楊 君， 呂鏡清

（①裝備指揮技術(shù)學(xué)院航天測(cè)控工程研究中心，北京 101416；②信息綜合控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610036；③中國西南電子設(shè)備研究所，四川 成都 610036）

0 引言

FFT作為DFT的快速算法一直以來都是頻譜分析的重要工具，由于DFT運(yùn)算與復(fù)調(diào)制濾波器組運(yùn)算的相似性[1-2]，F(xiàn)FT的濾波功能也逐漸引起了重視，作為復(fù)調(diào)制濾波器組的快速算法近年來FFT在圖像傳輸、信道化處理[3]、信號(hào)盲識(shí)別[4]等領(lǐng)域得到了應(yīng)用。但是在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中FFT的濾波輸出常常與預(yù)期存在差異，主要表現(xiàn)在時(shí)域波形畸變、起始部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失等，這些差異可能造成后續(xù)數(shù)據(jù)處理產(chǎn)生嚴(yán)重誤差，而對(duì)于FFT運(yùn)算與濾波運(yùn)算之間的具體差異相關(guān)文獻(xiàn)并沒有進(jìn)一步論述，工程中往往只能通過反復(fù)調(diào)整其低通原型濾波器來接近預(yù)期效果，使得設(shè)計(jì)效率大大降低且濾波性能仍未得到根本保證，為此本文對(duì)FFT的濾波原理進(jìn)行了推證，找出了存在濾波誤差的原因，并給出了消除誤差的方法。

1 FFT的濾波原理

根據(jù)卷積和的定義，一個(gè)時(shí)域離散信號(hào) x(n)(長(zhǎng)度為 L)通過一個(gè)FIR線性相位濾波器h(n)(階數(shù)為M，長(zhǎng)度為M+1)的計(jì)算過程如圖1所示。

圖1 濾波過程(y(n)為濾波輸出)

如圖1所示，第n時(shí)刻的濾波輸出實(shí)際是x(n)及其之前的M個(gè)點(diǎn)(將這M+1個(gè)點(diǎn)定義為xn)與反向后的h(n)相乘再相加的結(jié)果，因此濾波結(jié)果完全可以等價(jià)表示為如下這種滑動(dòng)相關(guān)的形式：

其中xn(i)=x(n-M+i)。在式(1)基礎(chǔ)上定義一個(gè)新的函數(shù)：

將求和式展開后比較式(1)和式(2)，有如下結(jié)論：

因此 y’(n)是 y(n+1)的近似，而近似程度取決于 h(0)和xn+1(M)的取值。也就是說，當(dāng)h(0) xn+1(M)相對(duì)很小時(shí)，信號(hào)x(n)通過濾波器h(n)第n+1時(shí)刻的濾波輸出近似等于進(jìn)而有：

以M階梳狀濾波器[5](即系數(shù)全為1的濾波器)為低通原型，構(gòu)造復(fù)調(diào)制濾波器組如下：

則根據(jù)式(4)，信號(hào)x(n)通過該濾波器組時(shí)，第k個(gè)子信道的濾波輸出為：

顯然式(6)等號(hào)右邊正是對(duì)xn-1做FFT的表達(dá)式。而前面定義xn(i)=x(n-M+i)，因此FFT的濾波原理可以表述為：將第n-1時(shí)刻的輸入數(shù)據(jù)及其之前的M個(gè)數(shù)據(jù)作FFT其結(jié)果近似等于以M階梳狀濾波器為低通原型的M信道(通道)復(fù)調(diào)制濾波器組第n時(shí)刻的濾波輸出，而濾波誤差為h(0)xn(M)即x(n)。

不難證明用 FFT實(shí)現(xiàn)低通原型為其它濾波器(記為h0(n)，且階數(shù)為M)的復(fù)調(diào)制濾波器組的表達(dá)式為：

即先加窗再做FFT，所加的窗函數(shù)為反向移位后的低通原型h0(n)，同時(shí)第n時(shí)刻濾波輸出的誤差為h0(0) xn(M)(即h0(0)x(n))。

2 頻率響應(yīng)誤差

由于第n時(shí)刻FFT的濾波輸出中缺少了h0(0) x(n)項(xiàng)(根據(jù)式(2))，相當(dāng)于FFT等效的實(shí)現(xiàn)了以(n)為低通原型的復(fù)調(diào)制濾波器組，其中

顯然 h0(n) 的頻率響應(yīng)與(n)存在差異，下面進(jìn)行詳細(xì)論述。

2.1 誤差分析

通常采用I類線性相位FIR濾波器（長(zhǎng)度為奇數(shù)，系數(shù)偶對(duì)稱）作為低通原型，因此h0(n)的頻率響應(yīng)為[2]：

在式(10)中令：

相頻響應(yīng)為：

其中()ωσω滿足：

另一方面考查h0(n)的幅頻、相頻響應(yīng)，根據(jù)式(9)有：

在通帶內(nèi) A (ω)遠(yuǎn)大于 h0(M ),上式約等于 - 2A( ω )h0(M )·cos(ωM/2)，此時(shí)如果的通帶波紋與cos(ωM/2)有著相似的變化規(guī)律(比如用等波紋法設(shè)計(jì)出的h0(n) )，則會(huì)造成在取最大值時(shí)比大，在取最小值時(shí)比小，換句話說(n)增大了h0(n)的通帶波紋，

其增大的幅度由 A (ω)在峰值頻點(diǎn)上的取值以及 h0(M )的大小決定。另一方面在阻帶內(nèi) A (ω)與 h0(M )相當(dāng)，甚至更小，因此式(13)在阻帶內(nèi)取值會(huì)很小，比如用等波紋法設(shè)計(jì)出128階的h0(n)其阻帶衰減為-140 dB，而此時(shí)(n)的阻帶衰減與其最大相差約6 dB，因此(n)相對(duì)于(n)在阻帶上的變化是不明顯的。

① 相頻響應(yīng)非線性；

② 可能造成通帶波紋增大。

這里舉例驗(yàn)證此結(jié)論。取歸一化通帶截止頻率為 1/8，過渡帶寬為1/80，在 Matlab的Filter Design & Analysis Tool中利用Equiripple法設(shè)計(jì)出不同階數(shù)的低通濾波h0(n)，其中最小階數(shù)為16最大為1 024，階數(shù)增加的步長(zhǎng)取15，然后根據(jù)式(8)構(gòu)造出相應(yīng)的(n)，對(duì)(n)通帶內(nèi)的頻率響應(yīng)進(jìn)行誤差分析。各頻點(diǎn)的頻率響應(yīng)由DTFT(離散時(shí)間傅里葉變換)求得，歸一化頻率分辨率取10-5，各頻點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用斜率代替。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 ()n通帶內(nèi)的頻率響應(yīng)誤差

仿真結(jié)果表明頻率響應(yīng)誤差與 h0(M ) 存在密切關(guān)系。在階數(shù)較小時(shí) h0(M ) 較大，(n)通帶內(nèi)的頻率響應(yīng)誤差較大。隨著階數(shù)的增加h0(n)本身性能提高導(dǎo)致 h0(M ) 逐漸減小，從而使得(n)通帶內(nèi)的頻率響應(yīng)誤差逐漸減小。

2.2 誤差影響

頻率響應(yīng)誤差導(dǎo)致'

0()hn的濾波性能較 h0(n)有所下降，主要表現(xiàn)在：

①導(dǎo)致信號(hào)時(shí)域波形畸變；

②影響和信道濾波器的通帶平坦度，降低和信道濾波器的濾波性能。

下面著重說明第二點(diǎn)。在圖像傳輸以及信道化處理中經(jīng)常需要將相鄰的子信道濾波器相加來增加濾波帶寬[6-7](將相加后得到濾波器稱之為和信道濾波器)，為了保證濾波質(zhì)量，要求和信道濾波器通帶平坦。假設(shè)以h0(n)為低通原型的復(fù)調(diào)制濾波器組滿足和信道通帶平坦的要求，當(dāng)用FFT實(shí)現(xiàn)此濾波器組時(shí)其低通原型變?yōu)?n)，其和信道濾波器的平坦度必然受到影響。下面舉例說明。

取歸一化通帶截止頻率為0.10375，過渡帶寬為0.0425，在 Matlab的 Filter Design & Analysis Tool中利用Equiripple(等波紋法)設(shè)計(jì)出128階低通濾波h0(n)，根據(jù)式(8)得到(n)，分別以h0(n)和(n)為低通原型構(gòu)造8信道濾波器組，將第 2,3,4子信道濾波器合并，得到和信道濾波器通帶平坦度對(duì)比如下。

圖3 和信道通帶對(duì)比

2.3 誤差消除

根據(jù)式(11c)和式(12)可知，若 h0(M )為零則可以完全消除(n)的相頻特性非線性以及幅頻特性誤差，因此在設(shè)計(jì)低通原型h0(n)時(shí)應(yīng)注意使首末系數(shù)為零或盡量接近于零。利用窗函數(shù)法就可以很容易的設(shè)計(jì)出首末系數(shù)為零的低通濾波器。窗函數(shù)法設(shè)計(jì)出的低通濾波器系數(shù)具有如下特點(diǎn)：

其中cω為通帶截至頻率，M為濾波器階數(shù)，W(n)為選擇的窗函數(shù)(如 Gaussion窗、Kaiser窗、Chebyshev窗等)。首末系數(shù)為：

顯然只要ωcM/2為π的整數(shù)倍就可實(shí)現(xiàn)首末系數(shù)為零。當(dāng)需要實(shí)現(xiàn)2D個(gè)信道的濾波器組時(shí)，低通原型的通帶截至頻率應(yīng)設(shè)置為π/2D，此時(shí)ωcM/2=πM/4D ，因此只要階數(shù)M為4D的整數(shù)倍就可實(shí)現(xiàn)首末系數(shù)為零。在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)這一點(diǎn)是非常容易做到的。

事實(shí)上更為簡(jiǎn)單的方法是在已有濾波器的首末各補(bǔ)一個(gè)零,這樣既不影響濾波器性能又消除了FFT時(shí)的頻率響應(yīng)誤差。

3 相位超前現(xiàn)象

當(dāng)h0(M)=0時(shí)可以避免頻率響應(yīng)誤差，但是仍會(huì)產(chǎn)生相位超前現(xiàn)象。

考查式(10)，當(dāng)h0(M)=0時(shí)'()hn的幅頻響應(yīng)為：

如果在用 FFT進(jìn)行濾波運(yùn)算時(shí)仍然認(rèn)為群延遲為 M/2個(gè)采樣點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)采樣周期的誤差。這個(gè)誤差隨采樣周期的增大而增大，在一些場(chǎng)合中會(huì)影響數(shù)據(jù)處理精度，例如統(tǒng)一測(cè)控系統(tǒng)中的側(cè)音測(cè)距，其利用收側(cè)音相對(duì)于發(fā)側(cè)音的傳輸延遲來推算出目標(biāo)距離，公式可以簡(jiǎn)單的表示為R=Δt×C/2，其中R為目標(biāo)距離，Δt為傳輸延時(shí)，C為光速3×108m/s，設(shè)中頻欠采樣頻率為6.5 MHz，則算出的距離就會(huì)增加約23 m的誤差。

另一種超前現(xiàn)象主要在事后數(shù)據(jù)處理時(shí)發(fā)生。在事后處理中由于數(shù)據(jù)都已獲得因此N點(diǎn)FFT直接從前N個(gè)數(shù)據(jù)開始，等效于圖1中從n=M,(N=M+1)開始向后滑動(dòng)，濾波輸出產(chǎn)生了M點(diǎn)的超前，這樣起始M個(gè)點(diǎn)的濾波結(jié)果就會(huì)丟失，減去(M-2)/2個(gè)點(diǎn)的群延時(shí)，則最終造成起始的(M+2)/2個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)丟失。而在實(shí)時(shí)處理時(shí)采樣數(shù)據(jù)逐個(gè)進(jìn)入數(shù)據(jù)緩沖區(qū)，而數(shù)據(jù)未到達(dá)的緩沖區(qū)數(shù)據(jù)位為零，等效于數(shù)據(jù)處理從圖 1中n=0開始，因此實(shí)時(shí)處理不會(huì)出現(xiàn)此種超前現(xiàn)象。

兩種超前現(xiàn)象都會(huì)造成濾波誤差。對(duì)于第一種超前現(xiàn)象只需要在扣除濾波延時(shí)時(shí)用(M-2)/2代替M/2即可消除誤差；對(duì)于第二種超前現(xiàn)象，在數(shù)據(jù)前補(bǔ)M個(gè)零即可等效于圖 1中從n=0開始濾波，從而避免數(shù)據(jù)丟失。

4 結(jié)語

本文詳細(xì)分析了 FFT運(yùn)算與復(fù)調(diào)制濾波器組運(yùn)算之間的差異，推導(dǎo)出了頻率響應(yīng)的誤差項(xiàng)，并對(duì)該誤差造成的濾波性能下降進(jìn)行了仿真分析，針對(duì)誤差產(chǎn)生原因提出了首末置零的簡(jiǎn)單方法以完全消除誤差；另一方面文章分析指出了在實(shí)時(shí)及事后數(shù)據(jù)處理中 FFT相對(duì)于濾波器組存在的固有的相位超前現(xiàn)象，給出具體超前量和有效解決方法。文章為精確控制FFT的濾波性能及進(jìn)一步提高其濾波質(zhì)量提供了有效參考。

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