郭書(shū)春

(中國(guó)科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所,北京 100190)

1 《九章筭術(shù)》正負(fù)術(shù)

《九章筭術(shù)》方程章提出了正負(fù)術(shù),即正負(fù)數(shù)完整的加減法則。其大典本①明《永樂(lè)大典》(1408年)抄錄的《九章筭經(jīng)》卷 8,已佚。此據(jù)由《武英殿聚珍版叢書(shū)》本與《四庫(kù)全書(shū)》本《九章算術(shù)》對(duì)校并由戴震的校勘記恢復(fù)的戴震輯錄本。、楊輝本②南宋楊輝《詳解九章筭法》(1261)抄錄的《九章筭術(shù)》,此據(jù)《宜稼堂叢書(shū)》本并由宋景昌的《札記》恢復(fù)的原文。均作:

正負(fù)術(shù)曰:同名相除,異名相益。正無(wú)人負(fù)之,負(fù)無(wú)人正之。其異名相除,同名相益。正無(wú)人正之,負(fù)無(wú)人負(fù)之。

其中“無(wú)人”,清戴震改作“無(wú)入”[1,2]。筆者最近在《九章筭術(shù)譯注》[3]中恢復(fù)了大典本、楊輝本原文,但是囿于篇幅,對(duì)幾百年來(lái)在這個(gè)問(wèn)題上的不同觀點(diǎn),沒(méi)有充分展開(kāi),現(xiàn)進(jìn)一步討論之,以就教于方家。

《九章筭術(shù)》正負(fù)術(shù)的數(shù)學(xué)意義是明白無(wú)誤的。名:名分,指稱(chēng),此處即今之正負(fù)號(hào)。同名:即同號(hào)。除:這里是減的意思。前四句是正負(fù)數(shù)減法法則。“同名相除”就是相減的兩個(gè)數(shù)如果符號(hào)相同,則它們的數(shù)值相減,即劉徽所說(shuō)的“以赤除赤”,“以黑除黑”,則它們的數(shù)值 (這里是絕對(duì)值)相減。即“異名相益”就是相減的兩個(gè)數(shù)如果符號(hào)不同,則它們的數(shù)值相加。異名:即不同號(hào)。益:增益,加。這里是說(shuō),符號(hào)不同的數(shù)相減,即以赤除黑,或以黑除赤,則它們的數(shù)值(這里是絕對(duì)值)相加。即

“正無(wú)人負(fù)之”是說(shuō),正數(shù)沒(méi)有與之對(duì)減的數(shù),則為負(fù)數(shù)。即

“負(fù)無(wú)人正之”是說(shuō),負(fù)數(shù)沒(méi)有與之對(duì)減的數(shù),則為正數(shù)。即

后四句是正負(fù)數(shù)加法法則?！爱惷喑本褪侨绻麅烧呤钱愄?hào)的,則它們的數(shù)值(這里是絕對(duì)值)相減。即

“同名相益“就是如果相加的兩者是同號(hào)的,則它們的數(shù)值(這里是絕對(duì)值)相加。即

“正無(wú)人正之”就是如果正數(shù)沒(méi)有與之對(duì)加的,則為正數(shù)。即

“負(fù)無(wú)人負(fù)之”就是如果負(fù)數(shù)沒(méi)有與之對(duì)加的,則為負(fù)數(shù)。即

當(dāng)然,關(guān)于“正無(wú)人負(fù)之”、“負(fù)無(wú)人正之”與“正無(wú)人正之”、“負(fù)無(wú)人負(fù)之”看法,學(xué)術(shù)界不盡一致。比如關(guān)于前者,錢(qián)寶琮的解釋是:設(shè)b>a≥0,則b=a+(b-a),a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。在中間的式子里a和a對(duì)消,+(b-a)無(wú)可對(duì)消,改為負(fù)號(hào),所以說(shuō)“正無(wú)人負(fù)之”。

-a-(-b)=-a-[-a-(b-a)]=+(b-a)。在中間的式子里 -a和 -a對(duì)消,-(b-a)無(wú)可對(duì)消,改為正號(hào),所以說(shuō)“負(fù)無(wú)人正之”。[6]

下面將看到,錢(qián)寶琮的理解基本上與戴震一致。

2 關(guān)于“無(wú)人”的不同看法

關(guān)于“無(wú)人”,自南宋楊輝起就有不同看法。楊輝本方程章“賣(mài)牛羊”問(wèn)在“一法”之“無(wú)入”下注:“古本誤刻‘無(wú)人’者,非?！盵7]所謂“古本”即北宋賈憲的《黃帝九章筭經(jīng)細(xì)草》,它是楊輝本的底本①楊輝《詳解九章筭法》實(shí)際上是為北宋賈憲《黃帝九章筭經(jīng)細(xì)草》作詳解,因而含有《九章筭術(shù)》本文、魏劉徽注、唐李淳風(fēng)等注釋、賈憲細(xì)草及其楊輝詳解 5種內(nèi)容。見(jiàn):郭書(shū)春:《賈憲〈黃帝九章算經(jīng)細(xì)草〉初探》,《自然科學(xué)史研究》Vol.7,No.4(1988.10)。。宋景昌據(jù)此認(rèn)為“楊氏亦從‘入’”。錢(qián)寶琮認(rèn)定戴震此處參考過(guò)《永樂(lè)大典》中所引楊輝本[8]。

1774年,戴震從《永樂(lè)大典》中輯錄出《九章算術(shù)》,并加校勘,據(jù)其正本抄入《四庫(kù)全書(shū)》,據(jù)其副本擺印,收入《武英殿聚珍版叢書(shū)》。戴震將正負(fù)術(shù)中的“無(wú)人”改作“無(wú)入”,并寫(xiě)了一個(gè)比較長(zhǎng)的?？庇?。他說(shuō):

“入”原本訛作“人”,下文及注并同。據(jù)注云“無(wú)人為無(wú)對(duì)也”,“無(wú)對(duì)”之說(shuō)亦未分曉。釋方程者,專(zhuān)為遇空位起例,而左右兩行相對(duì)減,或正宜變?yōu)樨?fù),或負(fù)宜變?yōu)檎?往往不得其義例。今考“同名相除,異名相異”者,如下實(shí)左右俱正,所減之余屬左行,則去右行;屬右行則去左行。其物品以正減正,余①此“余”,聚珍版訛作“負(fù)”,依下文及《四庫(kù)全書(shū)》本校正。在所去之行,為“正無(wú)入”;以負(fù)減負(fù),余在所去之行,為“負(fù)無(wú)入”。以正從負(fù)為“正無(wú)入”,以負(fù)從正為“負(fù)無(wú)入”。負(fù)對(duì)空位而負(fù)數(shù)在所去之行,與以負(fù)減負(fù)同例。正對(duì)空位而正數(shù)在所去之行,與以正從負(fù)同例。此皆所謂“正無(wú)入負(fù)之,負(fù)無(wú)入正之”也?！爱惷喑?同名相益”者,如下實(shí)左右俱正,并為一數(shù),則無(wú)分于左右。其物品以負(fù)減正,余或左或右,為“正無(wú)入”;以正減負(fù),余或左或右,為“負(fù)無(wú)入”。以正從正為“正無(wú)入”,以負(fù)從負(fù)為“負(fù)無(wú)入”。正對(duì)空位,與以負(fù)減正同例。負(fù)對(duì)空位,與以負(fù)從負(fù)同例。此皆所謂“正無(wú)人正之,負(fù)無(wú)人負(fù)之”也。由是言之,在所去之行則其數(shù)無(wú)入,而或左或右,以與無(wú)分于左右,合為一行。因亦謂之“無(wú)人”?！叭恕弊帜藗鲗?xiě)之誤,明矣。今悉改正。[1,2]顯然,戴震反對(duì)劉徽的“無(wú)人為無(wú)對(duì)”之說(shuō),在將“人”改作“入”之后,認(rèn)為“正無(wú)入負(fù)之,負(fù)無(wú)入正之”與“正無(wú)人正之,負(fù)無(wú)人負(fù)之”分別是附屬于它們前面兩句話的,是分別處理“同名相除,異名相異”與“異名相除,同名相益”的結(jié)果的,而不是分別獨(dú)立于前面兩句,處理 0-(±a)=?a,a>0與 0+(±a)=±a,a>0的情形的。此后不久,汪萊、李潢就對(duì)戴震的改動(dòng)提出異議。汪萊說(shuō):

“無(wú)人”,“人”不誤?！盁o(wú)人”謂有空位也?！爱惷嘁妗?并右行于左行,則右行空。并左行于右行,則左行空。右行之正亦已無(wú)也,故負(fù)之。右行之負(fù)并于左行之正,左行本無(wú)負(fù)也,右行之負(fù)亦已無(wú)也,故正之。左并右亦然。“同名相除”,余在右行,而正正矣。若改歸左行,左行本空位,無(wú)正也,而右行之正亦已無(wú),故負(fù)之。余在右行,而負(fù)負(fù)矣。若改歸左行,左行本無(wú)空位,無(wú)負(fù)也,而右行之空位亦已無(wú),故正之。余在左亦然。正負(fù)者,物也,人物通稱(chēng)耳。[9]

顯然,汪萊盡管不同意戴震將“人”改作“入”,但仍與戴震一樣,將“正無(wú)入負(fù)之,負(fù)無(wú)入正之”與“正無(wú)人正之,負(fù)無(wú)人負(fù)之”分別看成是附屬于它們前面兩句話的。他承認(rèn)“無(wú)人”就是有空位,但是這種“空位”是由“異名相益”或“同名相除”產(chǎn)生的。李潢按云:

“無(wú)人”之“人”字原本作“人”,孔刻改為“入”,非是。

李潢以孔刻本②孔刻本通常稱(chēng)為微波榭本,是孔繼涵于 1777年或其后在微波榭刊刻的戴震重校的《九章算術(shù)》。戴震在此本中將自己的大量?？泵俺湓?并作了若干修辭加工?？桌^涵又將此戴震校本冒充北宋秘書(shū)省刻本的翻刻本,并將刻書(shū)時(shí)間提前到乾隆三十八年(1773年)。上海古籍出版社 1990年影印了微波榭本。為底本,因此,他“于經(jīng)、注作‘入’,仍孔刻也”。而在自己撰寫(xiě)的“說(shuō)”中“作‘人’,遵原本也”。李潢說(shuō)曰:

云“正無(wú)人負(fù)之,負(fù)無(wú)人正之”者,此條“同名相除”為例,正宜消正,今減行無(wú)正,則以正奪其位而為負(fù);負(fù)宜消負(fù),今減行無(wú)負(fù),則以負(fù)奪其位而為正。云“正無(wú)人正之,負(fù)無(wú)人負(fù)之”者,此條“異名相除”為例,正宜消負(fù),今減行無(wú)負(fù),則以正奪其位而

為正;負(fù)宜消正,今減行無(wú)正,則以負(fù)奪其位而為負(fù)?！叭恕睘橄鄬?duì)也。減行直空位為

無(wú)對(duì);或減行之?dāng)?shù)不足減,反減之,亦為無(wú)對(duì),皆使消奪者居其位也。[10]

李潢將“無(wú)人”理解成“無(wú)對(duì)”,既認(rèn)為減行中的空位為無(wú)對(duì),又將減行中之不足減為無(wú)對(duì)。這與劉徽對(duì)“無(wú)對(duì)”的理解基本一致。

然而,汪萊、李潢的看法未引起后人的重視,自 1963年的錢(qián)校本[11],到 2004年的匯校本增補(bǔ)版[12],40余年間的各家?？北揪鶑拇餍?。

3 “無(wú)人 ”辨

正負(fù)術(shù)中的“無(wú)人”就是“無(wú)偶”,“無(wú)對(duì)”。人:偶,伴侶?！肚f子·大宗師》:“彼方且與造物者為人,而游乎天地之一氣?！薄肚f子·應(yīng)帝王》:“予方將與造物者為人?！薄肚f子·天運(yùn)》:“丘不與化為人?！惫鶓c藩集釋引王引之云:“人,偶也。為人,猶言為偶?！盵13]郭象關(guān)于這幾處“為人”的解釋都是錯(cuò)誤的?！痘茨献印R俗》云:“上與神明為友,下與造化為人?！盵14]“為人”亦訓(xùn)“為偶”。因此,《九章筭術(shù)》正負(fù)術(shù)中的“無(wú)人”不誤。戴震認(rèn)為“無(wú)人”系傳寫(xiě)之誤,改作“無(wú)入”,是師心自用。劉徽說(shuō):“無(wú)人,為無(wú)對(duì)也?！蓖耆稀盁o(wú)人”的本義。戴震沒(méi)有理解“無(wú)人”的涵義,指責(zé)劉徽關(guān)于“無(wú)人”的解釋,是沒(méi)有道理的。這就是《九章筭術(shù)譯注》恢復(fù)大典本、楊輝本原文的根據(jù)。

劉徽說(shuō):在“無(wú)人”的情況下,“無(wú)所得減,則使消奪者居位也”,也就是 (1)、(2)式。

“無(wú)人”為“無(wú)對(duì)”。但是,在劉徽看來(lái),不同符號(hào)的數(shù)也是“無(wú)對(duì)”。他說(shuō):“其異名者,非其類(lèi)也。非其類(lèi)者,猶無(wú)對(duì)也?！崩钿觋P(guān)于“無(wú)人”的理解含有空位與不足減兩種意義的論述,接近劉徽的思想。而戴震、汪萊、錢(qián)寶琮的理解都有失偏頗。

1 (清)戴震整理.九章算術(shù)[M].乾隆御覽《武英殿聚珍版叢書(shū)》本.中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷[Z].第 1冊(cè).鄭州:河南教育出版社,1993.79—214.

2 (清)戴震整理.九章算術(shù)[M].四庫(kù)全書(shū) (文淵閣本)[Z].臺(tái)北:商務(wù)印書(shū)館,1986.

3 郭書(shū)春.九章筭術(shù)譯注[M].上海:上海古籍出版社,2009.332—338.

4 郭書(shū)春.古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1992.39—40.

5 郭書(shū)春.古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽 (修訂本)[M].臺(tái)北:明文書(shū)局,1995.36—38.

6 錢(qián)寶琮主編.中國(guó)數(shù)學(xué)史[M].李儼錢(qián)寶琮科學(xué)史全集[Z].第 5卷.沈陽(yáng):遼寧教育出版社,1998.60—61.

7 (南宋)楊輝.詳解九章算法[M].宜稼堂叢書(shū)[Z].(清)道光二十年 (1842).

8 錢(qián)寶琮.戴震算學(xué)天文著作考[J].李儼錢(qián)寶琮科學(xué)史全集[Z].第 9卷.沈陽(yáng):遼寧教育出版社,1998.143—167.

9 (清)汪萊.校正《九章算術(shù)》及戴氏訂訛[M].衡齋遺書(shū)[Z].1892.

10 (清)李潢.九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)[M].中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷[Z].第 4冊(cè).鄭州:河南教育出版社,1993年.1149—1152.

11 錢(qián)寶琮校點(diǎn).九章算術(shù)[M].錢(qián)寶琮校點(diǎn).算經(jīng)十書(shū)[Z],上冊(cè).李儼錢(qián)寶琮科學(xué)史全集[Z].第 4卷.沈陽(yáng):遼寧教育出版社,1998.177—178.

12 郭書(shū)春匯校.九章筭術(shù)(增補(bǔ)版)[M].沈陽(yáng):遼寧教育出版社.臺(tái)北:臺(tái)灣九章出版社.2004.356—357.

13 (清)郭慶藩.莊子集釋[M].北京:中華書(shū)局,1961.

14 何寧.淮南子集釋[M].北京:中華書(shū)局,1998.