吳智軍，李朝遷

(云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明650504)

1.引言

矩陣偽譜(Pseudospectra)[1]是反映和描述矩陣擾動(dòng)性的一種工具，也一定程度上反映了矩陣的非正規(guī)性的程度，其在馬爾科夫鏈[2]、微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性[3]、動(dòng)力學(xué)[4]、生態(tài)學(xué)[5]、生物學(xué)[6]、信號(hào)處理[7]等方面有廣泛的應(yīng)用.

定義1.1[8]設(shè)矩陣A = (aij) ∈Cn×n，ε ≥0，‖·‖是向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).稱Λ?(A) ={z ∈C:‖(zI -A)-1‖≥?-1}為矩陣A的?-偽譜，其等價(jià)定義如下：

1) Λ?(A)={z ∈C:z ∈Λ(A+E)，‖E‖≤?};

2) Λ?(A)={z ∈C:?u ∈Cn，‖u‖=1，‖(A-zI)u‖≤?}.

進(jìn)一步，若‖·‖是譜范數(shù)，則

3) Λ?(A)={z ∈C:σmin(zI -A)≤?}，

其中σmin(A)表示矩陣A的最小奇異值，Λ(A)表示矩陣A的譜，即矩陣A所有特征值構(gòu)成的集合.

矩陣偽譜的理論研究主要包含偽譜的計(jì)算和偽譜定位集的確定.偽譜計(jì)算的算法有Grid-SVD算法[9]、Krylov子空間迭代算法[10]、塊隱式重啟Arnoldi 迭代算法[11-13]等.然而對(duì)于大型矩陣而言，偽譜的精確計(jì)算非常困難[14].另一方面，對(duì)于某些應(yīng)用問題，如連續(xù)時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒性[15]等，只需知道偽譜在復(fù)平面的大概位置就可以進(jìn)行判斷.這類應(yīng)用問題研究的需求帶來矩陣偽譜另一方面的研究，即矩陣偽譜的定位問題研究.

2001年，Embree 和Trefethen[16]給出基于譜范數(shù)的矩陣Gersgorin型偽譜定位集.

定理1.1[16]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，ε ≥0，則

其中

定理1.1只考慮了矩陣行的元素，導(dǎo)致定位結(jié)果往往不是很精確.為此，2016年Kostic等[17]同時(shí)利用行與列的信息改進(jìn)了上述結(jié)果，得到如下兩個(gè)偽譜定位集.

定理1.2[17]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則Λ?(A)?K?(A)，其中

定理1.3[17]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

其中

本文將繼續(xù)研究矩陣偽譜的定位問題，給出了優(yōu)于文[16-17]中結(jié)果的矩陣偽譜定位集，并應(yīng)用所得結(jié)果對(duì)土壤生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行擾動(dòng)分析.

2.矩陣偽譜新的定位集

本節(jié)，應(yīng)用矩陣A+E的特征多項(xiàng)式和三角不等式，尋找矩陣偽譜新的定位集.

定理2.1設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

證設(shè)λ ∈Λ?(A)，則存在矩陣E =(eij)∈Cn×n(‖E‖2≤2)，使得

其中x ∈Cn是A+E的對(duì)應(yīng)于λ 的一個(gè)非零特征向量.

設(shè)

則|xp|≥0.由(2.1)式的第p個(gè)等式得

應(yīng)用三角不等式得

即

由Cauchy不等式得

其中，

由(2.2)式得，

若|xq|=0，則于是λ ∈B?(A).若|xq|≥0，則

由(2.3)式和(2.4)式得

故

證畢.

注1當(dāng)?=0時(shí)，定理2.1退化為矩陣特征值包含集的Brauer卵形定理，即定理2.1是Brauer卵形定理[18]的推廣.

注2定理1.3中的需同時(shí)考慮ri(A)和ri(AT)，當(dāng)ri(AT)大于ri(A)時(shí)，定位集往往沒有定位集B?(A)精確.

下面給出另一個(gè)偽譜定位集.

定理2.2設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

其中

證設(shè)λ ∈Λ?(A)，x ∈Cn是A+E的對(duì)應(yīng)于λ 的一個(gè)非零特征向量，類似于定理2.1，設(shè)

則|xp|≥0.于是對(duì)于任意的ip，(2.1)式的第p個(gè)等式可寫為

應(yīng)用三角不等式可得

即

若|xi|≥0，由(2.1)式的第i個(gè)等式得

應(yīng)用三角不等式得

即

由(2.5)式和(2.6)式得

故

若|xi|=0，(2.7)式顯然成立.因此，

故

證畢.

注3當(dāng)?=0時(shí)，定理2.2退化為文[19]中矩陣特征值定位定理.

下面給出新的偽譜定位集與文[16]中的定位集之間的關(guān)系.

定理2.3設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

證先證D?(A)?Γ?(A)，設(shè)z ∈D?(A)，則?j ∈N，對(duì)任意的ij使得

且

因此，

由(2.9)式和(2.11)式得，

與(2.8)式矛盾，故z ∈Γ?(A).

類似于D?(A) ?Γ?(A)，易證B?(A)?Γ?(A).下證D?(A) ?B?(A).事實(shí)上，設(shè)z ∈D?(A)，則?j ∈N，對(duì)任意的ij使得(2.8)式成立.由D?(A)?Γ?(A)得，?i ∈N，使得

由(2.8)式和(2.12)式得

故z ∈B?(A).因此，Λ?(A)?D?(A)?B?(A)?Γ?(A).證畢.

定理1.1中的偽譜定位集Γ?(A)需要確定n個(gè)圓盤，而新的偽譜定位集，即定理2.1和定理2.2中的定位集B?(A)和D?(A)需要確定n(n-1)個(gè)卵形區(qū)域.然而，正如定理2.3所示，新的偽譜定位集B?(A)和D?(A)比定理1.1中的偽譜定位集Γ?(A)更精確.下面通過數(shù)值例子比較新的偽譜定位集與文[17]中的偽譜定位集，即定理1.2和定理1.3中K?(A)和(A) 的優(yōu)劣.

例2.1考慮如下四階矩陣

取?= 0.3，其偽譜Λ?(A) ，定位集D?(A)，K?(A)，B?(A)，(A)，Γ?(A)分別如圖1所示，中間區(qū)域表示由Grid-SVD法[9]計(jì)算給出的矩陣M偽譜Λ?(A)，從內(nèi)到外依次為偽譜定位集D?(A)、K?(A)、B?(A)、(A)、Γ?(A)的邊界.顯然，D?(A) ?B?(A) ?(A) ?Γ?(A)，且D?(A) ?K?(A)?Γ?(A).

本例表明新的偽譜定位集比文[16]，即定理1.1中的偽譜定位集小，且在某些情況下優(yōu)于文[17]，即定理1.2和定理1.3中的偽譜定位集.

圖1 矩陣M的偽譜定位集

3.應(yīng)用

本節(jié)應(yīng)用上述偽譜定位集對(duì)土壤生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行擾動(dòng)分析.考慮土壤早期生態(tài)系統(tǒng)[17]，見圖2，其中從上到下為該系統(tǒng)中的獵物到消費(fèi)者，主要由八個(gè)功能類別的消費(fèi)者組成：1.變形蟲(頂級(jí)捕食者)，2.螨蟲，3.真菌線蟲，4.細(xì)菌性線蟲，5.鞭毛蟲，6.真菌，7.細(xì)菌，8.碎屑.應(yīng)用文[20-21]的方法預(yù)處理得到群落矩陣A，其對(duì)角元素的絕對(duì)值表示相應(yīng)功能組內(nèi)的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)(如配偶、空間、食物等)；對(duì)于i ＜j，-aij表示捕食者j對(duì)獵物i的捕食率；對(duì)于i ＞j，aij表示獵物i對(duì)捕食者j的供給率.考慮如下群落矩陣：

盡管矩陣特征值可用來分析土壤生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即如果該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的群落矩陣的特征值都在復(fù)平面的左半平面，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但在確定系統(tǒng)的生理參數(shù)和生物量密度時(shí)存在測(cè)量誤差和經(jīng)驗(yàn)不確定性，導(dǎo)致該群落矩陣并不能真實(shí)的反映實(shí)際情況，即該群落矩陣存在一定的擾動(dòng).此時(shí)應(yīng)用矩陣特征值分析其穩(wěn)定性并不有效，而應(yīng)用偽譜來研究該系統(tǒng)的穩(wěn)定性更加合理.另一方面，盡管可使用計(jì)算偽譜的算法，如Grid-SVD算法、Krylov子空間迭代算法、塊隱式重啟Arnoldi迭代算法等確定上述矩陣A的偽譜，進(jìn)而對(duì)該系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行擾動(dòng)分析，但卻需要更多的計(jì)算.

圖2 4個(gè)營(yíng)養(yǎng)層次的土壤食物網(wǎng)的營(yíng)養(yǎng)相互作用

下面應(yīng)用偽譜定位集分析上述土壤生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.考慮擾動(dòng)臨界值?= 1.25×10-2，對(duì)于任意的矩陣E滿足‖E‖2≤?，群落矩陣A的偽譜定位集B?(A)位于左半復(fù)平面，見圖3，即當(dāng)矩陣A的擾動(dòng)?= 1.25×10-2時(shí)，A+E的特征值仍落在左半復(fù)平面，因此其對(duì)應(yīng)的土壤生態(tài)系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的.進(jìn)一步，當(dāng)擾動(dòng)臨界值?= 1.75時(shí)，對(duì)于任意的矩陣E滿足‖E‖2≤?，群落矩陣A的偽譜定位集D?(A)位于復(fù)平面的左半平面，見圖4，即當(dāng)矩陣A的擾動(dòng)?= 1.75時(shí)，A + E 的特征值仍落在左半復(fù)平面，因此其對(duì)應(yīng)的土壤生態(tài)系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的.然而當(dāng)?= 1.25×10-2或?= 1.75時(shí)，文[16-17]所給的偽譜定位集與右半復(fù)平面的交非空，見圖3和圖4，因此無(wú)法得到上述結(jié)論.同時(shí)，可不必使用偽譜的算法計(jì)算群落矩陣A的偽譜，仍能判斷在?=1.25×10-2或?=1.75擾動(dòng)下對(duì)應(yīng)的土壤生態(tài)系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的.因此，避免了應(yīng)用相關(guān)算法計(jì)算其偽譜，進(jìn)而減少了計(jì)算量.

圖3 當(dāng)?=1.25×10－2時(shí)，群落矩陣A的偽譜定位集B?(A)

圖4 當(dāng)?=1.75時(shí)，群落矩陣A的偽譜定位集D?(A)