數(shù)學教學從一定程度上說，也就是數(shù)學語言的教學。學習數(shù)學的過程也是數(shù)學語言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運用的過程。而語言是思維的工具，學生對數(shù)學語言的掌握直接影響其數(shù)學思維、數(shù)學表達和數(shù)學交流的成效。在學校教育中，學生學習數(shù)學語言的重要渠道是數(shù)學課堂教學，主要通過教師運用數(shù)學教學語言來展開師生之間的對話和交流，從而促成學生對數(shù)學語言的理解。數(shù)學教學語言是數(shù)學語言與自然語言的綜合運用，數(shù)學課堂教學的有效進行，除教師運用操作演示等一些無語啟發(fā)外，多數(shù)情況下需要借助啟發(fā)性提示語對學生進行必要的引導，使學生形成發(fā)現(xiàn)、提出問題和解決問題的學習心向，以引發(fā)積極、有效的思維活動。然而當前對啟發(fā)性提示語的認識還比較模糊，致使數(shù)學教學中對啟發(fā)性提示語的關(guān)注和運用不夠，鑒于此，有必要研究數(shù)學教學中的啟發(fā)性提示語。

一、 啟發(fā)性提示語的由來與發(fā)展

啟發(fā)性提示語是教師在教學中用于啟發(fā)學生思維的教學語言。教師借助啟發(fā)性提示語給學生必要的提示或暗示，學生通過自己的思維活動獲得提示或暗示，從而使數(shù)學思維得以發(fā)生、發(fā)展，數(shù)學知識和能力得以生長。

關(guān)于啟發(fā)性提示語的由來，首先要提到的是數(shù)學家波利亞，他關(guān)于數(shù)學解題理論的系統(tǒng)研究至今仍為人們稱頌和叫絕。在其著名的怎樣解題表中給出一系列提示性問題，這些問題不是別人問的，而是解題者自己問自己，通過運用相應的提示語學習自我啟發(fā)。波利亞的提示語中有一些是針對認知內(nèi)容和具體信息加工的，屬于認知范疇。但更多的提示語是以解題者自身的認知為對象，屬于元認知范疇，如你能否想到一個更容易著手的相關(guān)題目?你能重新表述一下這個問題嗎?如果你不能解出新提出的問題，那就去尋找一個適當?shù)挠嘘P(guān)聯(lián)的問題。在波利亞的數(shù)學解題思想中雖然沒有引入元認知的概念，但其中充滿了元認知的思想。

涂榮豹教授深入研究波利亞數(shù)學解題理論中的元認知思想，并對其進一步豐富和發(fā)展。他在長期深入中學數(shù)學課堂進行研課的基礎上首次提出“元認知提示語”，并充分肯定其在數(shù)學教學中的作用。在數(shù)學教學中教師除運用元認知提示語對學生進行啟發(fā)外，還常常借助認知提示語進行啟發(fā)，因此可把這些用于啟發(fā)學生思維活動得以發(fā)生和發(fā)展的提示語總稱為“啟發(fā)性提示語”。

二、 啟發(fā)性提示語的基本特征

啟發(fā)性提示語具有如下的基本特征

1.啟發(fā)性

數(shù)學是思維的科學，有效的數(shù)學教學需要學生充分的思維參與和情感參與。要促進學生數(shù)學思維的深層參與，誘發(fā)其頭腦內(nèi)部激烈的思想活動，使數(shù)學教學不是停留在表面熱鬧的淺層次交流上，教師運用的啟發(fā)性提示語應具有啟發(fā)性，即提示語中涉及的問題具有一定的思維力度和深度，能觸動學生的思維神經(jīng)，點撥思維方向及思考方法，使學生產(chǎn)生疑難和困惑的體驗，引發(fā)認知沖突，從而引起學生的探索興趣，形成有意義學習的心向，使思維活動得以發(fā)生、發(fā)展，以此進行深層思維。此時學生對教師的提示語需要通過積極的探索和動腦思考，需要運用比較、分析、綜合、抽象、概括、特殊化、一般化等思維方法來解決。通過啟發(fā)性提示語的運用，不是僅為了有效地獲得問題的答案，還要有利于促成學生反復、持續(xù)的思維活動，更深入地挖掘數(shù)學問題的本質(zhì)。

“曲線與方程”課例的教學中，教師提出:前面我們學習建立直線方程的時候，每畫一條直線就能根據(jù)直線寫出它的方程，并且認定它就是直線的方程。你們對這樣的認定是否放心?你憑什么說這個方程是這條直線的方程?此時教師運用的提示語具有啟發(fā)性，這個問題對學生來說既有所知而又非全知，由此引起學生的困惑和認知沖突，需要學生數(shù)學思維的深層參與才能解決。而在一些單純追求多問多答的課堂中，啟發(fā)學生思考、拓展學生思維的富有啟發(fā)性的提示語鳳毛麟角。

2.過程性

在數(shù)學教學中，要能夠真正促動學生的深層思維，激發(fā)學生的思維火花，教師的啟發(fā)性提示語在引導學生獲得數(shù)學知識的同時，更要注重啟發(fā)學生領(lǐng)悟數(shù)學知識如何通過思維活動得到的，從而使啟發(fā)指向?qū)W生的思維過程和思考方法，并以此獲得思維結(jié)果。因為深層的思維活動是復雜的認知過程，是主體在自己的頭腦中建立和發(fā)展數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程，這一過程需要主體積極主動地智力參與才能實現(xiàn)。啟發(fā)性提示語重在導引這一過程的有效行進，在遵循學生思維規(guī)律的基礎上，通過提示語的啟發(fā)使學生適時暴露思維過程，因而使得啟發(fā)性提示語體現(xiàn)出過程性特征。教師在設計相應的提示語時不僅考慮啟發(fā)學生思考什么，還要考慮啟發(fā)學生如何思考，為什么這樣思考?通過啟發(fā)性提示語的運用，有利于學生經(jīng)歷必要的知識發(fā)生、發(fā)展過程，體驗提出問題和尋找解決方法的思考過程，形成研究問題時有益的思考方式和良好的思維習慣，從而提高數(shù)學思維活動的有效性。

“指對數(shù)函數(shù)關(guān)系”課例的教學中，教師提出:前面我們學習了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，學習完一些知識后，我們要有一個習慣，就是能不能把這些知識橫向聯(lián)系起來。從聯(lián)系的角度看，你覺得我們今天應該研究什么?它們之間到底有什么關(guān)系?要研究二者的關(guān)系該如何入手?你手頭有哪些工具或材料?你打算如何入手研究?有沒有想法了，你是如何思考的?從定義和性質(zhì)出發(fā)研究是值得重視的思路，是否考慮過其他的研究思路?是否還有其他想法?此時教師運用的提示語體現(xiàn)出一定的過程性，注重啟發(fā)學生的思維過程和思考方法，以此為基礎獲得思維結(jié)果。

3.層次性

由于數(shù)學知識之間的系統(tǒng)性和銜接性比較強，要有效引發(fā)學生的數(shù)學思維活動，就應使新學習內(nèi)容與學生認知結(jié)構(gòu)中的適當知識和觀念建立自然的、實質(zhì)性聯(lián)系。啟發(fā)性提示語的運用既要考慮數(shù)學教學內(nèi)容的系統(tǒng)性和銜接性，又要顧及學生的認知發(fā)展水平，使教學內(nèi)容的組織既符合數(shù)學學科的邏輯結(jié)構(gòu)，又符合學生認知發(fā)展的心理結(jié)構(gòu)。由于不同學生的知識基礎和認知發(fā)展水平存在一定的差異，學生的數(shù)學思維活動具有較強的個體性和獨立性，因此啟發(fā)性提示語之間只有自然銜接、富有層次，才能讓不同思維水平的學生都能受到相應的啟發(fā)，從而使思維齒輪在提示語的潤滑下形成良性運轉(zhuǎn)。

啟發(fā)性提示語從一個普遍的問題或建議開始，然后在必要的時候，逐漸深入到更加特殊和具體的問題或建議，直至能在學生思維中引出一個有反應的問題。其中啟發(fā)性提示語的層次，既有離教學目標遠近的層次性、問題難易程度的層次性，又有認知水平的層次性;既有指向認知活動的提示，又有指向元認知活動的提示。正如波利亞指出的:可能任何類型的思維守則都在于掌握和恰當?shù)剡\用一系列合適的提問。其中層次性是一系列合適的提問首先具備的條件。

教學設計時，教師可根據(jù)學生的不同水平采取分級提示。教學過程中，從學生的認知水平出發(fā)進行動態(tài)調(diào)整，靈活選擇相應層級的提示語或根據(jù)課堂教學實際進一步生成一些提示語，使每一次提示都盡可能地啟發(fā)和暗示一部分學生。經(jīng)過具有層級的提示語鏈的啟發(fā)，使每個學生在適當?shù)膯l(fā)下都有不同層次的探索活動。

“正切函數(shù)圖像和性質(zhì)”課題的教學中，教師可靈活選擇和運用如下具有層級的提示語:前面我們研究了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，那你們說我們今天應該研究什么?可以從哪些方面來研究它呢?研究正余弦函數(shù)時我們主要研究哪些問題?該如何畫正切函數(shù)的圖像呢?以前遇到過類似的問題嗎?你打算如何考慮?能否類比以前的研究方法?是否聯(lián)想過畫正弦函數(shù)圖像的過程?你是如何借助單位圓畫正弦函數(shù)圖像的?能否類比畫正弦函數(shù)圖像的思想，畫出正切函數(shù)的圖像?由正弦線你能聯(lián)想到什么?能否由此預測畫正切函數(shù)圖像的方法?如何借助正切線畫出正切函數(shù)的圖像?

4.暗示性

在數(shù)學教學中，通過教師的引導和啟發(fā)，重在使學生的思維活動得以發(fā)生和發(fā)展，數(shù)學知識和能力得以生長。這一教學過程需要學生思維的深層參與，使數(shù)學思維活動達到一定的強度，才能有利于教學目標的達成。此時教師用于啟發(fā)學生思維活動的提示語，若以直白、言明的形式告訴學生，則學生思維的深層參與也就既無必要，也無意義了。啟發(fā)性提示語一般較含蓄，意思常常不是直言道明，而是委婉地暗示，使學生思而得之，思之愈深、知之愈明，因而使得啟發(fā)性提示語具有一定的暗示性。

“曲線與方程”的課例中，建立直線方程時，每畫一條直線就可以寫出它的方程。對這樣一個工作過程，你們是否產(chǎn)生過疑問?對自己獲得的結(jié)論是否確信無疑?此時教師對要學習的內(nèi)容不是明言直揭，而是暗示以前的研究過程中存在不嚴密之處，以此引發(fā)學生的思維活動，在激疑、生疑中自然進入新內(nèi)容的學習。教學中教師適時采用具有暗示性的啟發(fā)性提示語，能提高學生遷移到新情境的程度而無需借助明顯的提示。

教師運用啟發(fā)性提示語給學生以暗示，學生能否從中獲得暗示和啟發(fā)，與個體的經(jīng)驗、欲望、興趣、情緒的狀態(tài)等密切相關(guān)。雖然每個人接受暗示的能力不同，但人具有可暗示性是個體的一種普遍品質(zhì)。可暗示性是大腦接受或喚起觀念的能力，它傾向于使這些觀念實現(xiàn)，使之化為行動。這里所謂的暗示是指人與人之間，人與環(huán)境之間未意識到的刺激影響作用，特別是在無對抗的條件下，通過含蓄、間接的方式對人的心理和行為發(fā)生影響?；谌说目砂凳拘裕處熯\用啟發(fā)性提示語給學生以暗示與啟迪在教學中是可能的。

有效的數(shù)學教學注重學生數(shù)學思維的深層參與，這是教師簡單告訴數(shù)學結(jié)論或思路，學生被動接受和記憶而無需內(nèi)化的教學所達不到的，因為這種教學已使學生的思維成為無必要的活動，具有一定強度的思維自然也就消失殆盡。同時過于直白的提示常常不需學生進行深層思維，難以形成認知和情感的非平衡狀態(tài)。數(shù)學教學中教師運用語言對學生進行啟發(fā)時，較多的是通過暗示來引導，而啟發(fā)性提示語具有一定的暗示性，因此運用啟發(fā)性提示語給學生適當?shù)陌凳荆瑢W生通過自己的思維活動獲得暗示，在數(shù)學教學中顯得尤為必要。

三、 啟發(fā)性提示語的合理運用

與學生數(shù)學學習的認知活動和元認知活動相對應，在數(shù)學教學中教師用于啟發(fā)的提示語主要有認知提示語和元認知提示語，它們都是教師在課堂中運用的教學語言，有時以陳述語氣出現(xiàn)，但更多情況下以提問語的形式出現(xiàn);有時是教師的口頭語言，有時是教師以文字、圖表等形式呈現(xiàn)的語言。

認知提示語針對學生的認知活動進行提示，指向知識內(nèi)容和具體信息的加工。諸如:你覺得指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有哪些關(guān)系?為什么給它取名為反函數(shù)?反函數(shù)到底反在哪里?如何在給定的范圍之內(nèi)求它的最值?直線方程是通過什么建立的?等等均屬于認知提示語的范疇。

元認知提示語針對學生的元認知活動進行提示或發(fā)問，促使學生對自身的認知活動進行自我調(diào)節(jié)和自我監(jiān)控，并對其思維過程、思考方法和思維策略進行引導或提示，因此元認知提示語實質(zhì)上是引發(fā)學生形成學習的基本思考方式和思維策略的提示語。如前面我們研究問題的基本思路是先特殊后一般，那你覺得今天我們應該研究什么?學習完一些知識后，我們要有一個習慣就是能不能把這些知識橫向聯(lián)系起來。你打算如何研究?你是如何考慮的?為什么這樣思考?思維受阻的原因何在?等等均屬于元認知提示語的范疇。

值得一提的是，元認知提示語與認知提示語之間并沒有非常明確的界限，也不必嚴格地對其進行劃分，因為元認知本身即是對認知的認知。教師運用提示語進行啟發(fā)時，主要通過認知提示語與元認知提示語的協(xié)同作用，引發(fā)學生的認知活動和元認知活動，啟迪學生數(shù)學思維的深層參與，逐步達到和生成教學目標。

在數(shù)學教學中運用啟發(fā)性提示語時，首先需要相對準確、力求簡約，這是由數(shù)學教學語言的特點所決定的;其次，由于數(shù)學語言的抽象性特點，對學生不易理解的數(shù)學語言，在不引起歧義的情況下，教師運用提示語時可借助學生熟悉的自然語言為語言解釋系統(tǒng)來指導學生學習，使提示語適度地通俗化。如曲線與方程的課例中用“一點不多、一點不少”來啟發(fā)學生揭示純粹性和完備性的實質(zhì)，形象直觀、易懂且便于記憶;最后，教師運用啟發(fā)性提示語的最終目的在于使學生在啟發(fā)性提示語的引導下，逐步學會提煉適合自身認知風格的提示語，并運用這些提示語進行自我提問，以便當教師淡出時，學生能夠問自己有關(guān)自我調(diào)節(jié)和自我監(jiān)控的問題，從而學會自我啟發(fā)和自我提問，不斷開發(fā)學會學習的潛能。

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(責任編輯劉永慶)