駱文輝，李連芬

（1.江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育與教育技術(shù)系，廣東 江門 529090；2.梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002）

期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理模型VaR最優(yōu)解的靜態(tài)探討

駱文輝1，李連芬2

（1.江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育與教育技術(shù)系，廣東 江門 529090；2.梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002）

期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理模型VaR是金融風(fēng)險(xiǎn)管理市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的一種方法。就期權(quán)定價(jià)模型,在VaR約束下的期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)管理進(jìn)行靜態(tài)經(jīng)濟(jì)分析，從而探討期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)管理的最優(yōu)的解。

VaR；期權(quán)；最優(yōu)解；靜態(tài)分析

在期權(quán)交易市場(chǎng)上不僅存在回避風(fēng)險(xiǎn)的套期保值者，而且更多的是投機(jī)者和套利交易者，當(dāng)期權(quán)等衍生工具不能正確定價(jià)時(shí)，特別是對(duì)其價(jià)格變動(dòng)不能正確預(yù)測(cè)時(shí)，投機(jī)者便有更多獲利機(jī)會(huì)，或當(dāng)不同交易所、不同交易商和做市以相同期權(quán)報(bào)價(jià)有差值時(shí)，則給套利者提供無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。由此可見(jiàn)，如何對(duì)期權(quán)等衍生工具正確定價(jià)，以抑制過(guò)度投機(jī)活動(dòng)，對(duì)降低金融市場(chǎng)波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)具有重要意義。

1 期權(quán)定價(jià)公式的因素分析

期權(quán)就是持有者在為了某一特定時(shí)間或未來(lái)某一特定時(shí)間內(nèi)以特定的價(jià)格購(gòu)買或出售某一金融資產(chǎn)的權(quán)利。在到期日前，期權(quán)的價(jià)值依賴于它最后處于實(shí)值狀態(tài)的概率和執(zhí)行數(shù)量。標(biāo)的期貨價(jià)格上漲，看漲期權(quán)價(jià)格上漲，看跌期權(quán)價(jià)格下跌。標(biāo)的期貨價(jià)格下跌，看漲期權(quán)價(jià)格下跌，看跌期權(quán)價(jià)格上漲。這一現(xiàn)象可以直觀地由看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)公式得出：[1]

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)，衍生證券的價(jià)值可以是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S和時(shí)間T的函數(shù)，用Delat和Gamma表示衍生證券價(jià)值的資產(chǎn)價(jià)格變化的一階、二階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)也表示了衍生證券價(jià)值以標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的線性和非線性風(fēng)險(xiǎn)衡量即靈敏度。用Vega和Theta表示衍生證券價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性和時(shí)間的靈敏度。另外衍生證券的價(jià)值也會(huì)受到利率變化的影響，對(duì)利率變化的靈敏度用Rho表示。下面針對(duì)不同種類的衍生證券，分別介紹測(cè)量靈敏度的Delat、Gamma、Vega、Theta、Rho等。[1]

Delat是衍生證券的價(jià)格相對(duì)于其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率，即衍生證券對(duì)其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的線性或一階靈敏度。在度量期權(quán)的靈敏度時(shí)，通過(guò)對(duì)B-S公式中的標(biāo)的資產(chǎn)取一階偏導(dǎo)數(shù)，可以得到看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的Delat值：

例：假定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格St=18，執(zhí)行價(jià)格X=15，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=10%，到期期限T=0.25，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性σ＝15%，則

Gamma是衍生證券的Delat變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率，是衍生證券的價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階導(dǎo)數(shù)，它反映了衍生證券價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的敏感性，基于不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)或看跌期權(quán)的Gamma為：

一般來(lái)說(shuō)Gamma值越大，期權(quán)的靈敏度也就越大。對(duì)于支付連續(xù)紅利的股票看漲或看跌期權(quán)有：

當(dāng)V為外匯的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，上式即為外匯歐式期權(quán)的Gamma公式；當(dāng)V取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、S為期貨價(jià)格F時(shí)，上式就是歐式期貨期權(quán)的Gamma計(jì)算公式。

靈敏度分析方法由于簡(jiǎn)單、直觀而在實(shí)際中獲得廣泛應(yīng)用，針對(duì)不同類型的金融資產(chǎn)產(chǎn)生了不同形式的靈敏度。但靈敏度分析方法對(duì)產(chǎn)品類型有很高的依賴性，即每一種靈敏度只能測(cè)量某一類資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)于含有大量金融資產(chǎn)的投資組合卻顯得束手無(wú)策，另外，對(duì)于測(cè)量的各種投資品種的風(fēng)險(xiǎn)也無(wú)法做出比較。靈敏度方法只能作為度量以上幾種金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的工具，而對(duì)于期貨、外匯等一些金融市場(chǎng)還沒(méi)有找到合適的靈敏度方法。

2 期權(quán)定價(jià)模型及VaR分析說(shuō)明

以傳統(tǒng)的對(duì)沖為例進(jìn)行分析說(shuō)明，在此基本資產(chǎn)的價(jià)格值St，受到下列隨機(jī)微分方程的制約：[2]

其中μ為漂移資產(chǎn)值，σ為波動(dòng)性資產(chǎn)值，Zt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，dZt為一個(gè)維納過(guò)程。而且要求證券投資組合回歸服從布朗幾何運(yùn)動(dòng)。采用這個(gè)模型分析資產(chǎn)的商品價(jià)格、股票或兌換率的風(fēng)險(xiǎn)是比較合適的。

該機(jī)構(gòu)對(duì)沖資產(chǎn)的使用看跌期權(quán)的價(jià)值。定義市場(chǎng)價(jià)格時(shí)間τ放進(jìn)Pt=P（St,X,r,τ,σ），期權(quán)敲定價(jià)格為X，匯率為r。τ為期權(quán)有效期內(nèi)從t開(kāi)始下一個(gè)時(shí)間段，我們假設(shè)所有期權(quán)符合歐式看跌期權(quán)，根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型[3－4]，由看跌期權(quán)公式有：

且 Φ（·）是漸增正態(tài)分布，看跌期權(quán)策略包括買空，hi，i=1，…，n，在 n 期權(quán)服從敲定價(jià)格 Xi（(i=1，…，n），看跌期權(quán)的總數(shù)，不能超出適當(dāng)?shù)南孪轈。此外，我們假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)從不充分地對(duì)沖，一般而言，這約束條件將不會(huì)約束在對(duì)沖上合理的費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)。

VaR的統(tǒng)計(jì)定義為：[5]用 (1-α）%的置信度，在τ時(shí)期內(nèi)，在現(xiàn)金流的期貨值里的經(jīng)濟(jì)損失將不超過(guò)VaRt+τ。計(jì)算這VaR，首先考慮的非對(duì)沖資產(chǎn)的期貨值的條件分布是對(duì)數(shù)正態(tài)分布：

C（·）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正常累積分布的截止點(diǎn)，VaR式中的第二項(xiàng)僅僅是資產(chǎn)的一個(gè)百分比的水平在預(yù)期的回報(bào)。

期權(quán)對(duì)沖影響VaR有兩種途徑：（1）對(duì)沖的成本減少世界各國(guó)的期貨現(xiàn)金流；（2）當(dāng)他們完成實(shí)值期權(quán)時(shí)，期權(quán)的損益增加現(xiàn)金流。隨著可行價(jià)低于α%標(biāo)準(zhǔn)的期望損益，這不會(huì)是最優(yōu)購(gòu)買期權(quán)的時(shí)機(jī)，因?yàn)樗麄儾唤邮?。因此，?duì)風(fēng)險(xiǎn)值計(jì)算的目的，我們可以假定看跌期權(quán)在完成認(rèn)沽期權(quán)，所得到的VaR是

VaR依賴于部分非對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)的α%損益、期權(quán)的利潤(rùn)以及未來(lái)對(duì)沖成本的期貨值。最后一項(xiàng)的等價(jià)解釋是投資者借期權(quán)的成本支付到期的貨款。假設(shè)VaR，資產(chǎn)的最優(yōu)問(wèn)題是

由上面的等式可得出：首先，VaRt+τ是一個(gè)仿射函數(shù)的套期保值成本C，它并不影響到選擇X的值，X的最優(yōu)值受資產(chǎn)的現(xiàn)金流所決定，且套期保值比率將調(diào)整依賴于對(duì)沖成本。結(jié)果也證實(shí)成本約束是有約束力的事實(shí)。在對(duì)沖開(kāi)支中VaR是線性的，所以每個(gè)額外支出套期保值交易產(chǎn)生同樣的減少貨幣，沒(méi)有減少利益套期保值。

其次，方程 （2.14）證明了VaRt+τ的最小值等于在可行價(jià)與α%的非對(duì)沖損益標(biāo)準(zhǔn)和看跌期權(quán)的價(jià)格之間的最大比率的距離。不嚴(yán)格地說(shuō)，約束函數(shù)可解釋為套期保值及成本效益的套期保值的比率。

方程 （2.14）的最大值問(wèn)題首要條件是：

通過(guò)以下途徑解釋主方程 (2.16)，敲定價(jià)格的選擇以致非對(duì)沖頭寸的損益的α%等于在可行價(jià)期權(quán)的中性風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)期望。在得到上述解，我們?cè)O(shè)預(yù)先約定C＝hP（X）。因而，h*=C/P(X*)；那就是說(shuō)，最優(yōu)可行價(jià)格的期套比率是簡(jiǎn)單的成本與在敲定價(jià)格的看跌期權(quán)值的比率，盡管X*沒(méi)有解析解，但X*的解析表達(dá)式可根據(jù)使用隱函數(shù)定理來(lái)靜態(tài)分析。

3 比較靜態(tài)經(jīng)濟(jì)理論分析

又由方程 (2.16)，X滿足最優(yōu)選擇

定義 β=(μ，σ，r，τ)，由 X=X(St，β)，利用隱函數(shù)定理可得

取d1d2的導(dǎo)數(shù)服從于參數(shù)向量的每個(gè)元素β，生成預(yù)期比較靜態(tài)的結(jié)果。

最優(yōu)可行價(jià)的導(dǎo)數(shù)服從基本資產(chǎn)的漂移

增加分布平均數(shù)的作用是與增加最優(yōu)敲定價(jià)格，資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約分布轉(zhuǎn)向右邊與目前值有關(guān)。所以，最優(yōu)可行價(jià)增加它的保護(hù)關(guān)系與非對(duì)沖損益的α%標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)。

最優(yōu)可行價(jià)的導(dǎo)數(shù)服從基本標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)性

這是一個(gè)模糊的符號(hào)，隨著α的增加，看跌期權(quán)價(jià)格增加，較高的波動(dòng)性也增加基本標(biāo)的資產(chǎn)分布的離散性。因而，可行價(jià)必須降低它的保護(hù)關(guān)系與非對(duì)沖損益的α%標(biāo)準(zhǔn)。既然作用在相同的方向上，我們可以期望隨α的上升，最優(yōu)敲定價(jià)格下降，對(duì)于許多參變量來(lái)說(shuō)是正確的。然而，如果α＞50%，那么非對(duì)沖分布α%值在波動(dòng)性中增加，非對(duì)沖VaRt+τ值在波動(dòng)性中減少。因一個(gè)足夠高的α的作用能抵消成本的作用，且最優(yōu)可行價(jià)在波動(dòng)性中增加。

最優(yōu)可行價(jià)的導(dǎo)數(shù)服從無(wú)風(fēng)險(xiǎn)率

隨著利率的增加，最優(yōu)敲定價(jià)格減少，最優(yōu)敲定價(jià)格下跌是因?yàn)榭吹跈?quán)的成本一致下跌。當(dāng)然，因?yàn)樽饔迷诔杀旧鲜切〉亩覜](méi)有作用在基本標(biāo)的資產(chǎn)的分布上，大致利率作用的改變是小的。

最優(yōu)可行價(jià)的導(dǎo)數(shù)服從套期范圍

偏微分的期權(quán)對(duì)沖發(fā)生的范圍是很大的，然而是非單調(diào)的，作用在貨幣期權(quán)的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)上。一方面，隨著增加范圍，資產(chǎn)回歸支配正漂移與執(zhí)行價(jià)格上升反映該資產(chǎn)的價(jià)值的分配偏離其當(dāng)前值。另一方面，資產(chǎn)波動(dòng)性增大它的范圍，且分布變得更加分散，導(dǎo)致更低的最優(yōu)可行價(jià)。隨著范圍變長(zhǎng)，在前面的結(jié)果占優(yōu)勢(shì)，敲定價(jià)格增加。對(duì)較短的范圍而言，波動(dòng)性效果占優(yōu)勢(shì)，可行價(jià)減少。一般地說(shuō)，這個(gè)逆轉(zhuǎn)總會(huì)發(fā)生的 （只要漂移是正的）；然而，它的轉(zhuǎn)折點(diǎn)依賴于基本參數(shù)值本身。

最后要考慮的問(wèn)題是如何使最優(yōu)敲定價(jià)的改變作為一個(gè)投資合理保護(hù)標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)，那就是說(shuō)，分布函數(shù)的百分尾部用來(lái)計(jì)算VaR。再次，用隱函數(shù)定理，

其中Φ－1′（·）是漸增正態(tài)分布函數(shù)Φ （·）的導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)，分子與分母都是負(fù)的，所以最優(yōu)可行價(jià)在α中是增加的，這結(jié)果與前面的結(jié)論相吻合。

4 結(jié)論

本文就期權(quán)定價(jià)模型,從期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行探討，對(duì)期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)管理的各個(gè)因素在VaR約束下進(jìn)行靜態(tài)經(jīng)濟(jì)分析，從而探討期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)管理的最優(yōu)的解。對(duì)于投資者對(duì)期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)管理提供非常重要的參考價(jià)值。

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A Static Research into the Optim ized Solution to Option Risk M anagement under M odel VaR

Luo Wenhui1,Li Lianfen2
(1.Education and Education Technology Department of Jiangmen Polytechnic,Jiangmen 529090,China;2.M athimatics and Physics Department ofWuzhou University,Wuzhou 543002,China)

The Model VaR for option riskmanagement is amethod tomeasure the option risks in financialmarkets.This paper makes a static research into themanagementof option risks under Model VaR,an option pricingmodel,so thatan optimized solution to option riskmanagement is obtained.

VaR；option；optimized solution；static research

F830.9

A

1673-8535(2010)03-0036-08

駱文輝 (1971－)，男，廣東人，江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育與教育技術(shù)系數(shù)學(xué)講師，碩士研究生，主要研究方向：金融數(shù)學(xué)。

李連芬 （1977-），女，廣西貴港人，梧州學(xué)院數(shù)理系講師，主要研究方向：概率統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)論。

（責(zé)任編輯：覃華巧）

2010-03-01