朱俊杰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

由伏雷內(nèi)公式得到的結(jié)論

朱俊杰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

本文用伏雷內(nèi)公式解決問題的理論方法給出了兩個定理,并給出了嚴(yán)格的證明。

伏雷內(nèi)公式;曲率;撓率

1 基本概念

曲線的基本公式——伏雷內(nèi)(Frenet)公式是研究曲線幾何性質(zhì)的重要工具,它最早是由伏雷內(nèi)在1847年發(fā)現(xiàn)的。而目前國內(nèi)外的研究主要是采用活動標(biāo)架法研究復(fù)流形到Gras sman流形的多重調(diào)和映照的性質(zhì),建立了廣義伏雷內(nèi)公式,應(yīng)用它研究多重調(diào)和映照的若干性質(zhì)。

自然參數(shù)[1]:設(shè)已給出曲線,如果我們以σ(t)表示從的弧長,即

我們把s稱為曲線的自然參數(shù)。

在附著于曲線上每一個非逗留點P,我們確定了三個向量,即切向量,主法向量,副法向量γ?,它們都是互相垂直的單位向量而且按這個次序構(gòu)成右旋系,因此,他們之間有如下關(guān)系:

定義[2]空間曲線(C)在P點的曲率為

其中△s為P點及其臨近點P1間的弧長,△φ為曲線在點P和P1的切向量的夾角。

撓率的絕對值是曲線的副法向量(或密切平面)對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。

引理[4](伏雷內(nèi)公式)若分別表示曲線的切向量,主法向量和副法向量,k,τ分別表示該曲線的曲率和撓率,則

2 主要結(jié)果

[1]梅向明,黃敬之.微分幾何[M].高等教育出版社,2003.

[2]梅向明,王匯淳.微分幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題選解[M].高等教育出版社,2003.

[3]吳大任.微分幾何講義[M].高等教育出版社,1957.

[4]陳省身,陳維恒.微分幾何講義[M].北京大學(xué)出版社,1983.

(責(zé)任編輯:馬海燕)

O186

A

1671-6469(2010)05-0107-02

2010-06-02

昌吉學(xué)院科研基金資助項目(2010SSQD022)

朱俊杰(1982-),男,新疆阿克蘇人,昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系,助教,研究方向:微分幾何。