宋毅鋒， 卓永寧

(電子科技大學(xué) 通信抗干擾技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610054)

0 引言

Chirp信號(hào)具有大時(shí)間帶寬積，低功耗和穿透性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，所以Chirp擴(kuò)頻系統(tǒng)在2007年被IEEE定為UWB標(biāo)準(zhǔn)之一。此系統(tǒng)不但具有一般超寬帶系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，而且傳輸距離有大幅度地提高，有效地?cái)U(kuò)大UWB的適用范圍。本文提出了一種基于快速偽譜修正的四階累積量TLS-ESPRIT算法，在原來的四階累積量TLS-ESPRIT算法的基礎(chǔ)上，增加了快速偽譜修正，不但能有較好地估計(jì)多徑時(shí)延，而且能在TLS-ESPRIT算法階數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確的情況下，有效地識(shí)別估計(jì)結(jié)果中的虛徑，加以剔除，使得信道的幅度估計(jì)更加準(zhǔn)確。

1 系統(tǒng)模型

信源發(fā)射的Chirp信號(hào)x(t)，表達(dá)式如下所示：

其中f0為Chirp信號(hào)的起始頻率，B為信號(hào)帶寬，Tc為信號(hào)持續(xù)時(shí)間，而信號(hào)的調(diào)頻斜率k0=B/Tc。

信號(hào)通過信道后，接收端得到的離散化信號(hào)y(n)為：

其中，Ts為信道采樣的周期，ys(n)表示發(fā)射信號(hào)通過信道后各多徑分量的疊加，yn(n)表示信道上的高斯白（或色）噪聲，且與ys(n)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，αi表示信道中第i條多徑的幅度和相位，τi表示第i條多徑的時(shí)間延時(shí)。

所提算法就是為了較準(zhǔn)確地估計(jì)τi和|αi|的值(i=1,2,…,q)。本文假設(shè)其他參數(shù)在接受端是已知的。

2 偽譜修正的四階累積量TLS-ESPRIT算法

2.1 Chirp信號(hào)時(shí)變互四階累積量

Chirp信號(hào)的互四階累積量切片如下所示[1-2]：

因?yàn)?y(n)中的信號(hào)和噪聲互不相關(guān)，且 x(t)的均值為 0，則Chirp信號(hào)時(shí)變互四階累積量為：

由上式易知對(duì)Chirp信號(hào)求時(shí)變互四階累積量后，將一個(gè)非平穩(wěn)的二階相位的線性調(diào)頻信號(hào)轉(zhuǎn)化成為一組平穩(wěn)的一階相位的諧波信號(hào)。因此信道時(shí)延的估計(jì)轉(zhuǎn)化成為一組諧波信號(hào)的相位估計(jì)。同時(shí)，由于高階累積量的特性，高斯白（或色）噪聲都被去除了，因此提高了參數(shù)估計(jì)的精度。

2.2 TLS-ESPRIT算法

將兩矩陣作差得到：

易知此二矩陣的廣義特征值λi既為 exp，繼而解出時(shí)間延遲τi。

但是由于普通的ESPRIT算法對(duì)于短數(shù)據(jù)可靠性差，而且會(huì)出現(xiàn)病態(tài)的特征值。所以本文采用TLS-ESPRIT算法求解。將作SVD分解得到：

的最大整數(shù)i作為多徑階數(shù)q的估計(jì)，其中ρ為相鄰兩個(gè)廣義特征值比值的判決門限0＜ρ＜1。

最后根據(jù)下式計(jì)算出τi，其中 ω(λi)為 λi的輻角：

在仿真設(shè)計(jì)和工程實(shí)現(xiàn)的過程中，Chirp信號(hào)帶寬 B，Chirp信號(hào)持續(xù)時(shí)間Tc，抽樣周期Ts這三個(gè)參數(shù)要服從以下的三個(gè)方面的關(guān)系：

①根據(jù)帶通采樣定理，當(dāng)抽樣頻率不小于信號(hào)帶寬時(shí)，抽樣信號(hào)的頻譜才不會(huì)發(fā)生交疊。所以有

②由于間延遲 τi始終為正，可將 ω(λi)定義在區(qū)間[0,2π]上，則諧波頻率估計(jì)就不會(huì)發(fā)生2π相位的周期模糊。這樣，本算法在不進(jìn)行解周期模糊的情況下，可以估計(jì)的最大時(shí)間延遲可是并非越大越好。因?yàn)閿?shù)據(jù) λi肯定存在估計(jì)偏差，在很大的情況下，τi的估計(jì)偏差會(huì)被線性放大。所以τi的分辨率和測量范圍就構(gòu)成了一組矛盾，因而最好選擇略為大于信道實(shí)際的最大多徑時(shí)延；

③在Chirp信號(hào)的一個(gè)持續(xù)時(shí)間Tc內(nèi)，為了得到更多的信息，就必須要求的采樣點(diǎn)數(shù)盡可能多，而由于實(shí)際電路的限制，Ts不可能取得很小，因此在兼顧第②點(diǎn)的情況下，可以適當(dāng)?shù)脑龃骉c。

2.3 快速偽譜修正

由2.2的TLS-ESPRIT算法的描述可知，信號(hào)的時(shí)延估計(jì)僅僅用到了四階累積量矩陣SVD分解后的奇異值矩陣S。為了更有效地使用接收到的數(shù)據(jù)，本文考慮在奇異值矩陣S的基礎(chǔ)上，再利用矩陣 V的信息進(jìn)行時(shí)延估計(jì)。由文獻(xiàn)[4]有

vi為酉矩陣V的列向量，對(duì)上式的高階方程的求根，可以等效為對(duì)構(gòu)造偽譜p(τi)求極大值：

而偽譜的極點(diǎn)就是方程的零點(diǎn)，可以通過對(duì)p(τi)進(jìn)行譜峰搜索的辦法求解。譜峰搜索前，事先確定搜索步長 Δt和極大值門限ξ，搜索步驟如下：初始化參數(shù)：i=1，k=0：

①將時(shí)延 τi作為中心點(diǎn)，確定搜索范圍分別計(jì)算各點(diǎn)的偽譜；

2.4 信道幅度的估計(jì)

由Chirp信號(hào)的表達(dá)式，容易得到下面的線性方程組：由于此方程組的系數(shù)矩陣本身就是有誤差的，所以我們采用TSL 方法求解|αi|。

3 算法仿真

在仿真試驗(yàn)中，相關(guān)參數(shù)的設(shè)計(jì)如下：Chirp信號(hào)的起始頻率 f0=2.45 GHz，信號(hào)帶寬 B=2.45 GHz，信號(hào)周期Tc=1000 ns，信號(hào)抽樣時(shí)間Ts=5 ns，ρ=0.9 。可知，參數(shù)設(shè)計(jì)滿足 2.2所述的三個(gè)關(guān)系式。仿真信道模型采用 IEEE 802.15.4a所述的信道[5]，信道種類選擇cm_num=9（代表鄉(xiāng)村，雪地等開闊戶外NLOS環(huán)境），信道上附加RSN=5 dB的加性高斯白噪聲。偽譜譜峰搜索的步長定為step=1/ 6 ns。得到圖1所示的三個(gè)信號(hào)。

圖1 TLS-ESPRIT和全范圍偽譜搜索算法的時(shí)延估計(jì)對(duì)比

由于采樣數(shù)據(jù)有限，Chirp信號(hào)的數(shù)學(xué)期望不會(huì)嚴(yán)格等于零，而且還存在較大的高斯白噪聲干擾，這些原因都造成了時(shí)延估計(jì)的誤差。再加上四階累積量 TLS-ESPRIT算法不進(jìn)行 2.5所述步驟③（偽譜修正），因而只使用了四階累積量矩陣SVD分解后的奇異值矩陣S的信息。

在圖1(b)所示的第二條仿真曲線中，第四條多徑就與實(shí)際信道有 9 ns的偏差。數(shù)據(jù)的不理想甚至?xí)斐啥鄰诫A數(shù)估計(jì)的錯(cuò)誤，產(chǎn)生虛徑。例如第三條多徑在實(shí)際信道中并不存在。而大范圍偽譜搜索算法而省去了 2.5所述步驟②（TLS-ESPRIT算法時(shí)延預(yù)估），注重了對(duì)V矩陣信息的使用，而沒能有效地利用S矩陣。

在圖1(c)所示的第三條仿真曲線中，雖有效地估計(jì)了137.8 ns處的多徑，但是卻在102.8 ns處產(chǎn)生了一條虛徑。同時(shí)，偽譜搜索算法事先也要進(jìn)行階數(shù)估計(jì)，而大范圍的譜峰搜索也極大地增加了算法的計(jì)算量。綜上，以上兩種算法單獨(dú)使用效果均不理想。

與單純的TLS-ESPRIT算法比較，圖2(b)顯示新算法性能有了顯著的改善。它不但修正了第四條多徑的數(shù)值，而且判定出第三條多徑是虛徑。在時(shí)延估計(jì)比較準(zhǔn)確的情況下，再進(jìn)行多徑幅度的估計(jì)就比較準(zhǔn)確。由上圖看出，估計(jì)出的信道幅度基本上顯示了多徑間能量的相對(duì)關(guān)系。由此可以看出，綜合使用了奇異值矩陣S和酉矩陣V信息的改進(jìn)算法，信道估計(jì)性能有了明顯的提高。

圖2 快速偽譜修正四階累積量TLS-ESPRIT信道估計(jì)結(jié)果

4 結(jié)語

本文以Chirp信號(hào)為信源,低速UWB信道(IEEE 802.15.4a)為傳播環(huán)境，提出了一種基于快速偽譜修正的四階累積量TLS-ESPRIT算法。與單純的四階累積量TLS-ESPRIT算法和大范圍偽譜搜索算法相比，該算法除了具有四階累積量超分辨算法既有的優(yōu)點(diǎn)外，還兩個(gè)新的好處：

①有效地提高了信道估計(jì)的性能，不但修正了多徑的時(shí)延，還剔除了虛徑；

②算法的復(fù)雜度增加是很有限的，它只在很小的范圍內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索，并且一遇到有效峰值就停止搜索，確定修正結(jié)果。

此外本文還指出了仿真設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用中相關(guān)參數(shù)需要服從的三方面關(guān)系。

[1] 張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理[M].第2版.北京:清華大學(xué)出版社,2002:263-274.

[2] 倪紅艷,卓東風(fēng),肖蕾蕾,等,基于四階累積量的子空間盲信道估計(jì)[J].通信技術(shù),2009,42(01):107-109.

[3] Natasha D, Raviraj A, Ramy F. Multipath Delay Estimations Using Matrix Pencil[C]//IEEE Wireless Communications and Networking Conference. New Orleans: IEEE, 2003:632-635.

[4] Li X R, Pahlavan K. Super-resolution TOA Estimation with Diversity for Indoor Geolocation[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2004, 1(03): 224–234.

[5] Molisch A F,Balakrishnan K,Chong C C,et al.IEEE 802.15-04-0662-02-004a—2005, IEEE802.15.4a Channel Model- Final Report[S]. New York: IEEE.