于梅菊,方詠梅

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 通化 134002)

1 引言

維數(shù)的研究是同調(diào)代數(shù)的一個(gè)主要內(nèi)容,其研究對(duì)環(huán)與模的結(jié)構(gòu)都十分重要,給定一個(gè)環(huán)或者模,我們可以通過(guò)它們的維數(shù)對(duì)它們的特征進(jìn)行刻畫(huà).伴隨同調(diào)理論的形成，同調(diào)維數(shù)便一直成為同調(diào)代數(shù)中研究的焦點(diǎn).受文獻(xiàn)[1-3]中提出的極大投射模、極大內(nèi)射模和極大平坦模的概念啟發(fā)，本文引入了R-模M的極大平坦維數(shù)(記作max.fd(M))的概念,證明了R-模M是極大平坦模的充分必要條件是max.fd(M)=0,并且研究了極大平坦維數(shù)的一些性質(zhì),得到了一些比平坦維數(shù)更好的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上給出了對(duì)半遺傳環(huán)、遺傳環(huán)、正則環(huán)的刻畫(huà).

本文所討論的環(huán)都是帶有單位元1的結(jié)合環(huán)，模指酉模，M*=HomZ(M,Q/Z).

2 主要結(jié)果

定義1[3]設(shè)M是右R-模,若對(duì)任意左R-模正合列0→A→B→C→0,其中C是單模,有0→M?A→M?B→M?C→0正合,則稱M是極大平坦模.

顯然，平坦模是極大平坦模；環(huán)R作為右R-模是極大平坦模.

由于每個(gè)右R-模M都有平坦分解,而平坦模是極大平坦模,所以每個(gè)右R-模M都有一個(gè)極大平坦分解,即存在正合列…→Fn→…→F1→F0→M→0,其中每個(gè)Fn都是極大平坦模.

定義2 設(shè)右R-模M有如下形狀的極大平坦分解

…→Fn→…→F1→F0→M→0,

則在M的所有這種形狀的極大平坦分解中,必有一個(gè)極大平坦分解,其中的非負(fù)整數(shù)n是最小的,這個(gè)最小的n稱為右R-模M的極大平坦維數(shù),記為max.fd(M)=n.若上述的n不存在,則記為max.fd(M)=∞.

顯然，對(duì)任意的右R-模M,有max.fd(M)≤fd(M).

定義3 稱r.max.fd(R)=sup{max.fd(M)/ ?M∈MR}為環(huán)R的右極大平坦維數(shù),同理可以定義左極大平坦維數(shù)l.max.fd(R)=sup{max.fd(M)/?M∈RM}.

顯然，對(duì)任意環(huán)R,有r.max.fd(R)≤r.fd(R).

定理1 若右R-模M是極大平坦模?max.fd(M)=0.

證明 因?yàn)镸是極大平坦模,則M有極大平坦分解0→…→0→F0→M→0,其中F0=M,Fi=0(i≥1),那么max.fd(M)=0；反之設(shè)max.fd(M)=0,則M有一個(gè)極大平坦分解0→…→0→F0→M→0,其中Fi=0(i≥1),因此F0?M,故M是極大平坦模.

定理2 設(shè)M是任一右R-模,則下列條件是等價(jià)的:(1)max.fd(M)≤1;(2)極大平坦模的子模是極大平坦模;(3)有極大平坦模F0,F1使M?F0/F1.

證明 (1)?(2) 對(duì)任一右R-模M,有max.fd(M)≤1,設(shè)F0是極大平坦模,F1是F0的子模,則有正合列0→F1→F0→F0/F1→0,由于max.fd(F0/F1)≤1,則F1是極大平坦模.

(2)?(1)設(shè)M是任意右R-模,則有自由模F0,使正合列0→F1→F0→M→0成立,因?yàn)镕0是極大平坦模,由條件(2)可知F1也是極大平坦模,則有max.fd(M)≤1.

(1)?(3)顯然.

證明 用函子-?V作用正合列,0→F′→F→F″→0得長(zhǎng)正合列

定理5 設(shè)M是一個(gè)右R-模,則下列敘述是等價(jià)的:

(4)?(3)顯然.

(3)?(2)令A(yù)s=Im(Fs→Fs-1),由序列0→X→Fn-1→…→F1→F0→M→0正合,使得以下正合序列

0→A1→F0→M→0,
0→A2→F1→A1→0,…,
0→An-1→Fn-1→An-2→0,
0→X→Fn-1→An-1→0,

正合，因?yàn)槊總€(gè)Fi都是極大平坦模,由定理3可知有下面的正合列

于是有

由引理1可知X是極大平坦模.

(2)?(1)對(duì)于任意右R-模M,可以構(gòu)造正合列0→X→Fn-1→…→F1→F0→M→0,其中X=ker(Fn-1→Fn-2)，且每個(gè)Fi皆是極大平坦模,由已知X也是極大平坦模,故max.fd(M)≤n.

由定理5可以得到如下推論.

定理6 對(duì)任意環(huán)R,rmax.fd(R)=sup{fd(R/I)/I是R的極大左理想}.

定理7 設(shè)0→A→A′→A″→0是右R-模正合列,則

(1)若max.fdA,max.fdA′,max.fdA″中有兩個(gè)是有限的,則第三個(gè)也是有限的,并且若max.fdA>max.fdA″，必有max.fdA′=max.fdA.若max.fdA

(2)若A.A″是極大平坦模,則A′也是極大平坦模；若A是極大平坦模,A″不是極大平坦模且max.fdA″有限,則max.fdA″=max.fdA′+1.

證明 (1)對(duì)任意單左R-模B,任意n≥0,有正合列

因此,若max.fd(A)，max.fd(A′)，max.fd(A″)中有兩個(gè)是有限的,則第三個(gè)也是有限的.

(2)若A，A″都是極大平坦模,則max.fd(A)=max.fd(A″)=0,由(1)得max.fd(A′)≤max.fd(A″)即max.fd(A′)≤0,所以max.fd(A′)=0,即A′是極大平坦模；若A是極大平坦模,A′不是極大平坦模,則max.fd(A)

定理8 對(duì)任意環(huán)R,max.fd(R)≤WD(R).

證明 對(duì)任意右R-模M,若fd(M)=n,則存在M的一個(gè)平坦分解0→Fn→Fn-1→…→F1→F0→M→0,又因?yàn)槠教鼓Ｊ菢O大平坦模,因此上述平坦分解也是極大平坦分解,從而由極大平坦維數(shù)的定義有max.fd(M)≤fd(M)=n,所以max.fd(R)=sup{max}.fd(M)/?M∈MR}≤WD(R)=sup{fd(M)/?M∈MR}.

定理9 設(shè)R是遺傳環(huán),則max.fd(R)≤1.

證明因?yàn)镽是遺傳環(huán),則由文獻(xiàn)[8]可知WD(R)≤1,又由定理8知max.fd(R)≤WD(R),所以max.fd(R)≤1.

定理10 設(shè)R是半遺傳環(huán),則max.fd(R)≤1.

證明 同定理9.

定理11 設(shè)R是Von Neuman正則環(huán),則max.fd(R)=0.

證明 因?yàn)镽是正則環(huán),則由文獻(xiàn)[8]可知WD(R)=0,再由定理8可知max.fd(R)=0.

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