樣規(guī)模的確定方法，其實(shí)施過程大致為：假定用于對總體符合性比例進(jìn)行估計(jì)的符合性樣本比例統(tǒng)計(jì)量近似服從正態(tài)分布，構(gòu)造出在既定的抽樣極限或允許誤差和置信水平下，估計(jì)誤差的期望和抽樣允許誤差之間的某種函數(shù)方程，并據(jù)此解出抽樣規(guī)模的值。

用Δp表示整群審計(jì)抽樣總體符合性比例估計(jì)時(shí)的允許誤差，在置信水平1-α下，取

在具體確定樣本群的抽取大小之前，如果能借助歷史資料或試抽樣資料對群的符合性比例和總體符合性比例進(jìn)行估計(jì)，然后替代式(13)中的Pi.和P，就可以大致給出樣本群的抽取規(guī)模。

對群大小不相等，此時(shí)勢函數(shù)規(guī)則下的樣本群的抽取數(shù)目為

4 決策規(guī)則下整群審計(jì)抽樣時(shí)的樣本容量

決策規(guī)則在確定整群審計(jì)抽樣規(guī)模的時(shí)候，更進(jìn)一步明確了維護(hù)較高估計(jì)精度的目的，它不僅要求要提高估計(jì)效果，并且把抽樣估計(jì)誤差與由此可能產(chǎn)生的判斷失誤的后悔損失聯(lián)系起來，此外還考慮直接的審計(jì)抽樣費(fèi)用[5]。運(yùn)用決策規(guī)則確定審計(jì)抽樣規(guī)模的基本條件是：由樣本調(diào)查資料做出審計(jì)判斷的失誤的損失可以用貨幣價(jià)值來衡量；由樣本資料進(jìn)行審計(jì)判斷的失誤可以用總體符合性比例估計(jì)的誤差來反映；在審計(jì)判斷失誤損失和估計(jì)誤差之間能夠建立起某種形式的函數(shù)關(guān)系。

取整群審計(jì)抽樣的費(fèi)用函數(shù)為C=C0+C1Mr+C2lnr，其中C0為實(shí)施整群審計(jì)抽樣的固定開支，C1為群內(nèi)單位檢查費(fèi)用，C2為群間檢查費(fèi)用的一般水平。對整群審計(jì)抽樣群間調(diào)查費(fèi)用采用自然對數(shù)線性組合的假設(shè)關(guān)系，這樣做在某種程度上要稍顯合理一點(diǎn)，比如：當(dāng)僅抽取一個(gè)樣本群時(shí)，也就不存在群間調(diào)查費(fèi)用了。在以上假定條件下，根據(jù)決策規(guī)則的一般性做法，可得到整群審計(jì)抽樣時(shí)總費(fèi)用函數(shù)的期望

式（16）采用了離差平方損失函數(shù)，k為用樣本符合性比例估計(jì)總體符合性比例離差平方損失的比例系數(shù)，并假定它能用貨幣單位衡量且為已知數(shù)，l(p)則為審計(jì)樣本判斷損失函數(shù)，f(p,r)表示整群審計(jì)抽樣估計(jì)的總費(fèi)用。

對式（16）求極值，得到總體符合性比例估計(jì)時(shí)樣本群的抽樣數(shù)目

為簡單起見，上面的求解過程中取R-1≈R。

對于群間單位數(shù)目不相等，此時(shí)用群大小的平均值M代替費(fèi)用函數(shù)中的M，可以近似得到群間單位數(shù)目不等時(shí)決策規(guī)則下的最優(yōu)樣本群抽樣規(guī)模

[1]馮士雍,倪加勛,鄒國華.抽樣調(diào)查理論與方法[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1998.

[2]扎庫拉.戈文達(dá)拉玉盧.抽樣理論與方法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[3][美]W.G.科克倫.抽樣技術(shù)[M].張堯庭，吳輝譯.北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，1985.

[4]耿修林,謝兆茹.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[5]Hans Peter Stuger.Asymmetric Loss Functions and Sample Size Determination:A Bayesian Approach[J].Austrian Journal of Statistics,2006,35.

（責(zé)任編輯/亦 民）

O212.2

A

1002－6487（2010）23－0004-03

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究資助項(xiàng)目（09YJAZH041）；全國統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（2008LZ028）