秦麗華 樊小琳 劉 艷(.昌吉學(xué)院初教院 新疆 昌吉 800;

2.新疆工業(yè)高等?？茖W(xué)校 新疆 烏魯木齊 830091; 3.新疆建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830054)

非自治無時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性

秦麗華1樊小琳2劉 艷3(1.昌吉學(xué)院初教院 新疆 昌吉 831100;

2.新疆工業(yè)高等?？茖W(xué)校 新疆 烏魯木齊 830091; 3.新疆建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830054)

本文利用均值條件研究了N種群非自治無時滯的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性.并給出了一個數(shù)值例子來驗證得到的結(jié)果。

Lotka-Volterra競爭系統(tǒng);均值條件;持久性;有界性

一、引言

在研究生態(tài)學(xué)中,人們最關(guān)注的是生物種群的有界性、持久性、滅絕性和全局漸近穩(wěn)定性。研究生態(tài)系統(tǒng)中種群有界、持久,種群滅絕的問題具有生物學(xué)意義和現(xiàn)實重要性。眾所周知,Lotka-Volterra模型在生物數(shù)學(xué)中具有十分重要的理論和現(xiàn)實意義,由此成為該領(lǐng)域的重要課題之一。最近二十年來,國內(nèi)外發(fā)表了大量關(guān)于Lotka-Volterra系統(tǒng)的文章,而這方面的專著也陸續(xù)出現(xiàn),并且得到了很多重要的、有意義的結(jié)論。

文獻[1-2]中的工作都是針對自治系統(tǒng)而言的,但是現(xiàn)實世界中種群的增長率總是隨著時間不斷變化的,即種群增長率ak不是常數(shù),而是時間t的函數(shù)ak(t)。鑒于此,許多研究者針對具有時變增長率的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng),討論了種群的持久性、滅絕性和全局漸近穩(wěn)定性,得到了許多較好的結(jié)論,見文獻[3-4]。

在文獻[4]中,作者ShairAhmad和Alan C.Lazer研究了如下n種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)

這里N≥2,種群增長率ak(t)是定義在的有界函數(shù)并且具有嚴格正的上下界,常數(shù)競爭率bkj非負并且bk>0對任意的k=1,2,…,N.

在研究生態(tài)模型過程中,認為生物種群之間的競爭率是常數(shù)也是不合理的,我們應(yīng)該考慮種群間的時變競爭因素和種群自身的時變密度制約因素。從數(shù)學(xué)角度講,考慮了時變關(guān)系的生態(tài)系統(tǒng)就是所謂的非自治生態(tài)系統(tǒng)。目前,關(guān)于非自治Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的研究工作很多,主要集中于討論種群的持久性,滅絕性和全局漸近穩(wěn)定性(見文獻[5-6])。但是關(guān)于利用均值條件來討論種群的有界性和持久性的研究結(jié)果并不多見。本文利用均值條件討論更一般的非自治無時滯Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性。

本文的主要結(jié)構(gòu)如下,第一節(jié)引言中較全面的綜述了Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)在均值條件下種群持久、種群滅絕和全局漸近穩(wěn)定性;第二節(jié)介紹了本文要用到的定義、假設(shè)及引理;第三節(jié)利用均值條件研究了N種群非自治無時滯的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的有界性和持久性;第四節(jié)給出了一個數(shù)值例子來驗證得到的結(jié)果。

二、模型描述、基本假設(shè)和定義

考慮如下n種群非自治Lotka-Volterra競爭系統(tǒng):

其中i∈N={1,2,…n},xi(t)表示第i種群在時刻t的密度,ai(t)表示第i種群在時刻t的內(nèi)稟增長率,bij(t)表示第i種群和第j種群之間的競爭系數(shù)。

為了研究方便引入如下記號:

對于定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(t),記:

顯然此系統(tǒng)存在唯一解x(t)=(x1(t)…,xn(t)),易證明解是正的,即xi(t)>0,i∈N

定義2.1:設(shè)(x1,x2,…xn)是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件為xi(0)=Φi>0(k=1,2,…n)的解,稱系統(tǒng)(1)是持久的,如果存在正常數(shù)m和M使得

三、主要結(jié)論

定理1:在假設(shè)(H1)下,系統(tǒng)(1)以(4)為初始條件的解x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))滿足如下不等式

用反證法比較容易證明定理1的結(jié)論,這里省略證明。

定理2:在假設(shè)(H1)下,系統(tǒng)(1)以(4)為初始條件的解x(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))滿足

用反證法比較容易證明定理2的結(jié)論,這里省略證明。

定理3:在假設(shè)(H1)和(H2)下,系統(tǒng)(1)以(4)為初始條件的解

這個定理的證明需證明如下命題:

命題1:若定理3的結(jié)論不成立,那么存在系統(tǒng)系統(tǒng)(1)的以(4)為初值的解u(t)=(u1(t),u2(t),…un(t))以及存在集合N的最大非空真子集J滿足

命題3:假設(shè)定理3的結(jié)論不成立,記L=NJ,那么存在常數(shù)ε>0使得對任意的k≥1和l∈L,有

命題4:假設(shè)定理3的結(jié)論不成立,那么對任意的l∈L必存在常數(shù)xl使得

證明:根據(jù)定理1,存在M>0使得對任意的t≥0和l∈L有

命題4:證明完畢。

下面用反證法證明定理3,假設(shè)定理3的結(jié)論不成立,那么根據(jù)命題1-4 知, 存在集合N的子集L,正整數(shù)1≤j＊≤n且j＊?L,非負常數(shù)xl和yl(l∈L)使得(11)和(12)成立。

這與(12)矛盾,定理3證完。

由定理3,我們?nèi)菀椎玫饺缦陆Y(jié)論:

推論1:在假設(shè)(H1)和(H2)下,系統(tǒng)(1)持久。

四、數(shù)值實例和仿真

在本小節(jié)中,我們給出一個實例來說明本節(jié)結(jié)論的正確性和方法的有效性。

上述系統(tǒng)滿足定理3的所有條件,所以種群x1和x2都是持久的,數(shù)值模擬結(jié)果見下圖

[1]M.Braun,Differential Equations and theirApplications,Springer-Verlag,New York,1983.

[2]P.A.Keddy,Competition,Chapman&Hall,London,1989.

[3]S.Ahmand,A.C.Lazer,Average growth and extinction in a competitive Lotka–Volterra system,NonlinearAnal., 62(2005)547-557.

[4]S.Ahmad,A.C.Lazer,Necessary and sufficent average growth in a Lotka-Volterra system,Nonlinear Anal.,34 (1998)191-228.

[5]F.MontesDe Oca,M.L.Zeeman,Balancing survival and extinction in a nonautonomous competitive Lotka-Volterra Systems,Math.Anal.Appl.192(1995)360-370.

[6]滕志東.非自治Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的一些新結(jié)果[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報.1999,(14):385-393.

(責(zé)任編輯:馬海燕)

O157.5

A

1671-6469(2010)05-0102-05

2010-07-25

秦麗華(1966-),女,陜西西安人,講師,研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)、常微分方程理論及其應(yīng)用。