王曉杰，程洪霞

（太原理工大學水利科學與工程學院，山西 太原 030024）

供水系統(tǒng)作為一種提水排水或補給水源的水利系統(tǒng)工程，在水資源調(diào)配、跨流域引水、城市及工農(nóng)業(yè)供水等方面舉足輕重，是解決水資源分布地域差異的有效系統(tǒng)工程。為保證供水系統(tǒng)的安全和穩(wěn)定運行，必須對供水系統(tǒng)中的各項裝置進行適時的更新維護，而水泵作為供水系統(tǒng)的主體，其更新維護決策顯得尤為重要。本文給出了供水系統(tǒng)中水泵更新維護費用的經(jīng)濟優(yōu)化分析，以期在保證供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的條件下，降低成本，提高供水系統(tǒng)的總效益。

1 水泵的更新與維護

水泵的更新即購買新的水泵裝置需要支付購買費。在水泵的折舊年限內(nèi)，每年的購買價格有所不同，呈增加趨勢。

水泵的維護主要包括：（1）葉輪：①葉輪葉片與葉輪室的間隙測量；②葉輪和葉輪室汽蝕、磨損檢查及處理；③葉輪靜平衡試驗；④葉輪葉片密封裝置的檢查、更換、試驗；⑤葉輪體耐壓、密封試驗；⑥葉輪葉片接力器的修理或更換。（2）泵軸：①泵軸變形和軸頸、軸承磨損程度；②軸承間隙的測量、調(diào)整；③同軸度的測量與調(diào)整。（3）泵殼和懸架：主要檢測泵殼和懸架的銹蝕、裂紋、變形、損壞等情況。

水泵的維護需要支付相關(guān)的設(shè)備、實驗和人工等費用，隨著水泵使用時間的增長，每年所需的維護費用也在增加。

水泵的更新與維護都需要資金的投入，如何以最少的資金投入獲得同樣的效益，是值得泵站管理者及相關(guān)工作人員關(guān)注的一個重要問題。本文將該問題歸結(jié)為圖論中的最短路問題。

2 最短路問題的數(shù)學模型

2.1 最短路問題的基本思想

最短路問題就是在一個網(wǎng)絡圖中，給定一個起點，求出該起點到另一終點的權(quán)數(shù)最小的通路。最短路問題是網(wǎng)絡理論中應用最廣泛的問題之一。

最短路問題的一般提法如下［1］：設(shè)G=（V，E）為連通圖，圖中各邊（vi，vj）有權(quán) lij（lij=∞表示 vi和 vj間無邊），vs、vt為圖中任意兩點，求一條道路μ，使它是從vs到vt的所有路中總權(quán)最小的路，即最小。

2.2 最短路問題的求解方法

最短路問題的求解方法有：Dijkstra算法、逐次逼近算法和Floyd算法等。其中Dijkstra算法由Dijkstra于1959年提出，可用于求解指定兩點vs和vt間的最短路，或從指定點vs到其余各點的最短路，目前被認為是求無負權(quán)網(wǎng)絡最短路問題的最好方法。

Dijkstra算法的基本步驟［1］如下：

采用標號法，可用兩種標號：T標號和P標號，T標號為試探性標號（tentative label），P標號為永久性標號（permanent label），給vi點一個P標號時，表示從vs到vt點的最短路權(quán)，vi點的標號不再改變。給vi點一個T標號時，表示從vs到vt點的估計最短路權(quán)的上界，是一種臨時標號，凡沒有得到P標號的點都有T標號。每一步計算都把該計算點的T標號改為P標號，當終點vt得到P標號時，計算過程結(jié)束。

計算步驟：

（1）給vs以P標號，P（vs）=0，其余各點均為T標號，T（vi）=+∞。

（2）若vi點為剛得到P標號的點，考慮這樣的點vj∶（vi，vj）∈E，且 vj為 T 標號，則 vj的 T 標號為：T（vj）=min［T（vj），P（vi）+lij］。

3 實例仿真與分析

現(xiàn)以某型號離心泵（一臺）為例進行分析。每年年初做出購買決定，若購買新的水泵，要支付購買費，若使用舊的水泵，要付維護費。在購買新泵的第二年不考慮更換，因為泵正常運行的情況下，經(jīng)過合理的維護，其運行效率不會有明顯降低。［2］制定一個 12年的更新計劃（對于離心泵，其折舊年限為 12年［3］），使總支出費用最少。

根據(jù)多年來該水泵的價格走勢，對未來的價格做出預測，以等差數(shù)列的形式表示購買費。每年基本折舊率按8.08 %計算，每年平均大修理費按6 %計，凈殘值占原值按3 %計，［3］可得出水泵的維修費與余值，見表1。

考慮到水泵更新的當年舊水泵不一定能夠賣出，例如用了一年后的水泵如果沒有賣出，即實現(xiàn)不了4 596元的余值，但水泵仍可實現(xiàn)最終的殘值150元，所以采用余值的期望收益來表示。

一個決策變量的期望值，就是它在不同自然狀態(tài)下的損益值（或機會損益值）乘相對應的發(fā)生概率之和，即式中， )(Eja表示變量aj的期望值，Vij表示變量aj在自然狀態(tài)θi下的損益值（或機會損益值），)(Piθ表示自然狀態(tài)的θi發(fā)生概率。［4］這里取余值變現(xiàn)的概率為0.9，余值未變現(xiàn)的概率為0.1，可得到各年份期望余值（見表1）。

圖1 路徑示意圖

該問題的路徑見圖1，用點vi表示第i年年初購進水泵裝置，虛設(shè)一點v13，表示第12年年底。邊（vi，vj）表示第i年年初購進的水泵裝置使用到第j年年初，即第j－1年年底。

邊（vi，vj）上的權(quán)重表示第i年年初購進的水泵裝置，使用到第j年年初所需支付的購買和維護的全部費用（由表1計算得到）。例如（v1，v3）邊上的1 357是第一年初購買費5 000加上兩年的維修費50、95，減去第2年水泵裝置的余值3 788；（v3，v6）邊上的1 961是第三年初購買費5 100加上3年維修費50、95、140，減去水泵余值3 424。同理，可得各邊上的權(quán)重（見表2）。

表2 邊（vi，vj）上的權(quán)重lij （元）

運用Dijkstra算法作如下計算：

（1）首先給v1以P標號P（v1）＝0，給其余所有點T標號，T（vi）＝+∞（i＝2，3，…13）。

（2）v1為剛得到P標號的點，考慮點v1，有：T（v3）＝min［T（v3），P（v1）+l13］＝min［+∞，0＋1357］＝1357。

同理可得：T（v4）＝1 861；T（v5）＝2 409；T（v6）＝3 003；T（v7）＝3 642；T（v8）＝4 325；T（v9）＝5 054；T（v10）＝5 827；T（v11）＝6 646；T（v12）＝7 520；T（v13）＝8 450。

（3）比較所有T標號，T（v3）最小，所以令P（v3）=1 357，并記錄路徑（v1，v3）。

依此類推，可得計算結(jié)果見表3。

表3 最小路徑記錄表

綜上所述，從v1到v13的最短路為v1→v6→v13，路長為7 578。所以決策者可以選擇的方案為：在第一年初和第六年年初購進新水泵，在其余年份進行合理維護。此方案總支出費用為7 578元。

4 結(jié)束語

本文針對供水系統(tǒng)中水泵裝置的更新維護費用問題，主要做了以下工作：①建立了網(wǎng)絡理論中的最短路優(yōu)化數(shù)學模型；②根據(jù)模型得出水泵裝置更新維護的經(jīng)濟費用，并提供了最優(yōu)決策方案；③考慮到余值變現(xiàn)的不確定性，運用概率的思想，采用期望余值的方法。通過以上的決策模擬過程，可以為供水系統(tǒng)中水泵裝置的更新維護提供更經(jīng)濟合理的方案，從而為供水系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行節(jié)約成本，提高其總效益。另外，文中實例的數(shù)學模型是在水泵正常運轉(zhuǎn)的條件下建立的，對于事故水泵以及實際中余值變現(xiàn)的概率，決策者應根據(jù)實際情況作具體分析，從而實現(xiàn)在確保水泵裝置安全運行的條件下更新維護費用最低的目標。

1 胡運全主編.運籌學教程（第2版）.北京：清華大學出版社，2003

2 趙玉香.水泵修復與涂護工藝的方法探討.中國農(nóng)村水利水電，2008.4：113～114

3 武漢水利電力大學主編.泵站技術(shù)管理規(guī)程（SL255－2000）.北京：中國水利水電出版社，2000

4 張所地著.管理決策論.北京：中國科學技術(shù)出版社，2005