余仕成,周金華

(武漢工程大學理學院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

在很多應(yīng)用問題中會涉及到磁場分布[1]，而均勻密繞的載流長直螺線管和螺繞環(huán)的磁場分布既是技術(shù)應(yīng)用中常見的磁場分布，又是大學物理中磁場理論的典型問題.在一般大學物理教材[2-5]中，都是根據(jù)磁場分布的對稱性利用磁場的安培環(huán)路定理來求解，而在有關(guān)對稱性的討論中，其方向?qū)ΨQ性都沒有給出嚴格的證明,本文利用畢奧-薩伐爾定律和磁場疊加原理對載流長直螺線管的磁場方向?qū)ΨQ性和載流螺繞環(huán)的磁場方向?qū)ΨQ性進行了分析與證明.

1 載流長直螺線管的磁場方向

長直螺線管是一個理想模型，其長度當作無限長，通電導線是均勻密繞的.在理論分析時可看作是有很多的圓電流所構(gòu)成的.因為電流具有軸對稱，所以，磁場方向也具有對稱性：螺線管內(nèi)任意點的磁場方向都與管軸平行.

圖1 載流長直螺線管的磁場方向

如圖1所示，任取一點P，到軸線的距離為r.建立直角坐標系，z軸沿螺線管的中心軸線，y軸過P點，則P點坐標為P(0,r,0).取兩個圓電流O′和O″，它們到O點的距離都為z；在圓電流O′和O″的對應(yīng)位置A′和A″處各取一相同的電流元Idl，I是圓電流的強度.A′和A″的坐標可表示為A′(Rcosθ,Rsinθ,-z)和A″(Rcosθ,Rsinθ,z)，而Idl=Idl(-sinθi+cosθj).根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，A′處的電流元Idl在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

(1)

其中μ0為真空磁導率,r′=-Rcosθi+(r-Rsinθ)j+zk為由A′指向P的矢量，r′為A′點到P點的距離.而A″處的電流元Idl在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

(2)

其中r″=-Rcosθi+(r-Rsinθ)j-zk為由A″指向P的矢量，r″為A″點到P點的距離，且r″=r′.由磁場的疊加原理，可得兩電流元在P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

(3)

而r′+r″=-2Rcosθi+2(r-Rsinθ)j

Idl×(r′+r″)=

代入(3)式得

(4)

即dB的方向沿螺線管的軸線方向.對于長直螺線管來說，圓電流是成對的，電流元也是成對的，所以P處的磁場方向必平行于螺線管的軸線方向.

2 載流螺繞環(huán)的磁場方向

均勻密繞的螺繞環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖2所示，也可看作是有很多的圓電流所構(gòu)成的.設(shè)螺繞環(huán)的中心軸線圓的半徑為R，環(huán)管截面圓的半徑(即圓電流的半徑)為r.如圖3所示，建立直角坐標系，坐標原點O在螺繞環(huán)的幾何對稱中心點，z軸豎直向上；任取一P點，使xoz平面通過P點(P點即可以在環(huán)管內(nèi)部，也可以在環(huán)管外部)，設(shè)P點坐標為P(x,0,z).任取兩個關(guān)于xoz平面對稱的圓電流O1和O2，其圓平面與xoz平面的夾角都為θ；作P點與圓O1和O2的垂直線，垂直線與O1和O2圓平面的交點分別為P1和P2，設(shè)直線O1P1與直線OO1的夾角為α，則直線O2P2與直線OO2的夾角也為α；在圓電流O1、O2的對應(yīng)位置A1、A2分別取大小相等的電流元Idl1、Idl2，半徑O1A1與O1P1的夾角為φ，半徑O2A2與O2P2的夾角也為φ.A1、A2的位置坐標分別為A1(x1,-y1,z1)、A2(x1,y1,z1)，其中x1=(R+rcos(α+φ))cosθ、y1=(R+rcos(α+φ))sinθ、z1=rsin(α+φ)；電流元Idl1、Idl2分別表示為Idl1=a1i+b1j+c1k、Idl2=a1i-b1j+c1k，其中a1=-Idlsin(α+φ)×cosθ、b1=-Idlsin(α+φ)sinθ、c1=Idlcos(α+φ).根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，電流元Idl1在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

圖2 螺繞環(huán)

圖3 載流螺繞環(huán)的磁場方向

(5)

其中r1=a2i+b2j+c2k為由A1指向P的矢量，r1為A1點到P點的距離，而a2=x-x1、b2=y1、c2=z-z1.而電流元Idl2在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

(6)

其中r2=a2i-b2j+c2k為由A2指向P的矢量，r2為A2點到P點的距離，且r2=r1.由磁場的疊加原理，可得兩電流元Idl1和Idl2在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

(7)

而

(a1c2-a2c1)j+(a1b2-a2b1)k

則Idl1×r1+Idl2×r2=-2(a1c2-a2c1)j

將上式代入(7)式得

(8)

由于螺繞環(huán)結(jié)構(gòu)的對稱性，上述電流元和圓電流都是成對出現(xiàn)的，所以P的磁場方向沿著通過P點的圓(圓心在z軸上且圓平面與 軸垂直)的切線方向.

參考文獻：

[1]余仕成.一個電磁感應(yīng)演示實驗的分析與計算[J].武漢工程大學學報，2007，29(2):94-96.

[2]吳錫瓏.大學物理教程(第二冊)[M].北京：高等教育出版社，1999:258-259.

[3]黃祝明，吳鋒.大學物理學(上冊)[M].北京：化學工業(yè)出版社，2008:214-214.

[4]程守洙，江之永.普通物理學(第二冊)[M].北京：高等教育出版社，1998:231-232.

[5]張三慧.電磁學[M].北京：清華大學出版社，1999:261-262.