本人執(zhí)教《雞兔同籠》一課，在市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽中獲得了一等獎(jiǎng)。從定下教材、試教、到定稿，整整經(jīng)歷了九次修改與磨礪。最終解決了三大難題，正如珠蚌孕育珍珠一般，在痛苦與迷茫后，收獲了三顆閃亮的“珍珠”——在課堂中綻放主次、聯(lián)系、破立之間的和諧智慧。

接下來(lái)，就遇到的三大難題以及在解決過(guò)程中收獲的三顆“珍珠”以實(shí)錄的形式，一一向大家加以闡述，敬請(qǐng)指正。

一、花開(kāi)四朵、單表一枝

問(wèn)題:如何面對(duì)多樣的教材和參差的學(xué)情?

人教版 蘇教版

教材:在選定內(nèi)容后，我就開(kāi)始翻閱各種不同版本的教材，發(fā)現(xiàn)不同版本的教材對(duì)解決雞兔同籠方法各有側(cè)重。北師大版的教材以介紹列表法為主;人教版的教材主要介紹列表和方程法;蘇教版的教材則主要介紹畫(huà)圖和列表。

學(xué)情:通過(guò)初次試教，了解到學(xué)生課前對(duì)雞兔同籠問(wèn)題也并非一無(wú)所知，有一部分在奧數(shù)班學(xué)習(xí)中已掌握了用假設(shè)法解，也有個(gè)別能用方程的方法解，原來(lái)沒(méi)有基礎(chǔ)的學(xué)生也會(huì)通過(guò)自己動(dòng)腦筋湊出正確答案。

不同的教材和參差的學(xué)情，使教學(xué)設(shè)計(jì)曾一度陷入了困境，讓我不得不重新審視教材、揣摩學(xué)情，找尋理想的教學(xué)支點(diǎn)，以期能夠在教材的“主”方法和學(xué)生的“眾”方法之間找到平衡。經(jīng)過(guò)慎重考慮和多次實(shí)踐，最后解決了這一問(wèn)題，孕育出了第一顆珍珠——“花開(kāi)四朵，單表一枝”

【實(shí)錄】:

“花開(kāi)四朵”

今有雞兔同籠，上有10頭，下有28足，問(wèn)雞兔各幾何?

師:我們來(lái)試試，看能不能通過(guò)自己的努力求出雞、兔各幾只?有困難的同學(xué)可以與邊上的同學(xué)討論。

生:(獨(dú)立做)

師巡視，找不同的解題方法，讓學(xué)生寫(xiě)在黑色卡紙上。

師:我們班的同學(xué)真不錯(cuò)，想了很多辦法解決這個(gè)雞兔同籠問(wèn)題。我們一起來(lái)欣賞一下。

展示第一種方法:

(10×4-28)÷(4-2)=6只 10-6=4只

生:(解釋)

(28-10×2)÷(4-2)=4只 10-4=6只

生:解釋

師:你們這種方法是在哪里學(xué)的?

生:奧數(shù)班。

師:知道叫什么方法嗎?

生:假設(shè)法。(板書(shū):假設(shè))

師:同學(xué)們，我們來(lái)檢驗(yàn)一下你們的答案是不是正確。怎么檢驗(yàn)?

生:看看腳是不是28只。

師:好。2×6+4×4是不是28只呢?

生:是的。

展示第二種方法:(畫(huà)圖)

師:請(qǐng)這位同學(xué)解釋一下。

生:這些是10個(gè)頭，然后先在每個(gè)頭下面畫(huà)上2只腳，這樣就都成了雞，而腳只有20只，說(shuō)明還要添上8只腳，就2只2只添上去……結(jié)果也是兔4只，雞6只。

師:畫(huà)圖是一種好辦法，當(dāng)我們遇到問(wèn)題不知道從哪里下手的時(shí)候就可以畫(huà)圖。當(dāng)然我們可以畫(huà)得更簡(jiǎn)潔美觀一些。

展示第三種方法:(方程法)

2×()+4×(10- )=28

生:如果第一個(gè)()填2，那么第二個(gè)就是(10-2)，這樣去試。最后我知道了，雞6只，兔4只時(shí)正好等于28。

師:很好，這也可以看成是方程。

展示第四種方法:6+28=34 8+24=32 10+20=30 12+16=28雞6只，兔4只

生:我是在算腳的只數(shù)，算到第四次的時(shí)候發(fā)現(xiàn)對(duì)了。

師:如果把他的這種思想方法列在表格里，就是我們今天重點(diǎn)要研究的列表法了。同學(xué)們，接下來(lái)我們就來(lái)研究列表法。(板書(shū):列表)

“單表一枝”

在教材的主方法上，北師大版、蘇教版、人教版教材不謀而合——其中都介紹了列表法。列表法蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，且充分地體現(xiàn)了不同學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)。人教版推薦方程法，并將這一內(nèi)容安排在六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)用方程解決問(wèn)題之后，具有達(dá)到鞏固用方程解決問(wèn)題的用意。斟酌再三，本課以北師大版教材為主，其他教材為輔，單表列表法這“一枝花”。(詳見(jiàn)教學(xué)實(shí)錄片段)

探索列表法:

今有雞兔同籠，上有10頭，下有28足，問(wèn)雞兔各幾只?

1.第一次列表

師:出示

師:我們可以從雞有幾只開(kāi)始?

生:雞1只，兔9只，腳有38只。

師:然后雞……

生:然后就雞2只，兔8只，腳36只。雞3只，兔7只，腳有34只?！?/p>

師:怎么共有幾只腳，算得這么快呢?

生:雞每增加一只，兔就減少一只，腳數(shù)就會(huì)減少2只。

師:很棒。雞每減少一只，兔每增加一只，腳數(shù)就會(huì)……?

生:會(huì)增加2只。

師:好，那我們接著往下寫(xiě)。

師:很能干，最后湊到了腳數(shù)是28只。讓我們數(shù)一數(shù)，假設(shè)雞1只，兔9只，總共算了幾次腳數(shù)。

生:6次。

師:這個(gè)效率好像不是很……

生:效率不高。

師:那讓我們一起來(lái)動(dòng)動(dòng)腦筋，看有沒(méi)有提高效率的方法。

生:開(kāi)始的時(shí)候假設(shè)是雞5只，兔5只，腳有30只。雞6只，兔4只，腳就是28只。

師:哦?!對(duì)半分。你一下就到了這里，再調(diào)整一次就成功了。對(duì)半分，好辦法。

師:命中率真高。但是這有一個(gè)問(wèn)題，如果在雞5只，兔5只，腳有30只之后，我朝著相反的方向去湊，雞4只，兔6只去想，那么豈不是南轅北轍啦，越走越遠(yuǎn)啦?

生:當(dāng)你看到，腳數(shù)太多時(shí)就是兔要減少，腳數(shù)太少就是兔要增加。

師:太棒了，原來(lái)還有竅門(mén)的。還有誰(shuí)也知道這個(gè)竅門(mén)呢?

生:腳數(shù)太多時(shí)就是兔要減少，腳數(shù)太少就是兔要增加。

2.《孫子算經(jīng)》中歷史名題

師:大家都來(lái)施展一下自己的數(shù)學(xué)才華，同桌兩人合作用列表的方法做做這道歷史名題?？纯?，在做的過(guò)程中，能不能找到更好的方法提高命中率。

生(用列表法解)

今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問(wèn):雞、兔共幾何?

師展示學(xué)生的作業(yè)紙。

師:他是調(diào)了7次，得到了正確答案。有沒(méi)有比他少的?拿上來(lái)展示，并說(shuō)出你比他高明在什么地方。

生2:

生2:我想106只腳和94只腳相差比較大，所以雞兩只兩只增加。

師:很好，確實(shí)次數(shù)也少了。還有更少的嗎，說(shuō)出你又是高明在哪里?

生3:

生3:106只腳和94相差12只腳，說(shuō)明雞要增加6只。

師:她高明就高明在提高了計(jì)算的含量。

師:我們班的同學(xué)太厲害了，不管先假設(shè)有幾只雞和兔，最后都能經(jīng)過(guò)調(diào)整，得出正確答案，而且還發(fā)現(xiàn)了這么多可以提高列表法效率的好竅門(mén)。

閃光之處:

如果說(shuō)“花開(kāi)四朵”是順應(yīng)學(xué)情，充分展示學(xué)生的各種解決方法，那么“單表一枝”則是對(duì)學(xué)生已有水平的提升，是面對(duì)多樣教材的一種選擇。所以說(shuō)“花開(kāi)四朵，單表一枝”是針對(duì)參差的學(xué)情和多樣的教材找到的一個(gè)平衡。

而其中“單表一枝”更蘊(yùn)含了設(shè)計(jì)者的匠心。怎樣用好列表法，是這節(jié)課的難點(diǎn)所在。如何讓學(xué)生抽絲剝繭自己“悟”到其竅門(mén)所在，是我們?cè)O(shè)計(jì)者最期望達(dá)到的教學(xué)效果。從以上“單表一枝”的實(shí)錄中，我們不難發(fā)現(xiàn)教師的幾個(gè)(黑體)關(guān)鍵問(wèn)句，巧妙地讓學(xué)生悟出列表法的幾大竅門(mén)。

二、溝通聯(lián)系，渾然一體

問(wèn)題:各種方法像盤(pán)散沙，自成一家。

各種方法的較好展現(xiàn)固然是好，但是各種方法就如它們的名稱(chēng)一樣，都自成一家。難道它們真的是幾種完全不搭界的方法?還是也有一些共性存在，我試圖去尋找它們的聯(lián)系。在找尋中收獲了第二顆珍珠——“溝通聯(lián)系，渾然一體”

【實(shí)錄】:溝通方法間的聯(lián)系

師:同學(xué)們，現(xiàn)在讓我們回過(guò)頭，來(lái)認(rèn)真地研究一下這幾種方法，看看能不能找到它們之間的聯(lián)系。

師:如果有用這種方法湊腳數(shù)的話(huà)，它是有方程的思想在里面的，(板書(shū):方程)好，同學(xué)們仔細(xì)研究一下，這幾種方法的聯(lián)系。

生:畫(huà)圖法和假設(shè)法是同一種方法。

師:這兩種方法一起看的話(huà)，在數(shù)學(xué)里是很重要的思想，叫數(shù)形結(jié)合。

生:方程和列表是同一種方法。

師:說(shuō)的很好。再仔細(xì)看看，這幾種方法是不是有同樣的思想存在呢?

生:都是有假設(shè)思想。

師:說(shuō)的太好了!只是有的是假設(shè)后，一步到位，有的是假設(shè)后慢慢調(diào)整。接下來(lái)我們要去解決問(wèn)題，到底選擇哪種方法，就看自己的喜歡。

閃光之處:

從教方法到教思想，是一種不同的境界和高度。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師創(chuàng)設(shè)平臺(tái)讓學(xué)生去領(lǐng)會(huì)方法中蘊(yùn)含的思想。學(xué)生容易找到畫(huà)圖法和假設(shè)法，不定方程法和列表法它們兩兩相似，而且思想幾近一致。但教學(xué)并沒(méi)有止步于此，而是讓學(xué)生更進(jìn)一步找這四種方法共同存在的思想——假設(shè)。將來(lái)學(xué)生或許會(huì)忘卻具體的解決方法，但是只要想到假設(shè)思想，就定能解決雞兔同籠問(wèn)題。

三、破立之間，建構(gòu)模型

問(wèn)題:如何能讓學(xué)生有較強(qiáng)的解決生活中雞兔同籠問(wèn)題的能力?

其實(shí)會(huì)解決雞兔同籠這個(gè)歷史名題并不難，難的是:能夠解決各種由雞兔同籠變式出來(lái)的生活問(wèn)題。而學(xué)習(xí)雞兔同籠問(wèn)題的一部分價(jià)值也正在于此，如何能讓學(xué)生擁有這樣的能力呢?于是就有了第三顆珍珠——“破立之間，建構(gòu)模型”

“立”基本模型

【實(shí)錄】:

1.初建模型

師:龜鶴共11只，腳共32只。問(wèn)龜幾只?鶴幾只?

你能解決嗎?試試。

生:(獨(dú)立解決)

師:說(shuō)說(shuō)，龜鶴各幾只，你是用什么方法做的?

生:龜是5只，鶴是6只。用畫(huà)圖法的……

生:龜是5只，鶴是6只。用列表法的……

師:為什么大家都用解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢?

生:它和雞兔同籠是一樣的。雞和鶴都是2只腳，兔和烏龜都是4只腳的。

師:其實(shí)，雞兔同籠從中國(guó)傳到日本，日本人才改名為“龜鶴問(wèn)題”的。如果現(xiàn)在給你們一個(gè)重新取名的機(jī)會(huì)，你會(huì)取名為什么呢?

生:鴨貓問(wèn)題……

師:雖然大家取的名字聽(tīng)起來(lái)有些可笑，但是從數(shù)學(xué)的角度看，都抓住了問(wèn)題的本質(zhì)特征，在腦子里，初步建立了這類(lèi)問(wèn)題的模型。

“破”基本模型

2.完善模型

師:生活中也有類(lèi)似的問(wèn)題，請(qǐng)看這是什么?(課件:四副照片，由學(xué)生自主選擇看照片，然后引出相關(guān)的題)

師:12張乒乓球桌上同時(shí)有34人在比賽。正在進(jìn)行單打與雙打的球桌各有幾張?是雞兔同籠問(wèn)題嗎?

生:是雞兔同籠問(wèn)題。

生:12張乒乓球桌就是12個(gè)頭，34人就是34條腿。單打就是雞，雙打就是兔子。

師:小明的儲(chǔ)蓄罐里有12張2元、5元的紙幣共30元。2元紙幣有幾張?5元紙幣有幾張?是雞兔同籠問(wèn)題嗎?

生:是的。12張就是12個(gè)頭，30元就是30只腳，2元紙幣就是雞，5元紙幣就是5只腳的怪兔。

生:58名同學(xué)去劃船，租了10條船，每條大船坐9人，每條小船坐5人。問(wèn)大船要幾條?小船要幾條?

師:這是雞兔同籠問(wèn)題嗎?你是怎么想的?

生:10條船就是10個(gè)頭，58名同學(xué)就是58條腿，大船相當(dāng)于9條腿的怪兔，小船相當(dāng)于5條腿的怪雞。

師:在這個(gè)活動(dòng)中，把生活中的問(wèn)題與雞兔同籠問(wèn)題建立了聯(lián)系，大家發(fā)揮了很強(qiáng)的想象力，甚至想象出了5條腿的怪兔，3條腿的怪雞。說(shuō)明大家頭腦中的模型越來(lái)越清晰、完整。那么選擇其中的一題進(jìn)行解決吧。

生:(獨(dú)立解決)

師:校對(duì)

再現(xiàn)模型

3.再現(xiàn)模型

師:能不能編編生活中雞兔同籠問(wèn)題呢?

生編在作業(yè)紙上，師展示。

閃光之處:

從取名——初建模型，到和歷史名題建立聯(lián)系——完善模型，最后編雞兔同籠問(wèn)題——再現(xiàn)模型，是循序漸進(jìn)的過(guò)程。在其間，初建模型是“立”基本模型，完善模型環(huán)節(jié)則是“破”基本模型，建更完整的模型?！捌婆c立”之間，模型更完善與深刻，使“建立模型，由點(diǎn)及面”這顆珍珠更熠熠生輝。

結(jié)束語(yǔ):

磨課的過(guò)程是痛苦的，迷茫中曾想過(guò)放棄，但最終還是堅(jiān)持了，就如同珠蚌孕珠，在堅(jiān)持中體驗(yàn)了痛苦、學(xué)會(huì)了包容，在堅(jiān)持中收獲了智慧，也在堅(jiān)持中獲得了圓潤(rùn)光潔的“珍珠”。

作者單位:浙江省金華市東苑小學(xué)