田大可，劉榮強，鄧宗全，郭宏偉

(哈爾濱工業(yè)大學 機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

可展開衛(wèi)星天線是進行移動通信、深空探測和射電天文等空間科學任務必備的物理手段［1-2］.隨著人們對信息多樣化、復雜化的需求變得越來越迫切，可展開衛(wèi)星天線正向著大型化、高精度化、輕量化方向發(fā)展，并且已經(jīng)成為空間可展開結構中最活躍的一個分支.

按照天線工作表面的組成介質可將可展開衛(wèi)星天線分為3類:固體反射面可展開天線、充氣式反射面可展開天線、網(wǎng)面可展開天線［3］.其中，網(wǎng)面可展開天線由于其展開精度高、可實現(xiàn)較大的展開口徑、技術相對成熟等優(yōu)點正成為研究的熱點.由六棱柱單元組成的構架式可展開天線除具有網(wǎng)面可展開天線共有的優(yōu)點，還具有很高的靈活性，天線采用模塊化思想設計，桿件類型大大減少，通過改變模塊的尺寸或數(shù)量可以適應通信中對口徑大小的要求，結構拓撲容易.并且由于天線由若干個相同的模塊組成，可以在完成每個模塊的測試后再進行總的裝配.因此，大大降低了安裝和調試的難度，縮短了安裝時間，加工成本也大大降低［4］.

2006年底，日本國家空間發(fā)展局(NASDA)發(fā)射的工程試驗衛(wèi)星 ETS-Ⅷ上攜帶了2架19 m×17 m的構架式可展開天線，該天線能夠與手機大小的地面移動終端進行衛(wèi)星通信.構架式天線由若干個相同的模塊組成.每個模塊包括背部支撐桁架(背架)和金屬反射網(wǎng)2個部分［5］.由于反射器表面必須是拋物面形狀，相同的背架組成一個球面，因而兩者之間存在形狀的差異.目前的文獻一般只指出解決此問題需要通過擬合方法，并沒有給出其采用的方法和分析過程［6-8］.本文根據(jù)構架式可展開天線的特點，基于微分幾何及最小二乘法，提出一種工作表面母線的擬合方法.

1 模塊的結構與球面天線背架

1.1 模塊的結構及其展開原理

構架式可展開天線模塊的結構如圖1所示，金屬反射網(wǎng)是天線的工作部分，它下面的張緊索網(wǎng)將金屬反射網(wǎng)張緊成工作所需的狀態(tài).金屬反射網(wǎng)的形面精度的高低直接影響天線工作的好壞.背架是模塊的骨架，背架的形狀類似于一個截頂?shù)牧忮F，它可以提供高的剛度，展開呈六棱柱狀態(tài)，每個模塊的背架由從中心桿發(fā)散出的6個相同的基本單元組成，具體如圖2.

背架的展開原理與傘的張開原理類似［1］.背架由鉸鏈、彈簧、電機和各種桿件組成.伸展力由位于每個模塊中心桿上的彈簧來提供［7］，滑塊與彈簧相連，能在中心桿上上下移動.展開的速度由電機釋放繩索來控制.模塊在收攏狀態(tài)時，彈簧呈完全伸展狀態(tài)，它將滑塊推至頂端，同時滑塊帶動斜腹桿，使桿件向中心桿聚攏，實現(xiàn)收攏.當天線展開時，電機將與滑塊相連的繩索拉緊，滑塊移動到下端，天線完成展開.

圖1 天線的整體與局部結構Fig.1 The whole and part structure of antenna

圖2 基本單元的結構組成Fig.2 Structure composition of basic frame

1.2 構架式可展開天線的類型

衛(wèi)星天線大多屬于拋物面型天線，按工作表面被截區(qū)域不同，拋物面天線分為正饋型和偏饋型［9］.旋轉拋物面被與其同軸的圓柱面所截而得到的那部分曲面是正饋拋物面天線;旋轉拋物面被與其旋轉軸平行但不同軸的圓柱面所截得的那部分曲面是偏饋型天線，如圖3所示.由于偏饋天線的工作表面沒有被饋源遮擋，在天線口徑、制造精度、工作頻率相同的前提下，偏饋天線的效率要優(yōu)于正饋天線.正是由于偏饋天線的這一優(yōu)點，構架式等很多星載天線都采用這種類型.

圖3 拋物面天線類型Fig.3 Type of parabolic antenna

1.3 可展開球面天線背架與工作表面關系

背架位于金屬反射網(wǎng)的背部，是金屬反射網(wǎng)重要的支撐結構.圖4為構架式可展開天線的剖面示意圖.由于構架式天線采用模塊化思想，各模塊具有幾乎相同的結構參數(shù)，因此背架與支撐桿連接的點位于同一個球面上.而作為天線工作表面的金屬反射網(wǎng)必須是拋物面形狀，這就導致球面背架的節(jié)點與工作表面存在誤差，兩者的差異通過支撐桿來調節(jié)，誤差越大，需要的支撐桿越長.

考慮到天線整體結構的穩(wěn)定性，支撐桿不易過長，根據(jù)文獻［6，10］，模塊邊長、模塊高度、支撐桿長度的比值為20∶5∶1.因此需要保證上弦桿上的節(jié)點所在的球面盡可能與天線工作表面相接近.這就需要尋找一種合適的擬合方法來縮小兩者的差異，并且保證2個曲面間最大的誤差小于支撐桿的長度.在對工作表面進行擬合時，首先要求出工作表面的方程，再通過擬合的方法，求出背架節(jié)點所在球面的球心坐標及半徑.這些數(shù)據(jù)可為天線背架的結構設計提供理論基礎.

圖4 背架與工作表面關系Fig.4 Relationshipbetween truss structure and working surface

2 天線工作表面的擬合方法

2.1 母拋物面母線方程的確定

天線工作表面為旋轉拋物面，天線具有對稱性，可以將問題簡化為對拋物線的圓弧曲線擬合.由于工作表面是從母拋物面上切割的一部分，因此需先求出母拋物面的母線方程.如圖5所示為母拋物面母線為工作表面母線.母拋物面母線的焦距與天線的有效口徑的比值通常取f/D＞0.25，在這種情況下饋源位于口徑面外側，照射更加均勻.根據(jù)文獻［7，11-12］，構架式可展開天線通常取f/D=0.8.

圖5 偏饋天線示意圖Fig.5 Schematic diagramof offset antenna

天線工作表面是一個空間曲面，可以認為它是一個由以包絡矩形［13］的長邊為母線繞旋轉軸旋轉得到的曲面，同時母線應滿足拋物線方程.即存在一個由二維平面到三維曲面的變化，反之亦成立.構架式可展開天線組成模塊的數(shù)量通常為3、7、14等［1］.以7個模塊組成的構架式天線為例，如圖6所示.

圖6 天線平面與空間狀態(tài)Fig.6 Plane state and space state of antenna

圖6中，A和B分別為包絡矩形的長邊和短邊，模塊的邊長為l，D1表示天線展成平面時的有效口徑，可見天線繞旋轉軸旋轉后的尺寸比平面狀態(tài)時要小，根據(jù)文獻［4，12］，取天線有效口徑 D=(0.87 ～0.97)D1.

由于天線以長邊作為母線進行旋轉，因此，只要保證對長邊的擬合精度即可保證對天線的擬合精度.圖7給出了3種組合的平面矩形包絡圖.

圖7 不同數(shù)量模塊的矩形包絡圖Fig.7 Rectangular envelope diagramof different amount ofmodules

根據(jù)三角函數(shù)，可求得3種模塊組合時包絡矩形的長邊、短邊及平面時的有效口徑，如表1.

表1 包絡矩形及平面時有效口徑參數(shù)Table 1 Parameters of enclosure rectangle and effective aperture in plane state

母拋物面母線方程的求解過程如圖8所示，其方程可表示為

圖8 母拋物面母線方程求解框圖Fig.8 Solving steps ofmother paraboloid＇s generatrix equation

2.2 工作表面母線端點的確定

在母拋物面母線上取弧長為A的一段曲線，曲線的2個端點分別為P1和P2，假定天線的偏距為y0，則工作表面母線起點P2的坐標(x0，y0)為已知，因此只要求得終點P1的坐標(x1，y1)即可確定工作表面的母線方程，如圖9所示.

由y2=4fx可知:

由式(3)即可求出另一個端點(x1，y1).天線的物理口徑為

天線的利用率為

圖9 工作表面母線參數(shù)Fig.9 Parameters ofworking surface generatrix

2.3 天線拋物線的擬合方法

圓弧擬合的一般方法有三點共圓法、雙圓弧法等.三點共圓法是圓弧擬合最初始的方法，簡單而快捷，但曲線上3個節(jié)點位置的選取對擬合精度的影響很大，由于擬合出的圓弧通過給定點，在未給定點處誤差較大，實際上應用很少.雙圓弧法雖然精度較高，但計算參數(shù)多，計算量大，擬合效率低，實際中也很少應用［14-15］.利用最小二乘法對天線拋物線進行擬合，擬合的曲線不需要通過所有的離散點，它能夠很好地反應離散點的變化趨勢，并且可以保證擬合誤差的平方和達到最小.同時，擬合出的曲線在拋物線的后部，符合構架式天線對背架位置的要求.因而，本文采用最小二乘法對天線拋物線進行擬合.

在進行圓弧擬合時，最終要得到的是擬合圓弧的圓心坐標、圓弧半徑以及擬合誤差.如圖10所示，設待擬合拋物線方程為y2=4fx，x0≤x≤x1，沿x軸方向，將該拋物線離散成步長相等的若干個離散點，設任意離散點坐標為(xi，yi)，i=1，2，…，n.擬合圓的標準方程為

式中:(a，b)為圓心坐標，r為圓弧半徑.

設c=a2+b2-r2，將式(6)展開并整理得

拋物線上某點到擬合圓弧中心的距離ri與擬合圓弧半徑r之差即為擬合誤差，則離散點i對最小二乘圓弧的誤差為

圖10 拋物線的圓弧擬合Fig.10 Parabolic fitting with arc

根據(jù)最小二乘法的計算原則，使擬合誤差的平方和為最小，由求多元函數(shù)極值的必要條件有

由此建立的是非線性方程組，直接求解比較困難.經(jīng)過分析，ri和 r很接近［15-16］，所以 r2i-r2=(ri+r)(ri-r)≈2rδi，可以看出徑向平方差(r2i-r2)與δi次數(shù)相同，只是相差一個系數(shù)，可以認為兩者相等價，以(r2i-r2)代替δi可以解決上述問題，令

同理，再對 a、b、c求偏導并整理得

通過式(11)即可求出a、b、c這3個參數(shù)的值，這樣就可以求得擬合圓弧的圓心坐標及圓弧半徑.

2.4 拋物線擬合的誤差修正

由于最后擬合出的圓弧與原拋物線之間的差異是由支撐桿來調節(jié)的，因此需要將得到的離散點的擬合誤差與許用的誤差［δ］即支撐桿的長度進行比較.由于支撐桁架在天線工作表面的背部，因此需要重點考慮 δi?(-δmax，0).如果|- δmax|≤［δ］，則擬合結果滿足精度要求.否則，需要對擬合曲線進行修正.

圖11 誤差修正Fig.11 Error correction

如圖11所示，在擬合曲線段內(nèi)，計算所有點的誤差，在誤差最大點處，沿徑向移動，滿足:

式中:-δmax表示拋物線背部的最大誤差，Δl表示移動距離.

從式(12)及圖11可以看出移動距離越大，需要的支撐桿長度越短，結構越穩(wěn)定，但球面背架位于工作表面后部的部分將減少，有效口徑會隨之減小，天線的工作效率會降低，所以保證在誤差最大點處移動后的距離等于支撐桿長度即可.

移動的方向為

式中:θ為徑向與x軸的夾角，(xmax，ymax)為誤差最大點的坐標.

修正后，擬合圓弧的圓心坐標為(a+Δl cosθ，b-Δl sin θ)，圓弧的半徑不變，仍為 r.

3 擬合方法算例

本文用3種不同數(shù)量的模塊組合對具有相同口徑要求的天線進行了工作表面擬合.天線的參數(shù)見表2.

表2 天線參數(shù)Table 2 Parameters of antenna

根據(jù)上述方法，計算得到包絡矩形、母拋物面母線方程、起點、終點、擬合圓弧圓心、半徑等參數(shù)，見表3.并得到擬合曲線，如圖12所示.

表3 擬合后得到的天線參數(shù)Table 3 Antenna parameters after fitting

圖12 曲線擬合圖Fig.12 Curve fitting

圖13 擬合誤差曲線Fig.13 Curves of fitting error

表4 擬合誤差對比Table 4 Comparison of fitting error

從表3及圖12可以看出:3種擬合的曲線均能夠反映母線的變化趨勢.在各自所擬合的母線段內(nèi)圓弧的中部均在母線的左側即背架在工作表面的后部，符合設計要求.設計一個相同口徑的天線時，7個模塊組成的天線所需的包絡矩形的面積最小，并且其利用率最高(81.0%)，其次為 14個模塊(74.4%)，3 個模塊的利用率最低(63.3%).分析誤差時，首先需要研究在母線中部誤差最大點的誤差值.得到3種組合的最大誤差，見表4，它們均小于各自的許用誤差，不需要修正.其次，考慮整個擬合段內(nèi)各點的誤差值，如圖13所示.

對圖13中的3條曲線進行誤差分析，得到它們的均方根值分別為22.9、11.1、14.2 mm.可見，7 個模塊的均方根值最小，說明它的誤差曲線離散性最小，曲線的擬合精度最高.

4 結論

本文針對構架式可展開天線拋物面形工作表面與球形支撐背架形狀差異的問題進行了研究，根據(jù)背架的結構特點及展開原理，分析了問題產(chǎn)生的原因，提出了一種工作表面母線的擬合方法，并通過算例對該方法進行了驗證，得到如下結論:

1)進行誤差修正時，沿最大誤差點處法線方向移動的距離越大，需要的支撐桿長度越短，結構越穩(wěn)定，但天線有效口徑越小，因此，移動距離不宜過大，保證修正后的距離等于支撐桿長度即可.

2)對同一口徑的天線進行設計時，由7個模塊組成的天線所需包絡矩形的長邊最短，天線的利用率最高，擬合誤差最小.

3)算例表明3種組合的最大的擬合誤差均小于各自的許用誤差，不需要進行修正.本文方法能夠較好地實現(xiàn)對構架式可展開天線工作表面母線的擬合，可為構架式可展開天線背架的結構設計提供理論基礎.

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