楊希祥，楊慧欣，王 鵬

偽譜法及其在飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用綜述*

楊希祥，楊慧欣，王 鵬

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

采用偽譜法進(jìn)行飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)是近年來的熱點(diǎn)研究方向，然而較全面地對(duì)各種方法進(jìn)行綜合分析的文獻(xiàn)卻很少。在對(duì)國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，闡述了航空航天領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的幾種偽譜法的基本原理；歸納了偽譜法將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題的思路和具體步驟；總結(jié)了偽譜法在飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用情況；對(duì)偽譜法及其在飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用的未來研究方向進(jìn)行了分析。

偽譜法；飛行器；軌跡；優(yōu)化設(shè)計(jì)；綜述

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

飛行器軌跡優(yōu)化問題一般為非線性、帶有狀態(tài)約束和控制約束的最優(yōu)控制問題。求解最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法很多，一般分為間接法和直接法[1]。間接法基于Pontryagin極小值原理推導(dǎo)最優(yōu)控制的一階必要條件，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為Hamilton邊值問題，然后通過打靶法等數(shù)值方法求解。間接法在早期的飛行器軌跡優(yōu)化研究中應(yīng)用廣泛[2-3]。直接法無須求解最優(yōu)性必要條件，而是采用參數(shù)化方法將連續(xù)空間的最優(yōu)控制問題求解轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃(NonLinear Programming，NLP) 問題，通過數(shù)值求解NLP問題獲得最優(yōu)解。根據(jù)參數(shù)化方法不同，直接法分為兩種基本類型：僅離散控制變量的打靶法與同時(shí)離散控制變量和狀態(tài)變量的配點(diǎn)法。由于直接法彌補(bǔ)了間接法的諸多不足，近30年來得到迅速發(fā)展，并被更為廣泛地應(yīng)用于飛行器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域[1,4]。

近年來，一類直接配點(diǎn)法——偽譜法 (pseudospectral method)備受關(guān)注[5-6]。該方法采用全局插值多項(xiàng)式在一系列離散點(diǎn)上近似狀態(tài)變量和控制變量，通過引入類似有限差分矩陣的偽譜差分矩陣將微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束。從插值多項(xiàng)式的角度，偽譜法可稱為全局方法，而用分段多項(xiàng)式近似的傳統(tǒng)配點(diǎn)方法可稱為局部方法。由于偽譜法的配點(diǎn)一般為正交多項(xiàng)式的根，因此又稱為正交配點(diǎn)(orthogonal collocation)法。與局部方法相比，偽譜法能夠以較小的計(jì)算代價(jià)獲得較高的求解精度，因此在航空航天領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，包括空間站姿態(tài)控制[7]、小推力下航天器軌道轉(zhuǎn)移[8]、月球軟著陸軌跡優(yōu)化、運(yùn)載火箭軌跡優(yōu)化[9-10]等，并已在實(shí)際飛行中得到應(yīng)用[7]。

本文對(duì)航空航天領(lǐng)域常見偽譜法及其在飛行器軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用情況進(jìn)行綜述。國外對(duì)各種偽譜法進(jìn)行綜合研究的文獻(xiàn)并不多見，最近的一篇由Fahroo和Ross發(fā)表于2008年[11]，而國內(nèi)尚未見公開發(fā)表的相關(guān)文獻(xiàn)。

1 飛行器軌跡優(yōu)化問題描述

對(duì)于運(yùn)載火箭、導(dǎo)彈和可重復(fù)使用運(yùn)載器等不同類型的飛行器，軌跡優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)、約束條件和控制變量等各有特點(diǎn)，但都可以描述為一般的最優(yōu)控制問題：尋找控制變量u(t)∈m，最小化Bolza型性能指標(biāo)函數(shù)[12]

(1)

其中，狀態(tài)變量x(t)∈n，初始時(shí)間t0和終端時(shí)間tf(自由或固定)滿足：

動(dòng)力學(xué)微分方程約束

(2)

邊界條件

φ[x(t0),t0,x(tf),tf]=0

(3)

以及路徑約束

C[x(t),u(t),t]≤0

(4)

式(1)～(4)中，函數(shù)Φ,L,f,φ,C定義為

Φ :n××n×→

L :n×m×→

f :n×m×→n

φ :n××n×→q

C :n×m×→c

應(yīng)用偽譜法時(shí)，都將最優(yōu)控制問題的時(shí)間區(qū)間由t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)換到τ∈[-1,1]，對(duì)時(shí)間t作變換

(5)

將式(5)應(yīng)用于最優(yōu)控制問題的表達(dá)式(1)～(4)， 最小化性能指標(biāo)

(6)

動(dòng)力學(xué)微分方程約束

(7)

邊界條件

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(8)

路徑約束

C[x(τ),u(τ),τ]≤0

(9)

2 軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域常用偽譜法

偽譜法源于求解微分方程數(shù)值解的譜方法。常見的譜方法有三種：Galerkin法、Tau法和配點(diǎn)法，其中譜配點(diǎn)法又稱偽譜法[13]。由于偽譜法的配點(diǎn)一般為正交多項(xiàng)式(Chebyshev多項(xiàng)式或Legendre多項(xiàng)式)的根，因此又被稱為正交配點(diǎn)法。

飛行器軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域常見的偽譜法包括：Legendre偽譜法、Radau 偽譜法、Gauss 偽譜法以及Chebyshev 偽譜法。各種偽譜法的不同在于所選取的插值基函數(shù)和配點(diǎn)類型不同，如表1所示。

表1 各種偽譜法插值基函數(shù)及配點(diǎn)類型

2.1 Legendre偽譜法

τ0=-1,τ1,τ2,…,τN-1,τN=1

(10)

(11)

對(duì)于k=0,1,…,N，

(12)

為N階Lagrange多項(xiàng)式。由Lagrange多項(xiàng)式的性質(zhì)可得，在配點(diǎn)處，利用插值多項(xiàng)式得到的值和利用動(dòng)力學(xué)微分方程計(jì)算所得到的值相等。在第i個(gè)配點(diǎn)處，狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)為

(13)

{Dik}為(N+1)×(N+1)的差分矩陣，且有

(14)

這樣，在N+1個(gè)配點(diǎn)處，原來連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題的動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束，即

i=0,1,…,N

(15)

類似的，性能指標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

(16)

式中，wi為權(quán)重。

邊界條件約束轉(zhuǎn)換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(17)

路徑約束轉(zhuǎn)換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=0,1,…,N

(18)

2.2 Radau偽譜法

Radau偽譜法[16-17]的配點(diǎn)采用(-1,1]上的N個(gè)Legendre-Gauss-Radau (LGR)點(diǎn)，插值節(jié)點(diǎn)由N個(gè)配點(diǎn)與初始點(diǎn)τ0=-1構(gòu)成，即配點(diǎn)數(shù)比插值節(jié)點(diǎn)數(shù)少1個(gè)，這也是Radau偽譜法和Legendre偽譜法的不同之處。

狀態(tài)變量近似表達(dá)式為

(19)

這樣，在N個(gè)配點(diǎn)處，原來連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題的動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束，即

i=1,…,N

(20)

{Dik}為N×(N+1)的差分矩陣，且有

(21)

g(τk)=(1+τk)[LN(τk)-LN-1(τk)]

(22)

控制變量近似表示為

(23)

邊界控制點(diǎn)可采用樣條插值外推得到[18]。性能指標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

(24)

邊界條件約束轉(zhuǎn)換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(25)

路徑約束轉(zhuǎn)換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=1,…,N

(26)

2.3 Gauss偽譜法

Gauss偽譜法[13]的配點(diǎn)采用(-1,1)上的N-1個(gè)Legendre-Gauss (LG)點(diǎn)，插值節(jié)點(diǎn)由N-1個(gè)配點(diǎn)與初始點(diǎn)τ0=-1構(gòu)成，即配點(diǎn)數(shù)比插值節(jié)點(diǎn)數(shù)少1個(gè)。

狀態(tài)變量近似表達(dá)式為

(27)

這樣，在N-1個(gè)配點(diǎn)處，原來連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題的動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束，即

(28)

{Dik}為(N-1)×N的差分矩陣，且有

控制變量近似表示為

(29)

性能指標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

(30)

邊界條件約束轉(zhuǎn)換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(31)

路徑約束轉(zhuǎn)換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=1,…,N-1

(32)

式(28)未定義終端狀態(tài)xf，終端狀態(tài)也應(yīng)滿足動(dòng)力學(xué)方程約束，將終端狀態(tài)約束條件離散并用Gauss積分來近似，可得

(33)

文獻(xiàn)[19]從近似精度和計(jì)算效率等方面對(duì)上述三種偽譜法進(jìn)行了比較。Radau偽譜法和Gauss偽譜法在狀態(tài)變量、控制變量和共軛變量的近似精度上均優(yōu)于Legendre偽譜法，同時(shí)，Gauss偽譜法對(duì)共軛變量邊界值的估計(jì)精度高于Radau偽譜法，且在處理含初始和終端約束的問題上具有優(yōu)勢(shì)。在計(jì)算效率方面，求解相同規(guī)模問題時(shí)三種方法耗時(shí)差別不大。

2.4 Chebyshev偽譜法

和上述三種偽譜法的配點(diǎn)基于Legendre多項(xiàng)式不同，Chebyshev 偽譜法[20-22]的配點(diǎn)基于Chebyshev多項(xiàng)式，采用[-1,1]上的N+1個(gè)Chebyshev-Gauss-Lobatto (CLG)點(diǎn)，即

(34)

狀態(tài)變量和控制變量的近似表達(dá)式為

(35)

(36)

對(duì)于k=0,1,…,N，

(37)

(38)

這樣，在N+1個(gè)配點(diǎn)處，連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題的動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束，即

i=0,1,…,N

(39)

{Dik}為(N+1)×(N+1)的差分矩陣，且有

性能指標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

邊界條件約束轉(zhuǎn)換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(41)

路徑約束轉(zhuǎn)換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=0,1,…,N

(42)

3 軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域偽譜法應(yīng)用綜述

早在1822年，F(xiàn)ourier就已將譜理論引入微分方程的研究。利用譜方法求解微分方程數(shù)值解的思想，可以追溯到1938年Lanczos所做的工作，他建立了選擇譜配點(diǎn)法的基函數(shù)與配點(diǎn)的理論[23]。20世紀(jì)五六十年代，隨著Chebyshev多項(xiàng)式應(yīng)用于初值問題，譜方法再次復(fù)蘇。20世紀(jì)70年代，Gottlieb等首次建立了譜方法的統(tǒng)一數(shù)學(xué)理論；譜方法的成名源于其在流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用[24]；1972年，Orszag首次將譜配點(diǎn)法稱為偽譜法[25]。80年代后期，Vlassenbroeck等首次利用偽譜法求解最優(yōu)控制問題[20]，當(dāng)時(shí)采用的是Chebyshev偽譜法；緊接著，Elnagar等提出了Legendre偽譜法[14]；美國海軍研究院的Fahroo和Ross等對(duì)偽譜法的研究作出了重要貢獻(xiàn)，并將其引入飛行器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域[9,22]。

2000年以后，尤其是近幾年來，伴隨著利用偽譜法求解最優(yōu)控制問題研究的逐漸增多[6,26]，其在航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用研究開始受到重視，并由理論計(jì)算發(fā)展到地面試驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展到飛行試驗(yàn)驗(yàn)證[7]，而飛行器軌跡優(yōu)化是偽譜法應(yīng)用最廣泛、最成功的領(lǐng)域。Rao等采用Legendre偽譜法研究了高升阻比機(jī)動(dòng)再入飛行器再入軌跡優(yōu)化問題，并對(duì)得到的最優(yōu)解進(jìn)行了驗(yàn)證和分析[27]；Bollino等將Legendre偽譜法應(yīng)用于無人飛行器軌跡在線快速生成[28]；Fahroo等研究了Legendre偽譜法在可重復(fù)使用運(yùn)載器可達(dá)區(qū)快速生成問題中的應(yīng)用，研究結(jié)果表明，采用偽譜法可以避免傳統(tǒng)求解方法(如能態(tài)近似法) 的很多不足，提高求解速度和精度[29]；Williams研究了Legendre偽譜法在飛行器地形跟蹤軌跡實(shí)時(shí)優(yōu)化問題中的應(yīng)用[30]；文獻(xiàn)[31]和文獻(xiàn)[32]分別采用Gauss偽譜法實(shí)現(xiàn)飛機(jī)參數(shù)近實(shí)時(shí)辨識(shí)和飛機(jī)軌跡優(yōu)化; Ogawa等將進(jìn)化算法與Gauss偽譜法相結(jié)合，解決火箭基組合動(dòng)力兩級(jí)入軌可重復(fù)使用運(yùn)載器軌跡優(yōu)化問題[33]。

2001年以來，麻省理工學(xué)院航空航天系對(duì)偽譜法進(jìn)行了系統(tǒng)深入研究，取得了眾多研究成果，出版了多篇學(xué)位論文。Rea將Legendre偽譜法應(yīng)用于運(yùn)載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化問題，分別研究了二維平面內(nèi)的單級(jí)運(yùn)載火箭軌跡優(yōu)化問題和三維空間兩級(jí)運(yùn)載火箭軌跡優(yōu)化問題，并用一個(gè)預(yù)測(cè)制導(dǎo)算法研究了采用偽譜法實(shí)現(xiàn)在線控制指令生成的可行性，文章同時(shí)提出了一種引入二階差分矩陣減小問題求解規(guī)模的方法[34]；Clarke將Legendre偽譜法成功應(yīng)用于通用航空飛行器性能優(yōu)化[35]；Taylor研究了Legendre偽譜法在航天飛機(jī)應(yīng)急下降軌跡優(yōu)化問題中的應(yīng)用[36]；Stanton采用Legendre偽譜法求解航天器最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道問題，包括共面轉(zhuǎn)移問題、簡(jiǎn)單軌道面改變問題和復(fù)雜的軌道尺寸/外形/軌道面改變問題，目標(biāo)函數(shù)均選擇為燃料消耗最省，仿真結(jié)果證明，求解精度和求解效率都能夠得到很好保證[37]；Benson較系統(tǒng)地研究了Gauss偽譜法，并將其應(yīng)用于小推力航天器軌跡優(yōu)化問題和Delta運(yùn)載火箭上升段軌跡優(yōu)化問題[38]，研究結(jié)果表明，與Legendre偽譜法相比，Gauss偽譜法都具有更快的收斂速度和更精確的共軛變量估算結(jié)果；Hawkins研究了Legendre偽譜法在月球軟著陸軌跡快速優(yōu)化問題中的應(yīng)用[39]。

從2007年開始，有關(guān)偽譜法在航空航天領(lǐng)域中應(yīng)用的文章陸續(xù)出現(xiàn)在《宇航學(xué)報(bào)》等國內(nèi)中文核心期刊中。袁建平教授等將Legendre偽譜法應(yīng)用于月球軟著陸軌跡快速優(yōu)化問題[40]和空間飛行器有限推力軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化設(shè)計(jì)問題[41]，研究結(jié)果證明，算法具有收斂速度快、對(duì)初值不敏感、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)；曹喜濱教授則采用Gauss偽譜法解決日-火Halo轉(zhuǎn)移軌道快速優(yōu)化設(shè)計(jì)問題[42]；楊希祥等研究了Gauss偽譜法在多級(jí)固體運(yùn)載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化和空空導(dǎo)彈最優(yōu)中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，提出采用串行策略進(jìn)一步提高偽譜法計(jì)算效率[43-44]；雍恩米等將Gauss偽譜法應(yīng)用于高超聲速飛行器再入軌跡快速優(yōu)化問題，研究了采用偽譜法在線生成飛行器軌跡時(shí)的初值生成問題[45-46]；李海陽教授所在課題組對(duì)Gauss偽譜法在月球軟著陸軌道優(yōu)化中的應(yīng)用進(jìn)行了大量研究[47]；此外，楊希祥及其所在課題組對(duì)Gauss偽譜法在超空泡水下航行體和平流層飛艇軌跡優(yōu)化中的應(yīng)用進(jìn)行了研究[48-49]。總體來看，國內(nèi)在偽譜法理論研究方面還不夠系統(tǒng)深入，在將其應(yīng)用于飛行器軌跡快速優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域研究方面正處于快速發(fā)展和范圍延伸階段。

4 結(jié)論與展望

當(dāng)前，偽譜法在飛行器軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用正日益受到重視，根據(jù)對(duì)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的研究和本文作者們所在課題組的研究工作體會(huì)，今后一段時(shí)期內(nèi)，偽譜法及其在飛行器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用研究將重點(diǎn)集中在兩個(gè)方面，一是偽譜法理論的完善研究，二是針對(duì)飛行器軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域的現(xiàn)實(shí)需求，深化和拓展偽譜法的應(yīng)用。

4.1 偽譜法理論深化研究

盡管譜方法用于求解微分方程已有70余年的歷史，利用偽譜法求解最優(yōu)控制問題也已有20多年的歷史，但偽譜法理論還有很多方面亟待完善。

1)NLP問題的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)條件與Hamilton邊值問題一階最優(yōu)必要條件的等價(jià)性問題。此問題可轉(zhuǎn)化成NLP問題的最優(yōu)解是否是原最優(yōu)控制問題最優(yōu)解問題，這一問題也是直接法普遍面臨的關(guān)鍵問題，很多學(xué)者對(duì)這一問題的證明做了研究，例如，Benson證明了采用Gauss偽譜法轉(zhuǎn)化得到NLP問題的KKT條件與Hamilton邊值問題一階最優(yōu)必要條件是等價(jià)的[13]，同時(shí)，證明了節(jié)點(diǎn)上滿足路徑約束即可保證整個(gè)過程滿足路徑約束；Huntington在他的博士學(xué)位論文中深化了這一工作[50]，但對(duì)于Radau和Legendre等偽譜法，這一關(guān)鍵問題的證明尚未進(jìn)行或完成。

2)配點(diǎn)的選取問題。配點(diǎn)是決定偽譜法求解精度和求解效率的關(guān)鍵因素之一，很多學(xué)者仍在對(duì)配點(diǎn)的選取問題進(jìn)行積極研究，例如，文獻(xiàn)[51]提出了Legendre 偽譜法的改進(jìn)形式Jacobi偽譜法，它使用Jacobi多項(xiàng)式尋找配點(diǎn)，Legendre 多項(xiàng)式是Jacobi多項(xiàng)式的子集；文獻(xiàn)[52]提出了Hermite-LGL方法，它不使用Legendre 多項(xiàng)式，而是使用分段三次多項(xiàng)式，在LGL點(diǎn)的子集進(jìn)行配點(diǎn)。隨著偽譜法理論的不斷完善和數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，這一方面的研究仍將受到關(guān)注。

3)偽譜法中共軛變量的估計(jì)問題。共軛變量的精確估計(jì)對(duì)驗(yàn)證最優(yōu)控制問題解的最優(yōu)性、分析狀態(tài)變量對(duì)優(yōu)化性能指標(biāo)的敏感度和進(jìn)行計(jì)算網(wǎng)格加細(xì)(mesh refinement)是十分重要的。間接法的求解表達(dá)式中都包含了共軛變量，因此其解也一般都給出共軛變量估計(jì)值。由于直接法不需要構(gòu)建Hamilton邊值問題方程，因此不能對(duì)共軛變量進(jìn)行顯式近似，很多學(xué)者都一直致力于估計(jì)方法的研究[15,53-54]，雖然取得了一定成果，但仍未成熟。

4)計(jì)算網(wǎng)格加細(xì)問題。偽譜法處理最優(yōu)控制問題的高精度和高效率是在假定問題完全光滑的前提下得到的。但實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)狀態(tài)變量往往是不連續(xù)的，或者控制變量是不連續(xù)的，或者兩者都是不連續(xù)的，而且間斷點(diǎn)的數(shù)目和位置往往是未知的。計(jì)算網(wǎng)格加細(xì)算法能夠檢測(cè)到間斷點(diǎn)的位置和數(shù)目，從而大大提高偽譜法解決問題的能力。

偽譜法理論中需要深入研究的問題還包括邊界控制量的估計(jì)、收斂性證明[55]等。

4.2 軌跡優(yōu)化領(lǐng)域偽譜法應(yīng)用深化研究

偽譜法在飛行器軌跡快速優(yōu)化領(lǐng)域的進(jìn)一步研究，一是要拓寬算法的應(yīng)用對(duì)象和應(yīng)用范圍，二是要針對(duì)軌跡優(yōu)化中的具體問題應(yīng)用和改進(jìn)偽譜法。

1)離線軌跡優(yōu)化問題?？焖?、機(jī)動(dòng)發(fā)射是現(xiàn)代作戰(zhàn)飛行器發(fā)展的必然方向。對(duì)于采用攝動(dòng)制導(dǎo)的快速機(jī)動(dòng)發(fā)射運(yùn)載火箭或彈道導(dǎo)彈，需要在射前預(yù)先生成一條最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)彈道，從而完成射擊諸元裝訂。射擊諸元的快速裝訂對(duì)縮短發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間具有重要作用，而發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間關(guān)系著運(yùn)載工具的射前生存能力和所運(yùn)送有效載荷執(zhí)行任務(wù)的快速性，機(jī)動(dòng)發(fā)射地點(diǎn)的時(shí)變性，對(duì)彈道快速優(yōu)化設(shè)計(jì)提出了新要求，偽譜法的高計(jì)算效率可應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，它在這一領(lǐng)域的應(yīng)用值得關(guān)注。高效率和高精度是優(yōu)化計(jì)算不斷追求的目標(biāo)。偽譜法的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是影響計(jì)算效率和精度的因素之一，將節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)同時(shí)作為優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量，提高優(yōu)化效率和精度，是偽譜法求解最優(yōu)控制問題的研究方向之一[46]。

2)在線軌跡優(yōu)化問題。軌跡在線生成(快速重規(guī)劃)是當(dāng)前飛行器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域的熱門研究方向。傳統(tǒng)的飛行器制導(dǎo)算法是射前預(yù)先計(jì)算好一條最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)彈道，利用一定的制導(dǎo)控制算法，使飛行器克服外界干擾，盡量沿設(shè)計(jì)的彈道飛行。這樣的飛行彈道實(shí)際上是次最優(yōu)彈道。軌跡在線生成技術(shù)的引入，使飛行器在因外界干擾作用而偏離設(shè)計(jì)的最優(yōu)彈道時(shí)，能夠快速規(guī)劃出一條新的最優(yōu)彈道。簡(jiǎn)化的、能轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的最優(yōu)控制問題，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了軌跡在線生成，對(duì)于只能轉(zhuǎn)化為NLP問題的復(fù)雜最優(yōu)控制問題，實(shí)現(xiàn)軌跡在線生成，還有很多問題需要研究[51]，偽譜法計(jì)算高精度和高效率特點(diǎn)，使其恰恰具有應(yīng)用于這一領(lǐng)域的潛力。很多軌跡在線生成問題可行域的非凸性，使得任意給定初值條件下，利用偽譜法很難得到最優(yōu)軌跡，因此初值生成方法成為亟待研究的問題，良好的初值生成方法，將大大減小偽譜法的計(jì)算時(shí)間[45]，從而提高軌跡在線生成速度。

在偽譜法研究方面，國外經(jīng)歷了由理論研究到開展地面試驗(yàn)[56]，再到應(yīng)用于實(shí)際飛行的歷程[7,57]。在理論研究和數(shù)值仿真成熟的條件下，我們也可以有條件地適時(shí)設(shè)計(jì)開展地面試驗(yàn)，以驗(yàn)證理論研究的正確性，并逐步實(shí)現(xiàn)其在實(shí)際型號(hào)中的應(yīng)用。

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Overview of pseudo-spectral method and its application intrajectory optimum design for flight vehicles

YANG Xixiang， YANG Huixin， WANG Peng

Trajectory optimum design for flight vehicles using pseudo-spectral methods has been a hot research direction in recent years, but studies about the overview of this field are very few. Based on the systematic research of domestic and overseas related literatures, the basic principles of several pseudo-spectral methods which have a wide range of applications in aerospace field were expounded; the thoughts and formulas for transforming continuous optimal control problems into nonlinear programming problems were concluded; the applications of pseudo-spectral method in the trajectory optimum design for flight vehicles were summarized; the development directions of pseudo-spectral method and its application in trajectory optimization design for flight vehicles were discussed.

pseudo-spectral method; flight vehicles; trajectory; optimum design; overview

2015-04-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11102229)

楊希祥(1982—)，男，河北阜城人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E-mail：nkyangxixiang@163.com

10.11887/j.cn.201504001

http://journal.nudt.edu.cn

V221; V421.1

A

1001-2486(2015)04-001-08