唐仙芝，劉春新

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475003）

n階行列式計(jì)算方法探討

唐仙芝，劉春新

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475003）

行列式計(jì)算的技巧性很強(qiáng)．文章探討了行列式的幾種特殊計(jì)算方法，涉及范得蒙行列式、數(shù)學(xué)歸納法、拉普拉斯定理、方陣特征值與行列式的關(guān)系等內(nèi)容．

行列式；拉普拉斯定理；范得蒙行列式

n階行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中的一個(gè)重要問(wèn)題，也是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題，其技巧性很強(qiáng)．理論上任何一個(gè)n階行列式都可以按定義計(jì)算，但是當(dāng)n較大時(shí)，直接按定義計(jì)算而不借助于計(jì)算機(jī)幾乎是不可能的．因此，探尋n階行列式的計(jì)算方法是十分必要的．本文給出n階行列式的幾種特殊計(jì)算方法，它們基本上可以解決一般的n階行列式的計(jì)算問(wèn)題．

1 利用范得蒙行列式進(jìn)行計(jì)算

例1[1]計(jì)算行列式Dn+1，其中

分析：該行列式與范得蒙行列式很相似，可以先利用行列式的性質(zhì)把它變?yōu)榉兜妹尚辛惺皆龠M(jìn)行計(jì)算．通過(guò)相鄰兩行的交換，先把最后一行交換至第一行（交換n次），再將新的最后一行交換至第二行（交換n?1次），如此繼續(xù)下去，經(jīng)過(guò)n(n + 1)/2次交換后，原行列式變?yōu)榉兜妹尚辛惺剑?/p>

解：由范得蒙行列式的性質(zhì)得

2 利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行計(jì)算

數(shù)學(xué)歸納法多用于證明題．用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算 n階行列式，需要對(duì)同結(jié)構(gòu)的低階行列式進(jìn)行計(jì)算，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并得出一般性結(jié)論，然后再用歸納法證明其正確性．

例2[2]計(jì)算行列式Dn+1，其中

3 利用拉普拉斯定理進(jìn)行計(jì)算

拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展開(kāi)定理的推廣．在應(yīng)用拉普拉斯定理時(shí)，為了計(jì)算上的方便，一般先利用行列式的性質(zhì)對(duì)原行列式進(jìn)行變形，再按含零多的k行或k列展開(kāi)．

例3 計(jì)算行列式Dn，其中

分析：如果從第3行開(kāi)始每一行都減去第2行，再?gòu)牡?列開(kāi)始每一列都加到第2列，可使行列式中更多的元素為零．

解：先按上述分析對(duì)行列式進(jìn)行變換，

再由拉普拉斯定理可得

4 利用方陣特征值與行列式的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

例4 計(jì)算行列式Dn，其中

顯然bEn的n個(gè)特征值為b，b，…，b，而An的n個(gè)特征值為故A的特征值為

由方陣特征值與對(duì)應(yīng)行列式的關(guān)系知

5 利用特殊公式進(jìn)行計(jì)算[3]

設(shè)α，β 是方程 x2? ax + bc=0的兩個(gè)根，則

我們先證明這個(gè)特殊公式：將Dn按第1行展開(kāi)，再將展開(kāi)式中的第2個(gè)行列式按第1行展開(kāi)，可得

令 α+ β=a，α β=bc，即α，β 是方程 x2? ax + bc=0的兩個(gè)根，則

例5[1]計(jì)算行列式Dn，其中

6 通過(guò)構(gòu)造新行列式進(jìn)行計(jì)算

例6[4]計(jì)算行列式Dn，其中i≠j時(shí)ija≠a，

解：在Dn中加1行1列可配成范得蒙行列式，即

由于Dn是多項(xiàng)式 Dn+1(y)中 yn?1的系數(shù)的相反數(shù)，所以

例7[5]若a≠b，計(jì)算行列式

解：構(gòu)造新行列式例8[5]計(jì)算循環(huán)行列式

由上述3例可見(jiàn)，為簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，有時(shí)需要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造一個(gè)新行列式．

[1] 王品超．高等代數(shù)新方法：下冊(cè)[M]．徐州：中國(guó)礦業(yè)出版社，2003．

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組．高等代數(shù)[M]．2版．北京：高等教育出版社，1998．

[3] 徐甫華．線性代數(shù)典型題精講[M]．大連：大連理工大學(xué)出版社，2002．

[4] 錢吉林．高等代數(shù)題解精粹[M]．北京：中央民族大學(xué)出版社，2002．

[5] 徐仲．線性代數(shù)典型題解集[M]．2版．西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2000．

〔責(zé)任編輯 張繼金〕

Calculation of n-order Determinant

TANG Xian-zhi,LIU Chun-xin
(Yellow River Conservancy Technical Institute,Kaifeng Henan 475001,China)

The determinant calculation relies much more on techniques. Some special methods of calculating the determinant are discussed,which relates the relationship between determinant and Van De Monte,mathematical induction,Laplace theorem as well as matrix eigenvalue. the of the content

determinant; Laplace theorem; Van De Monte determinant

O151.2

A

1006-5261(2010)05-0004-03

2010-03-25

唐仙芝（1967―），女，河南開(kāi)封人，副教授．