賈保華

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

1 引言

對(duì)投資項(xiàng)目進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評(píng)估，主要的任務(wù)是預(yù)測(cè)項(xiàng)目的收入現(xiàn)金流和成本現(xiàn)金流.在主流項(xiàng)目評(píng)估教科書上，成本的預(yù)測(cè)用了不少數(shù)學(xué)模型[1]，基本的思路是根據(jù)過去作過的同類項(xiàng)目，依規(guī)模經(jīng)濟(jì)原理、考慮時(shí)間、地點(diǎn)的變化等而作出推斷；而收入的預(yù)測(cè)相對(duì)較難，因?yàn)槭杖胧苁袌?chǎng)影響，和人的心理因素很有關(guān)系.可以采用的方法有(1)根據(jù)先行量推算.例如，要預(yù)測(cè)上海地區(qū)的原油輸入量，可以很方便地根據(jù)上海金山石化、上海高橋石化公司的生產(chǎn)計(jì)劃而得出；(2)根據(jù)總量推算.例如，上海每年有2千萬平方建筑面積住宅竣工，若每平米裝飾造價(jià)為1000元，則每年上海市裝飾業(yè)的總產(chǎn)值為200億元，各大裝飾公司可以根據(jù)自身實(shí)力、競(jìng)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)來推算每年的營業(yè)額；(3)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來推算.例如，上海站每年春節(jié)后到站旅客要比節(jié)前發(fā)送旅客增30%，若節(jié)前發(fā)送量為200萬，則節(jié)后到達(dá)量為260萬；(4)按計(jì)劃確定.例如，海軍艦艇有嚴(yán)格的大修、中修、小修維修計(jì)劃，部隊(duì)修船廠可根據(jù)計(jì)劃排定的艦艇維修等級(jí)來預(yù)知收入[2].比較先進(jìn)的是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來預(yù)測(cè)項(xiàng)目現(xiàn)金流序列，這在國內(nèi)尚不多見[3]，從已有文獻(xiàn)看，主要是利用泰勒級(jí)數(shù)展開、馬爾可夫鏈等.這些模型能反映項(xiàng)目的普遍特性，但存在靈活性不夠的缺點(diǎn).本文引入分式布朗運(yùn)動(dòng)(Fractional Brownian Motion)預(yù)測(cè)投資項(xiàng)目現(xiàn)金流序列，具有可以進(jìn)行適用檢驗(yàn)、使用靈活方便、精確度高的特點(diǎn).

2 項(xiàng)目現(xiàn)金流序列的分式布朗運(yùn)動(dòng)特性

在對(duì)一個(gè)投資項(xiàng)目進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評(píng)估時(shí)，要估算項(xiàng)目投產(chǎn)后每年的收入現(xiàn)金流，以計(jì)算凈現(xiàn)值、財(cái)務(wù)內(nèi)部收益率等指標(biāo).現(xiàn)金流序列的形式雖然不同，但卻具有分式布朗運(yùn)動(dòng)的基本特性，下面就來證明.

2.1 項(xiàng)目現(xiàn)金流序列的長程相關(guān)性

設(shè)一個(gè)項(xiàng)目生產(chǎn)的現(xiàn)金流序列為{ζ(t),t=0,1,2,K,T}，T為項(xiàng)目計(jì)算期，對(duì)于任意正整數(shù)τ≥1，定義序列均值

(1)

其中 <·>表示均值，X(t)表示累積離差:

(2)

極差R定義為

(3)

標(biāo)準(zhǔn)差S定義為

(4)

對(duì)于比值R(τ)/S(τ)R/S，有如下經(jīng)驗(yàn)標(biāo)度關(guān)系[4]:

R/S=(ατ)H

(5)

式中:α為任意常數(shù)；H為赫斯特(Hurst)指數(shù).

序列{ζ(t)}的時(shí)間相關(guān)函數(shù)

(6)

對(duì)于常規(guī)投資項(xiàng)目，第零年末的收入為0，即ζ(0)=0，令τ=1，D為擴(kuò)散系數(shù)，滿足愛因斯坦關(guān)系[5]

(7)

并使2Dτ=1，則

(8)

項(xiàng)目資金流有一個(gè)特性，初期流量較小，跟著的現(xiàn)金流量也將較小.這就是現(xiàn)金流的自相關(guān)性.這種序列的赫斯特指數(shù)H>1/2，從式(8)可以看出，此時(shí)c(t)≠0,這正是分式布朗運(yùn)動(dòng)的特征.

2.2 項(xiàng)目現(xiàn)金流序列的方差遞增性

項(xiàng)目現(xiàn)金流序列增量方差

V(t-t0)=<(ζ(t)-ζ(t0))2>=
2Dτ(|t-t0|/τ)2H∝|t-t0|2H

(9)

對(duì)項(xiàng)目現(xiàn)金流估計(jì)的把握，早年的比晚年的大，即估計(jì)的方差隨時(shí)間遞增，式(9)顯示了這個(gè)特點(diǎn)，也是分式布朗運(yùn)動(dòng)的基本特征.

至此，我們證明了常規(guī)投資項(xiàng)目現(xiàn)金流序列具備了分式布朗運(yùn)動(dòng)的基本特征.因此，可以應(yīng)用分式布朗運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)項(xiàng)目現(xiàn)金流序列.

3 項(xiàng)目現(xiàn)金流序列的分式布朗運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)

法國數(shù)學(xué)家曼得爾布羅特(Mandelbrot)和范內(nèi)斯(Van Ness)給分式布朗運(yùn)動(dòng)下的精確定義:

(10)

式中B(t)為隨機(jī)函數(shù)，BH(0)給定；Γ(t)為gamma函數(shù)

K(t-t′)=

得

BH(bt)-BH(0)=bH(BH(t)-BH(0))

(11)

可以看出，若BH(0)、BH(1)已知，只要再知道H，就可以求出任意時(shí)期的序列值.

H即是赫斯特指數(shù)，對(duì)式(5)兩邊求對(duì)數(shù)，得

lgR-lgS=Hlga+Hlgτ

(12)

將lgR-lgS視作因變量，lgτ視作自變量，則由最小二乘法可得

下面通過一個(gè)實(shí)例來說明分式布朗運(yùn)動(dòng)如何運(yùn)用于投資項(xiàng)目現(xiàn)金流序列的預(yù)測(cè).已知項(xiàng)目各年產(chǎn)生的收入現(xiàn)金流量如表1所示.H的求解根據(jù)公式(13)，所需數(shù)據(jù)的計(jì)算如表2.

表1 各年的現(xiàn)金流量(單位:萬元)

數(shù)據(jù)來源:文獻(xiàn)[3]

表2 赫斯特指數(shù)的求解

4 結(jié)論

總結(jié)起來，用分式布朗運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)投資項(xiàng)目現(xiàn)金流序列的步驟如下:第一、求出項(xiàng)目歷史數(shù)據(jù)時(shí)間序列或同類項(xiàng)目的赫斯特指數(shù)H，若H>1/2，由式(8)知c(t)>0，即未來的增量與過去的增量是正相關(guān)的，也就是說，若在過去某時(shí)有一個(gè)正的增量，那么在將來平均地說也有一個(gè)正的增量，說明項(xiàng)目現(xiàn)金流序列具有分式布朗運(yùn)動(dòng)的特征；第二、利用已求出的赫斯特指數(shù)H和項(xiàng)目歷史數(shù)據(jù)，可遞推求出將來年份的項(xiàng)目現(xiàn)金流量.

本方法雖然推導(dǎo)、證明過程比較復(fù)雜，但結(jié)論很簡(jiǎn)單，使用方便，是項(xiàng)目現(xiàn)金流量預(yù)測(cè)從經(jīng)驗(yàn)到理論的一個(gè)有益嘗試.

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