姚志遠，張建輝，趙淳生

(南京航空航天大學 精密驅(qū)動研究所，江蘇 南京 210016)

超聲電機因具有結(jié)構(gòu)簡單、直接驅(qū)動、重量扭矩(推力)比大、動子慣性小、響應快、斷電自鎖、可控制性好和定位精度高等優(yōu)點，在航空航天、儀器儀表和精密驅(qū)動等領(lǐng)域有著重要的應用前景.它的研究受到廣泛關(guān)注［1］.目前超聲電機研究主要集中在新型結(jié)構(gòu)設(shè)計、動力學建模、運行與精確定位控制以及穩(wěn)定性和運行壽命預估等領(lǐng)域［2-6］.

定、轉(zhuǎn)子接觸模型是動力學建模的重要內(nèi)容，現(xiàn)有的模型利用線性彈簧模型描述定子和轉(zhuǎn)子的相互接觸［7］，或利用狀態(tài)方程建立非線性接觸模型［8］，或利用Kelvin粘彈性模型建立的接觸模型［9］，考慮了Slip現(xiàn)象［10］.上述定、轉(zhuǎn)子之間的接觸模型的研究是建立在定、轉(zhuǎn)子為光滑的接觸面的假設(shè)下.它們能描述定子如何通過摩擦層將能量輸送給轉(zhuǎn)子，但不能反映定、轉(zhuǎn)子摩擦作用下摩擦層內(nèi)部和表面的應力分布和摩擦作用的運動方式.實際的定、轉(zhuǎn)子接觸表面是粗糙的，表面粗糙度對定、轉(zhuǎn)子接觸的影響未被考慮.目前尚未檢索到考慮接觸表面微觀力學的定、轉(zhuǎn)子模型方面的研究成果，以及粗糙表面相互作用力學特性的研究報道.

研究表面粗糙度對接觸的影響規(guī)律有隨機統(tǒng)計［11-12］和分形幾何兩類方法［13-14］.分形幾何方法不依賴于測試儀器的測量精度，能夠更好地分析接觸變形量隨著接觸壓力變化的規(guī)律及其力學特性.

本文利用分形幾何表征摩擦層表面的表面形貌;并通過實驗確定摩擦材料構(gòu)成的半球體的相對變形、相對接觸面積和相對壓力之間的函數(shù)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，建立考慮表面粗糙度影響的定、轉(zhuǎn)子接觸微觀力學模型.利用該力學模型分析實際接觸點數(shù)、實際接觸面積隨接觸壓力變化的規(guī)律.研究有助于建立超聲電機的接觸模型.

1 超聲電機結(jié)構(gòu)

圖1所示為Φ60行波超聲電機結(jié)構(gòu)圖.它主要是由定子、轉(zhuǎn)子、頂蓋、轉(zhuǎn)軸及底座等組成.壓電陶瓷元件與定子粘接成一體，而轉(zhuǎn)子在與定子接觸的環(huán)形面上附著一層復合材料的摩擦層.

圖1 Φ60行波超聲電機結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure diagramof theΦ 60 travelling wave ultrasonic motor

在壓電陶瓷元件上施加交變電場，激發(fā)定子產(chǎn)生相位差為π/2的兩相駐波，疊加后形成行波.振動中的定子表面質(zhì)點形成橢圓運動，在預壓力作用下，通過定、轉(zhuǎn)子之間的摩擦作用將定子表面質(zhì)點的微觀振動轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)子的宏觀轉(zhuǎn)動，并驅(qū)動負載.

本研究是以Φ60行波超聲電機的定、轉(zhuǎn)子之間的摩擦為研究對象.為了簡便，文中把Φ60行波超聲電機也稱之為超聲電機或者電機.

2 摩擦層表面的形貌模擬

運行的超聲電機需要在定、轉(zhuǎn)子之間施加預壓力，其預壓力在 20～35 kg，定子表面的振幅在0.4～1.0 μm之間.而摩擦層表面的粗糙度 Ra在0.4～1.2 μm，Rz在2.0 ～7.0 μm之間.因此粗糙表面的摩擦特性影響超聲電機的運行特性.

2.1 實驗儀器和試件

采用華中科技大學研制的LI型接觸式表面輪廓測量儀測試定、轉(zhuǎn)子接觸表面的粗糙度.定子表面為磷青銅(Cu)，轉(zhuǎn)子表面為聚四氟乙烯(PTFE)基摩擦材料，其中Cu的維氏硬度為Hv240，彈性模量為112 GPa;摩擦材料的維氏硬度為Hv10～12，彈性模量為0.6 GPa.通過測試摩擦材料表面輪廓的分形維為 1.13，特征測度系數(shù)為2.60 ×106.

2.2 表面模擬

圖2所示為利用分形幾何原理所進行描述的超聲電機轉(zhuǎn)子上粘貼摩擦材料表面的表面輪廓線.粗糙表面具有分形特征，該分形特征能夠確定地、唯一地通過分形幾何來描述.粗糙表面的輪廓線 用Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)表示為［15］

式中:L為采樣長度，D為分形維數(shù)，G為特征測度系數(shù)，γ為大于1的常數(shù).

圖2 摩擦材料表面的模擬輪廓線Fig.2 The simulated surface contour of the friction material

3 單個微凸體的接觸模型和實驗

3.1 單個微凸體的接觸模型

粗糙表面的微凸體具有復雜的幾何形狀，本文假設(shè)微凸體是由不同半徑的半球體構(gòu)成，研究微凸體與剛性平面的相互接觸.Hert接觸模型是經(jīng)典接觸力學的基礎(chǔ).基于經(jīng)典力學模型，Bowden和Tabor等人［16］研究金屬表面接觸的彈、塑性變形，但是不能用描述高分子材料同金屬表面的相互接觸.本文首先研究聚四氟乙烯基摩擦材料的半球體，在無限大剛性平面的擠壓下，半球體的變形量和接觸面積隨接觸壓力之間的關(guān)系.

考慮半徑為r的半球體，在壓力p的作用下，半球體的變形量為w，接觸面的面積為a.圖3為半球體在接觸壓力作用的變形示意圖.假設(shè)半球體變形后為一平臺.其接觸面積與變形量、球的半徑之間的幾何關(guān)系為

定義:相對面積ar=a/r2，相對變形量wr=w/r，相對應力σr=(p/a)/r，相對壓力pr=σrar.由定義得到

圖3 剛性平面和彈塑性半球接觸示意圖Fig.3 The schematic diagramof the rigid plane and elastic-plastic hemispheroid contact

3.2 實 驗

實驗分別取半徑為16.04、11.92 mm的6個聚四氟乙烯半球.測試在不同壓力下半球的相對變形量和相對接觸面，其測試結(jié)果如圖4所示.

圖4表示相對變形量隨相對壓力變化的規(guī)律.兩組不同半徑的相對變形量隨相對壓力變化的規(guī)律是一致的.這表明，相對變形量隨著相對壓力變化的規(guī)律與半徑無關(guān).

由圖4經(jīng)過三次樣條插值得到反映相對壓力隨著相對變形量變化的函數(shù)f(wr)相應的函數(shù)曲線，如圖5所示.

由圖5可知，在0＜wr≤0.05時，半球剛剛受到壓力，由于接觸面很小，相對壓力隨著相對變形量變化的變化率很小;在0.05＜wr≤0.12時，隨著接觸面積的增加，它們的變化率增大，為常數(shù);在0.12 ＜wr≤0.22時，隨著壓力的進一步增加，材料產(chǎn)生蠕變，它們的變化率減小.在wr＞0.22時，半球結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞.

圖4 相對變形量隨相對壓力變化的規(guī)律Fig.4 The laws of the relative deformation with the relative pressure

圖5 相對壓力隨相對變形量變化的函數(shù)Fig.5 The function of the relative pressure with the relative deformation

4 微觀力學模型

4.1 力學模型

定、轉(zhuǎn)子接觸是在Oxy平面.為了簡化計算，考慮Oxy平面的正方形區(qū)域，認為在該區(qū)域內(nèi)微凸體排列成n×n的方陣，并假設(shè)其一行或一列上的接觸壓力為Pl，那么在整個正方形的區(qū)域上的接觸壓力為nPl.取一行微凸體，沿行的方向作剖切面，其剖切面的輪廓線可由公式(1)表示.

假設(shè)定、轉(zhuǎn)子在接觸層上一行n個微凸體，每個微凸體為半徑不等的半球，它們的半徑為相對壓力為，相對變形為

如果在整個正方形的區(qū)域上所受的總壓力為P，那么

事實上，在定、轉(zhuǎn)子的相互接觸中，接觸壓力(預壓力)是給定的，摩擦層表面的輪廓線也是知道的(如式(1)).如果能夠從式(5)解出{wrk}nk=1，就能夠計算出總的接觸面積:

4.2 數(shù)值計算

計算轉(zhuǎn)子摩擦層在預壓力下的變形量、接觸點數(shù)和接觸面積.

轉(zhuǎn)子摩擦層是由聚四氟乙烯基摩擦材料構(gòu)成.其微凸體的相對壓力隨著相對變形量變化的函數(shù)由圖5所示.摩擦層為內(nèi)徑為55 mm，外徑為58 mm，表面面積為266.25 mm2.仿真計算的正方形的區(qū)域為3.0 ×3.0 mm2.實際表面的壓力、接觸點數(shù)和接觸面積是后者相應量的29.6倍.

具體算法如下:

1)給定摩擦層在剛性平面作用下的變形量w;

2)通過輪廓線函數(shù)式(1)求出輪廓線與剛性平面等高的點{xk}，并從中確定其微凸體所在的區(qū)域為微凸體的個數(shù).

3)通過函數(shù)式(1)在區(qū)間［x1k，x2k］上的函數(shù)值，插值出與其微凸體等效的半球體，并得到半球體的半徑rk和變形量wk.

4)由定義計算出相對變形量wrk，并由式(5)計算出總的壓力.

5)由式(6)計算出總的接觸面積.

圖6給出了電機摩擦層的變形量隨預壓力變化的規(guī)律.相應的多項式回歸公式為

圖7給出了定、轉(zhuǎn)子接觸的接觸面積隨摩擦層變形量變化的規(guī)律.相應的多項式回歸公式為

圖8給出了定、轉(zhuǎn)子接觸的實際接觸面積隨預壓力變化的規(guī)律.相應的多項式回歸公式為

圖6 摩擦層變形量隨壓力變化的函數(shù)Fig.6 The function of the deformation with the pressure for the friction layer

圖7 摩擦層接觸面積隨變形量變化的函數(shù)Fig.7 The function of the contact area with the deformation for friction layer

圖8 摩擦層接觸面積隨總壓力變化的函數(shù)Fig.8 The function of the contact area with total pressure for friction layer

計算結(jié)果表明，定、轉(zhuǎn)子接觸面積隨預壓力的變化近似為線性變化規(guī)律.當預壓力在200～350 N范圍時，實際接觸面積在62～88 mm2.實際接觸面積在名義接觸面積的三分之一之內(nèi).

5 結(jié)論

本文利用Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)描述摩擦材料表面的表面輪廓，并建立了相應的接觸模型，其模型的數(shù)值計算表明:

1)工作中的Φ60行波超聲電機其摩擦層的變形量在0.6～1.0 μm之間.

2)摩擦層隨接觸壓力的變化呈1/3冪次的變化規(guī)律.

3)接觸面積隨摩擦層變形量的變化呈現(xiàn)3次多項式的變化規(guī)律.

4)定、轉(zhuǎn)子接觸面積隨預壓力的變化近似為線性變化規(guī)律.

5)當預壓力在200～350 N范圍時，實際接觸面積在62～88 mm2.實際接觸面積在名義接觸面積的三分之一之內(nèi).

上述分析反映實際超聲電機定、轉(zhuǎn)子接觸的狀況，研究有助于建立超聲電機動力學模型.

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