司瑞芳 杜永清

（1.山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,山西太原 030006;2.山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

蒙特卡洛方法在高能核物理研究中的一些應(yīng)用

司瑞芳1杜永清2

（1.山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,山西太原 030006;2.山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

文章分析了蒙特卡洛方法的基本思想和高能核物理中理想氣體模型的特點(diǎn),并利用蒙特卡洛方法研究了高能核物理中理想氣體模型中粒子的一些物理量的分布規(guī)律.

蒙特卡洛方法;理想氣體模型;高斯分布

0 引言

蒙特卡洛方法,即隨機(jī)試驗(yàn)法,是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ),采用統(tǒng)計(jì)抽樣理論近似求解數(shù)學(xué)或物理問題的模擬計(jì)算方法.近年來,隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展,這種模擬計(jì)算方法在許多領(lǐng)域,如金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、計(jì)算物理學(xué)（如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)）、以及在解決實(shí)際問題等方面都有了廣泛的應(yīng)用.本文試圖應(yīng)用蒙特卡洛方法研究高能核物理中的理想氣體模型問題,并說明該方法在高能核物理學(xué)中的一些應(yīng)用.

1 高能核物理中的理想氣體模型

在高能核-核碰撞中,會(huì)產(chǎn)生大量的末態(tài)粒子（和核碎片）.一般地,可認(rèn)為碰撞后產(chǎn)生的粒子間的相互作用很微弱;粒子的尺度比起粒子間的距離可忽略;同種類型的粒子性質(zhì)完全相同.由此,可應(yīng)用熱力學(xué)中的理想氣體模型來研究高能核-核碰撞過程,這種在高能核物理中應(yīng)用的理想氣體模型可簡稱為理想氣體模型.

1.1 粒子的速度分量和動(dòng)量分量分布

在理想氣體模型中,不考慮相對(duì)論效應(yīng)和量子效應(yīng)時(shí),粒子的速度分量滿足經(jīng)典的高斯（正態(tài)）分布,以x分量為例,其表達(dá)式是:

這里,我們已在粒子的散射空間建立直角坐標(biāo)系,且粒子的入射方向?yàn)閦方向,反應(yīng)平面為xoy平面.

根據(jù)px=m vx,可得粒子的動(dòng)量分量滿足的分布也是高斯分布,表達(dá)式是:

其中σp是分布寬度.

1.2 粒子的一些其他分布[1]

2 蒙特卡洛方法

2.1 蒙特卡洛方法的基本思想

蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method）,也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法,是20世紀(jì)40年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明,而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法,是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法.

它解決問題的基本思想是[2],首先,建立與問題相關(guān)的概率模型,對(duì)于本身具有隨機(jī)性質(zhì)的問題,如粒子的輸運(yùn)、碰撞等問題,主要是正確地描述和模擬這個(gè)概率過程;而對(duì)于確定性的問題,則必須人為地構(gòu)造問題的隨機(jī)過程,使問題的性質(zhì)發(fā)生轉(zhuǎn)化,這是應(yīng)用蒙特卡洛方法的核心問題之一.其次,根據(jù)建立的不同的隨機(jī)模型采取不同的隨機(jī)模擬,即要產(chǎn)生滿足不同概率事件的隨機(jī)數(shù).第三,再求得其特征統(tǒng)計(jì)估計(jì)值并能作為原來問題的近似解（須考慮解的誤差）.最后,我們就可用所建立的模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬,從而求得這次概率事件的數(shù)值解.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,最后兩步實(shí)際可并作一步同時(shí)完成.

作為一種數(shù)值計(jì)算方法,蒙特卡洛方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于:1）收斂的概率性和收斂速度與問題維數(shù)無關(guān),其收斂是概率意義下的收斂,可指出其誤差已接近1的概率不超過某個(gè)界限,與問題的維數(shù)無關(guān);同樣其誤差只與標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量有關(guān),而與樣本中元素所在空間無關(guān),所以它的收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān).2）適應(yīng)性強(qiáng),受問題的條件限制影響小.3）計(jì)算方法及程序結(jié)構(gòu)簡單,其計(jì)算是通過大量而簡單的重復(fù)抽樣實(shí)現(xiàn),方法和程序都很簡單,便于編制和調(diào)試.4）對(duì)于模擬概率性質(zhì)的物理問題有其他數(shù)值方法不可替代的作用.缺點(diǎn)是收斂速度慢,誤差概率大,不適合用來解決精度要求很高的實(shí)際問題.在實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)需要結(jié)合其他的數(shù)值計(jì)算方法以期得到較好的計(jì)算結(jié)果.

2.2 蒙特卡洛方法計(jì)算[3]

運(yùn)用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算時(shí),分別取R1,R2,R3,R4,R5,R6,Rt為（0,1）間均勻分布的隨機(jī)數(shù).動(dòng)量分量的分布

橫動(dòng)量的分布

圖1 動(dòng)量分量分布Fig.1 Momentum component distribution

圖2 橫動(dòng)量分布Fig.2 Transverse momentum distribution

圖3 動(dòng)量分布Fig.3 Mo rmentum distribution

圖4 φ角分布Fig.4 Azimuthal angle distribution

圖5 θ角分布Fig.5 Polar angle distribution

3 兩種方法比較

圖1～圖5是根據(jù)解析計(jì)算的表達(dá)式和用蒙特卡洛方法采用隨機(jī)數(shù)統(tǒng)計(jì)的思想得出的理想氣體模型中粒子一些物理量的分布.需要說明的是,圖中橫坐標(biāo)表示所研究粒子的動(dòng)量值或角度分布的弧度值,縱坐標(biāo)表示粒子處于橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的幾率.在畫圖的過程中,為了說明問題,我們認(rèn)為,產(chǎn)生理想氣體的源是不膨脹和不運(yùn)動(dòng)的.同時(shí),為了簡化問題令σp=1.在實(shí)際討論具體的粒子時(shí),分布的寬度、高度等會(huì)隨所討論粒子的質(zhì)量、溫度等發(fā)生變化,這時(shí)需考慮發(fā)射源的膨脹和運(yùn)動(dòng).上述結(jié)果表明,兩種方法的結(jié)果是一致的.因此,在我們研究隨機(jī)事件時(shí),采用蒙特卡洛方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是一種極其方便的方法.

[1] 劉?；?李曉琳.麥克斯韋速度分量分布函數(shù)的一些應(yīng)用[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1999,13（3）:38-41

[2] 高明坤.實(shí)用概率統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:國防工業(yè)出版社,1988

[3] Liu Fuhu,Li Junsheng.Light fragment emission in86Kr-124Sncollisions at 25Mev/nucleon[J].Physical Review,2007,C75:054 613

Some Applications of Monte Carlo Method in Investigations of High Energy Nuclear Physics

Si Ruifang1Du Yongqing2
（1.Institute of Physics Electronic Engieering,Shanxi University,Taiyuan 030006;2.School of Physics and Electronics Science,Shanxi Datong University,Datong 037009,China）

The basic idea of Monte Carlo method and the characteristics of ideal gasmodel in high energy nuclear physics are analyzed in this paper.Some physical quantities in the ideal gas model are studied,using thismethod.

Monte Carlo method;ideal gasmodel;Gaussian distribution

【責(zé)任編輯:王映苗】

1672-2027（2010）02-0084-03

O411.3

A

2010-03-15

司瑞芳（1979-）,女,山西交城人,山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院在讀碩士研究生,主要從事粒子物理與原子核物理研究.